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～攜手有愛 學習無礙～
國小數學補救教學教材教法
國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系
兼任副教授 譚寧君
國北教大 譚寧君(2011)
一.前言-- No Child Left Behind
二.國際數學評比的省思
三.補救教學活動內容設計
教什麼?
如何教?
四.結語
國北教大 譚寧君(2011)
美國2001通過
「No Child Left Behind」
法案，以績效責任、彈性
和選擇，縮短孩子的學業
成就差距，讓每一位孩子
都不落後。
七要點
1.透過高學業標準與績效責任達到教育均等，縮短弱勢學童
學業成就差距。
2.提昇教師品質，改善數學及科學的教學 。
3.讓兒童的英語能力流暢，
4.建構二十一世紀安全校園，運用科技提升教育效果
5.推廣家長教育選擇權與創新方案。
6.提供支援補助，為原住民及軍人子女重建學校。
7. 自由與績效責任。
國北教大 譚寧君(2011)
台灣2007年開始攜手計畫，進行課後補
救教學，期望讓每一位孩子都不落後。
1.補救教學的對象
智力正常，但其實際的學業表現明顯低於其能力水準。
經學業成績考察，其學科成就不及格，且在學業成就
的表現上低於其他學生許多者。
2.補救教學的歷程
評量─教學─再評量的循環 (張新仁， 2001)
3.補救教學主要任務
診斷學習迷失（bug）、解決學習困難問題（debug）
4.輔導個案經驗分享（文）
國北教大 譚寧君(2011)
學生的補救教學問題是什麼?
『如果我必須把所有的教育心理學理論化約成一
個原則的話，我寧願這麼說：影響學習的一個最
重要因素即是學習者已經知道的事（what the
learner already know），只要確信「它」是什麼，
並且以此作為教學的依據即可。』
(Ausubel, 1968,1978）
國北教大 譚寧君(2011)
二.國際數學評量的省思
•
•
•
•
•
1991
2003
2006
2007
2009
IAEP
TIMSS
PISA
TIMSS
PISA
＊
＊
＊
＊
國北教大 譚寧君(2011)
9歲 、 13歲
9歲 、 13歲
15歲
9歲 、 13歲
15歲
1991 IAEP（International Assessment Educational Progress）
國北教大 譚寧君(2011)
國際數學教學評比的啟示
國北教大 譚寧君(2011)
國北教大 譚寧君(2011)
三.補救教學活動內容設計－
教什麼? 如何教?
Anderson , Krathwohl,Airasian &Cruikshank (2000)
認知歷程向度(學)
知識向度
(教)
記憶 了解 應用 分析 評鑑 創造
事實知識
概念知識
程序知識
後設認知
知識
國北教大 譚寧君(2011)
台北市數學檢測命題架構
數 學 內 容
數
學
能
力
概念了解
整
分
小
量
幾
與
程序知識
實
應用解題
四大主題
數
數
數
數與量
測
何
統
計
與
機
率
數
代
量
關
係
幾何 統計與機率
數
代數
11
國北教大 譚寧君(2011)
概念知識評量：單位分數累加(猜猜學生概念知識通過率)
※ 2
1
4
是由幾個
1
4
合起來的？
(1)2個
(2)7個
(3)9個
(4)21個
(1)
12.08
(2)
2.99
(3)
78.33
(4)
6.1
概念知識評量：小數位值概念(猜猜學生小數概念知識通過率)
※ 如果0.6192﹥0.6□9，想一想□裡可
以填入那些數字呢？把它們全部寫出來。
(1)0、1
(2)2、3、4、5、6、7、8、9
(3)0、1、 2、3、4、5、6、7、8、9
(4)0
(1)
50.93
(2)
16.44
(3)
12.95
(4)
12.83
數與計算：
•
•
•
•
•
•
(一)數與量
數的範圍：全數（包含0與正整數）、分數與小數
數的核心概念：
全數與小數：符號、計數的單位系統與進位制
分數概念：等分、整體量與計數的單位系統
數的計算：數學性質與數的合成與分解
應用解題：單步驟加減乘除文字題類型與多步驟文字題
量與實測：
• 量的範圍：長度、面積、體積、容量、重量、角度、
時間、速度。
• 量的分類：連續量與離散量、內涵量與外延量
• 量的核心概念：
•
量的認識、測單位與單位轉換、量感
• 量的計算：進位制與數的合成與分解
國北教大 譚寧君(2011)
(一)數與量：概念知識~符號、位值、數的合成
與分解
1、 符號概念
(數字符號、運算符號、關係符號）
（1）數字符號與文字符號有何區別?
