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Teoría de Probabilidad
Análisis combinatorio y probabilidad: Una aplicación a la teoría del
muestreo
Problema general: Supóngase que se tiene una urna que contiene M
bolas, de las cuales MB son blancas (con MB < M) y MR = M – MB
son rojas. Se extrae una muestra de tamaño n, ya sea sin reemplazo
(en tal caso n menor o igual a M), o con reemplazo. ¿Cuál es la
probabilidad de que la muestra contenga exactamente k bolas
blancas, para k = 0, 1, 2, ..., n?
Traducción a un problema de muestreo: M indica el número de
artefactos de un lote de producción. Blanca significa defectuosa, y
roja no defectuosa. Se extrae una muestra aleatoria de tamaño n
(con reemplazo o sin reemplazo) para el control de calidad. Se
pregunta entonces, ¿cuál es la probabilidad de encontrar k
defectuosos de los n artículos bajo revisión al azar?
Teoría de Probabilidad
Solución al problema anterior: sin reemplazo
El espacio muestral son n-uplas de la forma
( z1 , z2 ,
, zn )
donde cada zi es un elemento entre 1 y M, y además las componentes
son todas distintas (sin reposición)
Es claro que la cardinalidad de este espacio muestral es
M (M 1)
(M  n  1)  (M )n
Es adecuado pensar que cualquier selección de muestra es igualmente
probable, esto es
Pr ( z1 , z2 ,
1
, zn ) 
(M )n
Teoría de Probabilidad
Solución al problema anterior: sin reemplazo
Definamos por Ak el evento de “obtener k bolas blancas” cuando se
extrae n bolas, sin reposición, de una urna que contiene M bolas, de
las cuales MB son blancas y el resto son rojas.
De tal manera entonces que la probabilidad de Ak adopta la forma
card ( Ak )
Pr( Ak ) 
( M )n
Vamos a caracterizar al suceso Ak, para poder saber cuántos
elementos contiene.
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Solución al problema anterior: sin reemplazo
Los elementos de Ak son de la forma
( z1 , z2 ,
, zn )
Donde hay k elementos de los zi que toman valores en el conjunto
{1, 2, ..., MB}. De otra forma
( z1, z j1 , z j2 , z4 , z5 ,
Valores distintos en
, z jk , zn1, zn )
1,2,
de una particular elección de k índices
seleccionados entre 1, 2,
, n
, MB
 j1, j2 ,
, jk 
Teoría de Probabilidad
Solución al problema anterior: sin reemplazo
Para esta particular elección de índices
M B  (M B 1)
 j1, j2 ,
, jk  existen
(M B  k  1)  (M  M B )(M  M B 1)
( z1, z j1 , z j2 , z4 , z5 ,
(M  M B  (n  k )  1)
, z jk , zn1, zn )
maneras de formar n-uplas con k componentes con valores entre {1, 2, ... , MB}
en los lugares j1, j2, ... , jk y las demás componentes con los valores restantes
La expresión en rectángulo rojo se denota por (M B )n  (M  M B )nk
Teoría de Probabilidad
Solución al problema anterior: sin reemplazo
Para esta particular elección de índices
 j1, j2 ,
, jk  entonces
hay (M B )n  (M  M B )nk maneras de seleccionar k bolas blancas
Por lo tanto el conjunto Ak tendrá tantos elementos de esta forma,
conforme haya tantas elecciones de k elementos entre {1, 2, ..., n}, esto es
n
  ( M B )k ( M  M B )n k
k 
Por lo tanto
card ( Ak )  n  ( M B )n ( M  M B )nk
Pr( Ak ) 
 
( M )n
( M )n
k 
k  0,1,
,n
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Solución al problema anterior: sin reemplazo
Se puede demostrar algebraicamente que
 n  ( M B )n ( M  M B )nk
Pr( Ak )   
( M )n
k 
 M B  M  M B 



k
n

k



M 
 
n
k  0,1,
,n
... sin embargo la expresión de la derecha admite una sencilla interpretación
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Solución al problema anterior: sin reemplazo
Número de formas distintas
de obtener k elementos
defectuosos de un total de
MB defectuosos
 M B  M  M B 



k
n

k


Pr( Ak )  
M 
 
n
Número de formas
distintas de obtener n – k
elementos no defectuosos
de un total de M - MB
k  0,1,
Número de formas de seleccionar n elementos distintos de un
total de M
,n
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Solución al problema anterior: con reemplazo
Con un razonamiento análogo al caso del muestreo sin reemplazo se
concluye que
card ( Ak )  n  (M B )n (M  M B )n
Pr( Ak ) 
 
n
n
k
(M )
(
M
)
 
k  0,1,
,n
Donde el exponente n indica la opción de “con reemplazo”, significando
con esto que un valor se puede repetir por la forma de seleccionar el
muestreo
Teoría de Probabilidad
Otra aplicación: muestreo por aceptación
Supongamos que tenemos un lote de una producción consistente
en 1000 unidades. Las altas exigencias de calidad exigen que el lote
se rechace si en el muestreo, es decir dentro de los artículos que
efectivamente se van a revisar, no existan más de una unidad
defectuosa. Ahora bien, se desconoce la proporción de defectuosos,
es decir se desconoce el número de artículos defectuosos que
contiene el lote de mil unidades. Está claro que si sabemos que,
por ejemplo, D es el número de defectuosos, entonces p = D / 1000
será la proporción de defectuosos. Nuestro interés en saber cuál es
la probabilidad de que no se rechace el lote en base a las unidades
que se van a revisar. De otra forma esta probabilidad será una
función de la proporción de artículos defectuosos.
Por otro lado, vamos a suponer que la muestra a revisar es de 100
unidades seleccionadas aleatoriamente sin reposición
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Otra aplicación: muestreo por aceptación
Del resultado obtenido en la transparencia 6, sabemos que la
probabilidad de aceptar el lote, es decir la probabilidad de encontrar no
más de 1 artículo defectuoso está dada por
Pr( A0 )  Pr( A1 )
Esto es, si D es el número de defectuosos entonces la probabilidad de
aceptación del lote es de
(1000  D)100
D  (1000  D)99
 100
(1000)100
(1000)100
hagamos
p
donde
D
 100  D  1000  1000 p  1000(1  p)  1000q
1000
p  m 10001 , con m  0,1, 2,
,1000
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Otra aplicación: muestreo por aceptación
Entonces la probabilidad de aceptación la podemos poner en función de
la proporción p, y la denotaremos como
Pr( p) 
(1000q)100
1000 p  (1000q)99
 100
(1000)100
(1000)100
¡cuidado! que p no es un valor “continuo” entre 0 y 1, como se
puede pensar rápidamente, sino que
p  m 10001 , con m  0,1, 2,
,1000
La gráfica de la función Pr(p) se conoce como curva característica
de operación, o curva OC del plan de aceptación de muestreo.
Teoría de Probabilidad
Otra aplicación: muestreo por aceptación
Escriba esta función en el DERIVE y calcule el valor de p para aceptar el
lote con probabilidad de 0.95