Transcript Hipotézisvizsgálat - Gazdaságtudományi kar

Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar
Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet
Hipotézisvizsgálat
Dr. Varga Beatrix
egy. docens
Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar
Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet
A hipotézisvizsgálat alkalmazása I.
Van egy eldöntendő kérdés:
• Az egyetemi hallgatók IQ-ja nagyobb-e
az átlagosnál?
• Hatásos-e a reklámtevékenység?
• A sokasági eloszlás normális-e?
• Az átlagos várakozási idő több-e negyed
óránál?
Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar
Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet
A hipotézisvizsgálat alkalmazása II.
Felállítunk válaszként egy állítást:
• nagyobb ↔ nem nagyobb
• hatásos ↔ nem hatásos
• normálisnak tekinthető ↔ nem
tekinthető normálisnak
• negyed óránál több ↔ nem több
Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar
Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet
A hipotézisvizsgálat alkalmazása III.
Vizsgálat, kísérletek
A állítás igaz, tehát B hamis
Döntés:
A állítás hamis, tehát B igaz
Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar
Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet
Alapfogalmak I.
Hipotézisvizsgálat célja:
A sokaságra vonatkozó valamely állítás
helyességének ellenőrzése a mintából származó
információk alapján
Hipotézis:
A sokaságra vonatkozó állítás, feltételezés
Statisztikai próba: (döntési szabály)
A hipotézisvizsgáló eljárás
Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar
Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet
Alapfogalmak II.
• Nullhipotézis H0
Aminek az elfogadásáról, ill. visszautasításáról döntünk.
• Alternatív hipotézis H1
A nullhipotézissel egymást kizáró
állítások.
Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar
Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet
Hipotézisvizsgálat során elkövethető
hibák
A minta alapján
A valóságban
H0 igaz
H0 nem igaz
elfogadjuk H0 -t
Helyes döntés
1-
Másodfajú hiba
elvetjük H0 -t
Elsőfajú hiba

Helyes döntés
Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar
Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet
Szignifikanciaszint: α
• az elsőfajú hiba elkövetésének kockázata
• megadja, hogy következtetésünk mekkora
valószínűséggel érvényes
• csökkentése szűkíti a visszautasítási
tartományt,
növeli
az
elfogadási
tartományt, növeli a másodfajú hiba esélyét
Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar
Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet
A statisztikai próba kiválasztása
A változók szerint
paraméteres
Egy ismert eloszlás
valamely paraméterére
vonatkozó állítás.
Az ismert eloszlás
leggyakrabban a
normális eloszlás
nem paraméteres
Egy ismeretlen eloszlás
típusára vonatkozó állítás
Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar
Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet
A hipotézis vizsgálat lépései
1. A nullhipotézis H0 és az alternatív hipotézis H1
felállítása
2. A próbafüggvény kiválasztása, és aktuális
értékének meghatározása a minta a lapján.
3. A szignifikanciaszint megválasztása
4. A próbafüggvény kritikus értékének
meghatározása az eloszlástáblázatból.
5. A visszautasítási és elfogadási tartomány
meghatározása.
6. Döntéshozás
Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar
Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet
Paraméteres
hipotézisvizsgálatok
I. Egymintás próbák
Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar
Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet
Hipotézis vizsgálat
• Null hipotézis:
H0 :
 = 0
• Alternatív hipotézis:
H1 :
  0
  0
  0
Kétoldalú próba
Egyoldalú próba
Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar
Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet
Várható értékre vonatkozó
hipotézisvizsgálat
H0 : μ = m0
1.) alapsokaság normál eloszlású, σ ismert
mintanagyság tetszőleges
z=
2.) alapsokaság normál eloszlású, σ nem ismert,
n  100
3.) σ nem ismert, n  100,
alapsokaság tetszőleges eloszlású
z=
x - m0
s/ n
x - m0
σ/ n
x - m0
t=
s/ n
Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar
Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet
• Critical values in the case of Large sample
zπ
H1 :   m0
H1 :   m0
Pr
0
 z1
t1
0
0
z1
z1 / 2
• Critical values in the case of Small sample
tπ
H1 :   m0
z1 / 2
H1 :   m0
Pr
Pr
H1 :   m0
Pr
0
t1 / 2
H1 :  
Pr
Pr
0
t1 / 2
0
t1
Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar
Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet
Arányra vonatkozó hipotézisvizsgálat
Feltétel: nagy
H0 : P = P 0
z 
minta!
p - P0
P0Q0 /n
Szórásra vonatkozó hipotézisvizsgálat
H0 : σ = σ0

2

n - 1  s 2
2
σ0
Feltétel: normál eloszlás!
Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar
Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet
• Critical values of χ2-test
χ2
H1 :    0
Pr
0
2
H1 :    0
Pr
2
0
2 / 2
Pr
12 / 2
2
H1 :    0
0
12
2
Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar
Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet
Példa 1.
Egy 250 g kávét csomagoló gép működésének
ellenőrzéséhez 100 elemű véletlen mintát vettek. Korábbi
felmérések alapján feltételezhetjük, hogy a töltőtömeg
normális eloszlást követ.
A csomagok töltési tömege (g) A csomagok száma (db)
– 239,9
8
240 – 244,9
245 – 249,9
22
32
250 – 254,9
28
255 –
10
Összesen
100
Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar
Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet
a) Elfogadható-e a minta alapján, hogy az átlagos
töltőtömeg 250g ( = 1 %)
b) Elfogadható-e a minta alapján, hogy az átlagos
töltőtömeg kisebb, mint 250g ( = 1 %)
c) Elfogadható-e a minta alapján, hogy a 250g-nál
kisebb töltőtömegű csomagok aránya eléri a
60%-ot?
d) Elfogadható-e a minta alapján, hogy a töltőtömeg
szórása nagyobb 5g-nál?
e) Milyen szignifikancia-szinten fogadható el, hogy
a töltőtömeg szórása nagyobb 5g-nál?
f) Elfogadható-e a minta alapján, hogy a töltőtömeg
szórása legfeljebb 5g?
x
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
0,26
0,28
0,30
0,32
0,34
0,36
0,38
0,40
0,42
0,44
0,46
0,48
0,50
(x)
x
(x)
x
(x)
x
Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar
0,5000
0,52
0,6985
1,04
0,8508
1,56
Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet
0,5080
0,54
0,7054
1,06
0,8554
1,58
0,5160
0,56
0,7123
1,08
0,8599
1,60
0,5239
0,58
0,7190
1,10
0,8643
1,62
0,5319
0,60
0,7257
1,12
0,8686
1,64
0,5398
0,62
0,7324
1,14
0,8729
1,66
0,5478
0,64
0,7389
1,16
0,8770
1,68
0,5557
0,66
0,7454
1,18
0,8810
1,70
0,5636
0,68
0,7517
1,20
0,8849
1,72
0,5714
0,70
0,7580
1,22
0,8888
1,74
0,5793
0,72
0,7642
1,24
0,8925
1,76
0,5871
0,74
0,7703
1,26
0,8962
1,78
0,5948
0,76
0,7764
1,28
0,8997
1,80
0,6026
0,78
0,7823
1,30
0,9032
1,82
0,6103
0,80
0,7881
1,32
0,9066
1,84
0,6179
0,82
0,7939
1,34
0,9099
1,86
0,6255
0,84
0,7995
1,36
0,9131
1,88
0,6331
0,86
0,8051
1,38
0,9162
1,90
0,6406
0,88
0,8106
1,40
0,9192
1,92
0,6480
0,90
0,8159
1,42
0,9222
1,94
0,6554
0,92
0,8212
1,44
0,9251
1,96
0,6628
0,94
0,8264
1,46
0,9279
1,98
0,6700
0,96
0,8315
1,48
0,9306
2,00
0,6772
0,98
0,8365
1,50
0,9332
2,10
0,6844
1,00
0,8413
1,52
0,9357
2,20
0,6915
1,02
0,8461
1,54
0,9382
2,30
(x)
x
(x)
0,9406
0,9429
0,9452
0,9474
0,9495
0,9515
0,9535
0,9554
0,9572
0,9591
0,9608
0,9625
0,9641
0,9656
0,9671
0,9686
0,9699
0,9713
0,9726
0,9748