（2）定數、變數與未知數有何區別?
2、位值概念(多單位系統）
（1）進位制會影響數字大小的比較嗎?
（2）概數的意義與概數區間有何不同?
（3）大數如何進行位值間的轉換?
3、數的合成與分解
（1）相同單位系統才可以進行加與減 嗎?
( 2）數字與算式、算式與算式間的轉換關係
(一)數與量：數概念知識~符號與位值
你了解符號的意義嗎?
你會使用此算盤嗎?
國北教大 譚寧君(2011)
數概念知識：位名、位值、進位制（十進位）
Q2：124 和 142 誰比較大？大多少？
1 2 4
1 4 2
百 十 個
位 位 位
百 十 個
位 位 位
國北教大 譚寧君(2011)
數概念知識：位值、進位制（五進位）
Q2：1245 和 1425 誰比較大？
1 2 4
1 4 2
52 51 個
位 位 位
52 51 個
位 位
位
國北教大 譚寧君(2011)
大數概念知識：位名、位值、進位制
民國94、95年度的中央政府總預算金額如下：
年度
94
95
總預算 1,635,615,000,000元 1,599,560,424,000元
請把94、95年度的總預算金額記在定位板上：
十
千
千
百
十
百
十
年 兆 兆 億 億 億 億 萬 萬 萬 萬千 百 十 個
度 位 位 位 位 位 位 位 位 位 位位 位 位 位
94
95
1 6 3 5 6 1 5 0 0 0 0 0 0
1 5 9 9 5 6 0 4 2 4 0 0 0
國北教大 譚寧君(2011)
概數概念知識：估算
1702
1700
1746 1754
1710
1720
1730
1740
1750
1760
1798
1770
1780
1790
1800
請完成下列表格：
取概數的
方法
原來的數
1702
1746
1754
1798
用無條件捨 用無條件進 用四捨五入
去法取概數 位法取概數 法取概數到
到百位
到百位
百位
1700
1800
1700
1700
1800
1700
1700
1800
1800
1700
1800
1800
國北教大 譚寧君(2011)
概數概念知識：估算值的代表區間
無條件捨去法取概數到百位為1700的整數範圍：1700到1799
1799
1700
1800
無條件進位法取概數到百位為1700的整數範圍：1601到1700
1601
1600
1700
我們發現當取概數的下一位的數字為0、1、2、3、4時為捨去；
四捨五入法取概數到百位為1700的整數範圍：1650到1749
結果我們規定以1650做為第100個數字
我們可以確定的為1651到1749這99個數字
而取概數的下一位的數字為5、6、7、8、9時為進位。如此一來
，也方便我們記憶。
1651
1650
1749
1700
國北教大 譚寧君(2011)
1750
因倍數概念知識：數的合成與分解(用整除活動引進因數)
老師有6朵向日葵，可以平分給幾位小朋友？
國北教大 譚寧君(2011)
分給1位小朋友，可以全部分完嗎?
6 ÷ 1 ＝ 6……0
6朵花分給1個人，他拿了6朵花，剩下0朵花。
國北教大 譚寧君(2011)
分給2位小朋友，可以全部分完嗎?