0,9750
0,9761
0,9772
0,9821
0,9861
0,9893
2,40
2,50
2,60
2,70
2,80
2,90
3,00
3,20
3,40
3,60
3,8
0,9918
0,9938
0,9953
0,9965
0,9974
0,9981
0,9987
0,9993
0,9996
0,9998
0,9999
z-test
Student’s t-test
Df
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120

Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar
0,55
0,60
0,70
0,75
0,80
0,90
0,95
Üzleti
Információgazdálkodási
és
Módszertani
Intézet
0,158
0,325
0,727
1,000
1,376
3,08
6,31
0,142
0,137
0,134
0,132
0,131
0,130
0,130
0,129
0,129
0,129
0,128
0,128
0,128
0,128
0,128
0,128
0,127
0,127
0,127
0,127
0,127
0,127
0,127
0,127
0,127
0,127
0,127
0,127
0,127
0,126
0,126
0,126
0,126
0,289
0,277
0,271
0,267
0,265
0,263
0,262
0,261
0,260
0,260
0,259
0,259
0,258
0,258
0,258
0,257
0,257
0,257
0,257
0,257
0,256
0,256
0,256
0,256
0,256
0,256
0,256
0,256
0,256
0,255
0,254
0,254
0,253
0,617
0,584
0,569
0,559
0,553
0,549
0,546
0,543
0,542
0,540
0,539
0,538
0,537
0,536
0,535
0,534
0,534
0,533
0,533
0,532
0,532
0,532
0,531
0,531
0,531
0,531
0,530
0,530
0,530
0,529
0,527
0,526
0,524
0,816
0,765
0,741
0,727
0,718
0,711
0,706
0,703
0,700
0,697
0,695
0,694
0,692
0,691
0,690
0,689
0,688
0,688
0,687
0,686
0,686
0,685
0,685
0,684
0,684
0,684
0,683
0,683
0,683
0,681
0,679
0,677
0,674
1,061
0,978
0,941
0,920
0,906
0,896
0,889
0,883
0,879
0,876
0,873
0,870
0,868
0,866
0,865
0,863
0,862
0,861
0,860
0,859
0,858
0,858
0,857
0,856
0,856
0,855
0,855
0,854
0,854
0,851
0,848
0,845
0,842
1,89
1,64
1,53
1,48
1,44
1,42
1,40
1,38
1,37
1,36
1,36
1,35
1,34
1,34
1,34
1,33
1,33
1,33
1,32
1,32
1,32
1,32
1,32
1,32
1,32
1,31
1,31
1,31
1,31
1,30
1,30
1,29
1,28
2,92
2,35
2,13
2,02
1,94
1,90
1,86
1,83
1,81
1,80
1,78
1,77
1,76
1,75
1,75
1,74
1,73
1,73
1,72
1,72
1,72
1,71
1,71
1,71
1,71
1,70
1,70
1,70
1,70
1,68
1,67
1,66
1,645
0,975
0,99
0,995
12,71
4,30
3,18
2,78
2,57
2,45
2,36
2,31
2,26
2,23
2,20
2,18
2,16
2,14
2,13
2,12
2,11
2,10
2,09
2,09
2,08
2,07
2,07
2,06
2,06
2,06
2,05
2,05
2,04
2,04
2,02
2,00
1,98
1,96
31,82
6,96
4,54
3,75
3,36
3,14
3,00
2,90
2,82
2,76
2,72
2,68
2,65
2,62
2,60
2,58
2,57
2,55
2,54
2,53
2,52
2,51
2,50
2,49
2,48
2,48
2,47
2,47
2,46
2,46
2,42
2,39
2,36
2,33
63,66
9,92
5,84
4,60
4,03
3,71
3,50
3,36
3,25
3,17
3,11
3,06
3,01
2,98
2,95
2,92
2,90
2,88
2,86
2,84
2,83
2,82
2,81
2,80
2,79
2,78
2,77
2,76
2,76
2,75
2,70
2,66
2,62
2,58
Df
1
χ2
Egyetem
Gazdaságtudományi
0,005Miskolci
0,01
0,025
0,05
0,10
0,25
0,50
0,75 Kar
0,90
0,0000
0,0002
0,0010
0,039
0,0158
0,102
0,455
1,32
2,71
Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
50
60
70
80
90
100
0,0100
0,072
0,207
0,412
0,676
0,989
1,34
1,73
2,16
2,60
3,07
3,57
4,07
4,60
5,14
5,70