6 ÷ 2 ＝ 3……0
6朵花分給2個人，每個人拿3朵花，剩下0朵花。
國北教大 譚寧君(2011)
分給3位小朋友，可以全部分完嗎?
6 ÷ 3 ＝ 2……0
6朵花分給3個人，每個人拿2朵花，剩下0朵花。
國北教大 譚寧君(2011)
分給4位小朋友，可以全部分完嗎?
6 ÷ 4 ＝ 1……2
6朵花分給4個人，每個人拿1朵花，剩下2朵花。
國北教大 譚寧君(2011)
分給5位小朋友，可以全部分完嗎?
6 ÷ 5 ＝ 1……1
6朵花分給5個人，每個人拿1朵花，剩下1朵花。
國北教大 譚寧君(2011)
分給6位小朋友，可以全部分完嗎?
6 ÷ 6 ＝ 1……0
6朵花分給6個人，每個人拿1朵花，剩下0朵花。
國北教大 譚寧君(2011)
因倍數概念知識：數的合成與分解
6 ÷ 1 = 6 ……0
6 ÷ 2 = 3 ……0
6 ÷ 3 = 2 ……0
6 ÷ 4 = 1 ……2
6 ÷ 5 = 1 ……1
6 ÷ 6 = 1 ……0
整除的定義：
哪些可以剛好分完？
……0
……0
整除
……0
……0
哪些不能剛好分完？
不能整除
當被除數、除數、商為整數，餘數為0的時候，
稱為整除。
現在想要請 8 位 小朋友 排成長方形路隊，
應怎樣排? (用拼成長方形的操作活動引進因數)
國北教大 譚寧君(2011)
要請 8 位 小朋友 排成長方形路隊，
應怎樣排?
排成１隊，每隊有８人。
1×8=8
因數
8的因數有: 1 8
國北教大 譚寧君(2011)
要請 8 位 小朋友 排成長方形路隊，
應怎樣排?(用拼成長方形的操作活動引進因數)
排成2隊，每隊有4人。
2×4=8
因數
8的因數有: 2 4
國北教大 譚寧君(2011)
連續量分數概念知識：等分、整體量
把一個圓形平分成兩半
這
是
另
一
半
這
是
一
半
這
是
一
半
這是一半
一個圓
這是另一半
這
是
另
一
半
看解題
國北教大 譚寧君(2011)
連續量分數概念知識：等分、整體量
把一個圓形平分成兩半
這
是
另
一
半
這
是
一
半
這
是
一
半
這
是
另
一
半
這是一半
一個圓
這是另一半
這
是
一
半
這
是
另
一
半
一個圓
看解題
連續量分數概念知識：等分、整體量
把一個圓形平分成兩半
這
是
另
一
半
這
是
一
半
這
是
一
半
這
是
另
一
半
這是一半
一個圓
這是另一半
這
是
一
半
這
是
另
一
半
看解題
國北教大 譚寧君(2011)
連續量分數概念知識：等分、整體量
把一個圓形平分成兩半
這
是
另
一
半
這
是
一
半
這
是
一
半
這
是
另
一
半
這是一半
一個圓
這是另一半
這
是
一
半
國北教大 譚寧君(2011)
這
是
另
一
半
這是另一半
這是一半
連續量分數概念知識：等分、整體量
把一個正方形平分成兩半
一個正方形
這
是
另
一
半
這
是
一
半
這
是
一
半
這
是
另
一
半
這是一半
這是一半
這是另一半
看解題
國北教大 譚寧君(2011)
連續量分數概念知識：等分、整體量
把一個正方形平分成兩半
一個正方形
這
是
一
半
這
是
另
一
半
這
是
一
半
這
是
另
一
半
這是一半
這是一半
這是另一半
看解題
國北教大 譚寧君(2011)
連續量分數概念知識：等分、整體量
把一個正方形平分成兩半
一個正方形
這
是
一
半
這
是
另
一
半
這是一半
這是一半
這是另一半
這
是
一
半
這
是
另
一
半
這
是
一
半
看解題
國北教大 譚寧君(2011)
離散量分數概念知識：等分、整體量
一包餅乾有12片，6片是幾包？
1
3 5
題目一：
2 4 6
1 3 5
題目二：
2 4 6
1 3 5
題目三：
2 4 6
我的答案：
1
2
2
我的答案：
4
3
我的答案：
6
國北教大 譚寧君(2011)
連續量分數概念知識：等分、整體量、單位分數
一個圓和
1
3
個圓
1
3
一個圓
國北教大 譚寧君(2011)
1
3
個圓
連續量分數概念知識：等分、整體量、單位分數、真分數
1
2個
3
個圓是多少個圓？
1
3
1
3
1
3
一個圓
國北教大 譚寧君(2011)
2
個圓
3
請按我
連續量分數概念知識：等分、整體量、單位分數、真分數
把一個大餅平分成5塊，3塊是幾個
大餅？
國北教大 譚寧君(2011)
(一)數與量：解題知識~了解文字題類型
1、加與減單步驟文字題分類（Carpenter, 1984）
改變型、 比較型、 合併型 、 等化型
2、 乘與除單步驟文字題分類（Greer, 1992）
等組/等量 、倍數比較/倍數改變、
單位轉換、部分與全體 、叉積 、
長方形面積 、速率 、 多重比例
3、多步驟文字題
思考問題：
（1）文字題類型有難易順序嗎?
（2）記錄問題與解決問題有何區別?
（3）如何增進文字題的理解與解題?
(一) 數與量－解題知識
加與減：正整數單一步驟加與減文字題
(一) 數與量(續)
加與減：正整數單一步驟加與減文字題
加減法解題知識：改變量未知題
【問題一】
魚缸裡原有4 條魚，
現在共有9 條魚，
君君又放進一些，
君君放進幾條魚？
4 ＋（5 ）＝9
9 －4 ＝5
15
37
6
2
59
8
4
國北教大 譚寧君(2011)
乘法解題知識：文字題分類
乘與除：正整數單一步驟乘與除文字題
乘法解題知識：文字題分類
乘與除：正整數單一步驟乘與除文字題
乘法解題知識：文字題分類
乘除法解題知識：等組型包含除題
除法：
有24個果凍，每6個裝1袋，可以裝成幾袋？」
把做法用算式記下來：
減法
加法
24－6＝18
6＋6＝12
18－6＝12
12＋6＝18
12－6＝6
18＋6＝24
乘法
6×（ 4 ）＝24
6－6＝0
共減去 4
個6
共加了 4
個6
有 4
還有別的方法可以記錄嗎？
國北教大 譚寧君(2011)
個6
除法解題知識：等組型等分除題
30片餅乾平分給6個人，每人可以得幾片呢？ 」
一次1人分1片
1個6
2個6
3個6
4個6
5個6
記成除法算式：
平分給6個人
除號 一次分6片
每人可以得幾片
÷
6
＝
5
30 除以
6
等於
5
有30片餅乾
30
讀作
國北教大 譚寧君(2011)
答： 每人可以得到5片
2
8
汽水一瓶剩下 公升，媽媽再將每
公升
9
9
裝成一小罐，請問媽媽共可以裝多少罐？
要怎麼列式呢？
8
9
2
公升 ÷
公升=（ 4罐
9
）
也可以怎麼想呢？
8
1
個
9
÷2
1
個
9
= 4罐
8
公升可以裝( 4 )罐
9
44
公升可以裝( 22)罐
)罐
公升可以裝(
9 29
2
公升可以裝(111)罐
)罐
公升可以裝(
9
9
解題方法
國北教大 譚寧君(2011)
圍牆高2 7 m，小蝸牛每天爬 5 m，請問小蝸牛
9
9
要幾天後，才能從圍牆最底下爬到最高處？
1天
0
2天
3天
4天
5天
2
7
9
1 2 3 4 5 6 7 8
10 11 12 13 14 15 16 17 19 20 21 22 23 24 25
1
2
9 9 9 9 9 9 9 9
9 9 9 9 9 9 9 9
9 9 9 9 9 9 9
要怎麼列式呢？
5
7
2 m÷
9
9
m
=（
25
9
5天 ）
5
m ÷ m =（
9
）
也可以怎麼想呢？
=
1÷ 5 1
（個
9 m） （個 9 m）
25
5天
國北教大 譚寧君(2011)
解題方法
3
媽媽買了一些芒果汁，怡靜喝了 公升，弟弟
4
2