6,26
6,84
7,43
8,03
8,64
9,26
9,89
10,5
11,2
11,8
12,5
13,1
13,8
20,7
28,0
35,5
43,3
51,2
59,2
67,3
0,0201
0,115
0,297
0,554
0,872
1,24
1,65
2,09
2,56
3,05
3,57
4,11
4,66
5,23
5,81
6,41
7,01
7,63
8,26
8,90
9,54
10,2
10,9
11,5
12,2
12,9
13,6
14,3
15,0
22,2
29,7
37,5
45,4
53,5
61,8
70,1
0,0506
0,216
0,484
0,831
1,24
1,69
2,18
2,70
3,25
3,82
4,40
5,01
5,63
6,26
6,91
7,56
8,23
8,91
9,59
10,3
11,0
11,7
12,4
13,1
13,8
14,6
15,3
16,0
16,8
24,4
32,4
40,5
48,8
57,2
65,6
74,2
0,103
0,352
0,711
1,15
1,64
2,17
2,73
3,33
3,94
4,57
5,23
5,89
6,57
7,26
7,96
8,67
9,39
10,1
10,9
11,6
12,3
13,1
13,8
14,6
15,4
16,2
16,9
17,7
18,5
26,5
34,8
43,2
51,7
60,4
69,1
77,9
0,211
0,584
1,06
1,61
2,20
2,83
3,49
4,17
4,87
5,58
6,30
7,04
7,79
8,55
9,31
10,1
10,9
11,7
12,4
13,2
14,0
14,8
15,7
16,5
17,3
18,1
18,9
19,8
20,6
29,1
37,7
46,5
55,3
64,3
73,3
82,4
0,575
1,21
1,92
2,67
3,45
4,25
5,07
5,90
6,74
7,58
8,44
9,30
10,2
11,0
11,9
12,8
13,7
14,6
15,5
16,3
17,2
18,1
19,0
19,9
20,8
21,7
22,7
23,6
24,5
33,7
42,9
52,3
61,7
71,1
80,6
90,1
1,39
2,37
3,36
4,35
5,35
6,35
7,34
8,34
9,34
10,3
11,3
12,3
13,3
14,3
15,3
16,3
17,3
18,3
19,3
20,3
21,3
22,3
23,3
24,3
25,3
26,3
27,3
28,3
29,3
39,3
49,3
59,3
69,3
79,3
89,3
99,3
2,77
4,11
5,39
6,63
7,84
9,04
10,2
11,4
12,5
13,7
14,8
16,0
17,1
18,2
19,4
20,5
21,6
22,7
23,8
24,9
26,0
27,1
28,2
29,3
30,4
31,5
32,6
33,7
34,8
45,6
56,3
67,0
77,6
88,1
98,6
109,1
4,61
6,25
7,78
9,24
10,6
12,0
13,4
14,7
16,0
17,3
18,5
19,8
21,1
22,3
23,5
24,8
26,0
27,2
28,4
29,6
30,8
32,0
33,2
34,4
35,6
36,7
37,9
39,1
40,3
51,8
63,2
74,4
85,5
96,6
107,6
118,5
0,95
3,84
0,975
5,02
0,99
6,63
0,995
7,88
5,99
7,81
9,49
11,1
12,6
14,1
15,5
16,9
18,3
19,7
21,0
22,4
23,7
25,0
26,3
27,6
28,9
30,1
31,4
32,7
33,9
35,2
36,4
37,7
38,9
40,1
41,3
42,6
43,8
55,8
67,5
79,1
90,5
101,9
113,1
124,3
7,38
9,35
11,1
12,8
14,4
16,0
17,5
19,0
20,5
21,9
23,3
24,7
26,1
27,5
28,8
30,2
31,5
32,9
34,2
35,5
36,8
38,1
39,4
40,6
41,9
43,2
44,5
45,7
47,0
59,3
71,4
83,3
95,0
106,6
118,1
129,6
9,21
11,3
13,3
15,1
16,8
18,5
20,1
21,7
23,2
24,7
26,2
27,7
29,1
30,6
32,0
33,4
34,8
36,2
37,6
38,9
40,3
41,6
43,0
44,3
45,6
47,0
48,3
49,6
50,9
63,7
76,2
88,4
100,4
112,3
124,1
135,8
10,6
12,8
14,9
16,7
18,5
20,3
22,0
23,6
25,2
26,8
28,3
29,8
31,3
32,8
34,3
35,7
37,2
38,6
40,0
41,4
42,8
44,2
45,6
46,9
48,3
49,6
51,0
52,3
53,7
66,8
79,5
92,0
104,2
116,3
128,3
140,2
Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar
Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet
Paraméteres
hipotézisvizsgálatok
II. Kétmintás próbák
Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar
Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet
Két sokaság várható értékének különbségére
vonatkozó hipotézis-vizsgálat
H0 : μ1 – μ2 = δ
Elemszám
Adatok
Mintaátlag
Mintabeli szórásnégyzet
Minta 1
m
Minta 2
n
x11, x12, ..., x1m
x21, x22, ..., x2n
x1
x2
s12
s 22
a) Mindkét sokaság normál eloszlású, és kis minta
(feltétel a szórások egyezősége)
b) Mindkét sokaságból nagy
minta
z=
d-
sd
d-
t=
sp
1 1

n m
Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar
Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet
Két sokasági arány különbségére vonatkozó
hipotézisvizsgálat
H0 : P1 – P2 = ε
minta 1
Minta elemszám
Mintabeli arány
Mintabeli szórás
ahol
minta 2
m
p1  k1 / m
p2
s1 
s2 
p1q1
q1 = 1 - p1
Feltétel: a nagy minták
n
 k2 / n
p2q2
q2 = 1 - p2
e
z
se
Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar
Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet
Szórások egyezőségére vonatkozó
hipotézisvizsgálat
H0 :  1 =  2
Feltétel: normál alapeloszlású sokaságok
H1
H1: 1≠2
valószínűség
1-/2
H1: 1<2
1-
H1: 1>2
1-
Alsó kritikus
érték (ca)
F
1

1
( 2 ; 1 )
2
1
F1 ( 2 ; 1 )
0
F=
s12
s 22
Felső kritikus
érték (cf)
F
1

( 1 ; 2 )
2
-
F1 ( 1 ; 2 )
Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar
Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet
• Critical values of F-test
F
Pr
Pr
0
HPr1 : H1 :2  
Pr
H1 1:  1 1  2 2
1
1
0
F1 (02 ; 1 ) 1
F1 ( 2 ; 1 )
F1 ( 2 ; 1 )
HPr1 : H1 :2  
H1 :1 1 1  2 2
Pr
1
1
0
F
(
F 1 0  2 ;F1 )1 ( 2 ; 1 )
2
F
F  1( 2 ; 1 )
0
F
1
2
Pr
Pr
F
1
 ( 1 ; 2 )
F  ( 1 ; 2 )
2
F  (112; 2 )
1
2
F
F 0
HPr1 : H
1 2
H1 : 11:  12  2
F
0
0
F1 ( 1 ; 2 )
F1 ( 1 ; 2 )
F1 ( 1 ; 2 )
F
F
Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar
Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet
• Tervezik egy új töltőgép beszerzését, mely a
műszaki leírás szerint kisebb szórással, pontosabban termel. A próbaüzem során azonban azt tapasztalták, hogy az új gépen töltött
150 db kávécsomag összes töltőtömege
37,65 kg; Σx2= 9.454.322.
• A minta alapján elfogadjuk-e a fenti állítást?
• Milyen szignifikancia-szinten fogadjuk el azt
az állítást, hogy az új gépen az átlagos
töltősúly legalább 7g-mal több?
Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar
Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet
• Elfogadható-e α=2%-os szignifikanciaszinten, az a feltételezés, hogy az új gépen a
250g-nál kisebb tömegű csomagok aránya
legfeljebb 10%-kal kevesebb, ha a
megvizsgált 150 kávécsomagból 105-nek
volt a tömege az előírt 250 g-nál kevesebb?
Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar
Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet
Köszönöm a figyelmet!