喝了 公升，請問怡靜喝的果汁是弟弟的多少
3
倍？
怎樣列算式？
1
12
1
12
3
3 3
2442
2
3
÷
÷
＝ (3×3) ÷ (4×2)
＝
4
412
3
3412
43
3
1
3
3

3
3
9
×
＝
＝ ＝ 1 你發現了什麼？
＝
8
2
4 2
4
8
國北教大 譚寧君(2011)
Polya怎樣解題
哥哥想在一個長16公尺、寬12公尺的長方
1.瞭解題意
形花園四周種小樹苗，四個角落都要種，
2.擬訂計畫
3.執行計畫
每株樹苗之間的距離都相同，他最少要種
4.反省檢討
•Polya怎樣解題
幾株樹苗？
1.瞭解題意
題目的意思什麼？
2.擬訂計畫
1.已知的是什麼？
長16公尺，寬12公尺的長方形
3.執行計畫
長方形四個角都要種樹
4.反省檢討
每株樹苗之間距離相同
2.未知的是什麼？
最少需要多少樹苗？
國北教大 譚寧君(2011)
下一步
看題目
Polya怎樣解題
1.瞭解題意哥哥想在一個長16公尺、寬12公尺的長方
形花園四周種小樹苗，四個角落都要種，
2.擬訂計畫
3.執行計畫
每株樹苗之間的距離都相同，他最少要種
4.反省檢討
幾株樹苗？
1.先做什麼？
2.關鍵訊息是什麼？
四個角都種
每株樹苗之間距離相等
12公尺
3.怎麼樣算出每株樹苗之間
的最大距離？
求16、12的最大公因數
4×4=16
4×3=12
國北教大 譚寧君(2011)
16公尺
4公尺
4公尺
4公尺
4公尺
4公尺
4公尺
下一步
看題目
Polya怎樣解題
1.瞭解題意哥哥想在一個長16公尺、寬12公尺的長方
2.擬訂計畫形花園四周種小樹苗，四個角落都要種，
3.執行計畫
每株樹苗之間的距離都相同，他最少要種
4.反省檢討
幾株樹苗？
16公尺
1先求出最大公因數 (4公尺)
4
16
4
4公尺
12
3
12公尺
2再求出四邊需要的樹苗
( 3＋2 ) × 2＝10
3再加上四個角的樹苗
10＋4＝14
國北教大 譚寧君(2011)
4公尺
4公尺
4公尺
4公尺
4公尺
下一步
看題目
Polya怎樣解題
1.瞭解題意哥哥想在一個長16公尺、寬12公尺的長方
想一想，還有其他方法嗎？
2.擬訂計畫形花園四周種小樹苗，四個角落都要種，
3.執行計畫
每株樹苗之間的距離都相同，他最少要種
4.反省檢討
我想用周長來算
幾株樹苗？
周長：( 16＋12 ) × 2＝56
16公尺
周長÷樹苗距離：56 ÷ 4＝14
答：最少要種14株樹苗
4公尺
4公尺
12公尺
4公尺
4公尺
4公尺
4公尺
4公尺
國北教大 譚寧君(2011)
下一步
看題目
(一)數與量：量測概念知識量的認識、單位轉換與量感
量與量測位概念發展架構
量的概念發展與測量單位(除時間之外)
– 量的認識，並能直接比較
– 間接比較(保留概念、量的相等、大小的遞移律)
– 個別單位：以等量的合成、複製來描述一個量，
並進行比較。認識各種基本的普遍單位。
– 單位的化聚：用大單位描述的量改用小單位來描
述，此即「化」，反之則為「聚」。
– 公式化的概念：僅有面積與體積有此層次
國北教大 譚寧君(2011)
※除夕夜，在各地工作的親戚都要回老家，比較下列每
個親戚與老家的距離。 (猜猜學生概念知識通過率)
甲：伯父家與老家的距離是3公里50公尺
乙：姑姑家與老家的距離是30050公尺
丙：叔叔家與老家的距離是2090公尺
丁：堂哥家與老家的距離是350公尺
(1)甲＞乙＞丙＞丁
(2)甲=乙＞丙＞丁
(3)乙＞丙＞甲=丁
(4)乙＞甲＞丙＞丁
(1)
8.22
(2)
23.16
(3)
5.11
(4)
61.89
※下圖甲、乙兩條直線互相平行，請比
較A、B、C三個圖形的面積大小
？ (猜猜學生概念知識
通過率)
(1)A＞C＞B
(2)B＞A=C
(3)A=B=C
(4)A＞B=C
(1)
10.52
(2)
14.32
(3)
34.22
(4)
17.74
※.小維每天早上上午7時25分前要出門去上學，
早上刷牙、洗臉、吃早餐一共要花30分鐘，每天睡
眠時間需要9小時，小維每天最晚應該要幾點去睡
覺？ (猜猜學生解題知識通過率)
(1)21時30分
(2)21時55分
(3)22時35分
(4)22時55分
(1)
20.92
(2)
42.22
(3)
11.46
(4)
16.06
29.右表是記錄周末小丸子上午和下午玩電 上午 48分50秒
動的時間。小丸子、姐姐和爺爺分別計算
下午 52分55秒
總共玩了多久的時間，請問誰算對了？
(1)小丸子
(2)姐姐
(3)爺爺
(4)小丸子和
姐姐都算對
(1)
8.09
(2)
15.82
(3)
58.03
(4)
15.44
量測概念知識：量的認識與量測
請問這三種積木哪一個的周長比較長呢？
請按我
８cm
12cm
12cm
８cm
８cm
12cm
4cm
4cm
（8+12）x2=40 （8+12）x2=40
4x2=8
4x3=12
（8+12）x2=40
國北教大 譚寧君(2011)
量測概念知識：量測單位的認識與轉換
3-n-14
能認識長度單位「毫米」，及「公尺」、「公分」、
「毫米」間的關係，並做相關的實測、估測與計算。
Factor
1024
1021
1018
1015
1012
109
106
103
102
101
Name
yotta
zetta
exa
peta
tera
giga
mega
kilo
hecto
deca
Symbol
Y佑
Z皆
E艾
P拍
T兆
G吉
M 百萬
k千
h百
da 十
國北教大 譚寧君(2011)
Factor
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
10-21
10-24
Name
deci
centi
milli
micro
nano
pico
femto
atto
zepto
yocto
Symbol
d分
c厘
m毫
μ微
n奈
p皮
f 飛
a阿
z介
y攸
量測概念知識：量測單位的認識與轉換
十 公 公
釐 毫
公 公
公
百 公
分 公
千
米
米 尺 寸
米 米
里 引
釐
米 丈
米 分
米
微
米
奈
米
09
09
0
09
09
09
09
09
09
09
09
09
09
1
4
7
2
5
8
3
6
1
4
7
2
5
8
3
6
1
4
7
2
5
8
3
6
1
4
7
2
5
8
3
6
9
1
4
7
2
5
8
3
6
1
4
7
2
5
8
3
6
1
4
7
2
5
8
3
6
1
4
7
2
5
8
3
6
1
4
7
2
5
8
3
6
1
4
7
2
5
8
3
6
1
4
7
2
5
8
3
6
1
4
7
2
5
8
3
6
1
4
7
2
5
8
3
6
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
4 5 6 4 5 6 4 5 6 4 5 6 4 5 6 4 5 6 4 5 6 4 5 6 4 5 6 4 5 6 4 5 6 4 5 6 4 5 6
7 8 9 7 8 9 7 8 9 7 8 9 7 8 9 7 8 9 7 8 9 7 8 9 7 8 9 7 8 9 7 8 9 7 8 9 7 8 9
重量單位換算
容量單位換算
國北教大 譚寧君(2011)
量測概念知識：量測單位的認識、轉換與量感
認識「公畝」、「公頃」和「平方公里」
10m
★公畝的意義
10×10＝100平方公尺
＝1公畝＝1a
10m
老師書桌
100 教室的面積比1公畝大還是小？
量測概念知識：時間概念--順序 、週期與相對量感
這是秒針，
秒針走1小格是1秒鐘。
認識1秒鐘
0
11
12
6
1
10
8
2
9
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
3
8
38
37
36
7
秒針走1圈是60秒，
這時，分針也走了1小格，
所以是1分鐘。
4
7
35
34 33
6
32 31 30 29
5
26
27
28
國北教大 譚寧君(2011)
認識一天的時間
短針轉2圈，長針轉24圈，共經過24小時，就是一天。
短針轉 21 圈
1日＝24小時
11
12
1
10
2
3
9
8
4
7
昨天
6
今天
5
明天
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
21 22 23 24
0 1 2 3 70
時制的換算
12小時制轉換成24小時制，
上午的時刻，表示「時」的數字是一樣的；
下午的時刻，表示「時」的數字要加12。
如果是24小時制轉換成12小時制，
下午的時刻，表示「時」的數字就要減12。
試試看囉！
下一題
再下一題
圖解
☆下午7點用24小時制要怎麼表示？
19點
☆20點用12小時制要怎麼表示？ 下午8點
☆上午6點用24小時制要怎麼表示？ 6點
中
午
上午
下午
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
昨天
今
天
明天
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
21 22 23 24
0 1 2 3
國北教大 譚寧君(2011)
平面圖形
•
•
•
•
(二)幾何
圖形外觀之辨識
形狀的構成要素
平面圖形元素間的關係與繪製
.圖形性質之探究與應用
• 立體圖形
•
•
•
•
•
立體物外觀之辨識
立體物的構成要素
立體物構成元素間的關係
立體圖性質之探究與應用
平面圖形與立體圖形之轉換
• 空間定位
• 位置、方向與距離
國北教大 譚寧君(2011)
van Hiele’s Levels of Geometric Thinking
幾何思考層次
•
•
•
•
•
Level 0: Visual視覺期
Level 1: Descriptive/Analytic分析期
Level 2: Abstract/Relational關係期(非形式演繹)
Level 3: Formal Deduction形式演繹
Level 4: Rigor/Metamathematical綜合期
國北教大 譚寧君(2011)
van Hiele模式的特性
（Properties of the Model）
1.次序性(Sequential)
2.發展性(Advancement)
3.內因性與外因性(Intrinsic and Extrinsic)
4.語言性(Linguistics)
5.不配合性(Mismatch)
國北教大 譚寧君(2011)
學習的階段（Phases of Learning）
幾何學習的階段
階段1:詢問(Inquiry/Information)
階段2:直接引導(Directed Orientation)
階段3:發表(Explication)
階段4:開放引導(Free Orientation)
階段5:整合(Integation)
國北教大 譚寧君(2011)
※有關四邊形的敘述，下面誰說的是錯
誤的？ (猜猜學生概念知識通過率)
(1) 海綿寶寶：「平行四邊形和長方形都有兩雙對
邊分別互相平行」
(2) 派大星：「正方形和長方形都有兩雙對邊分別
會相等長」
(3) 蟹老闆：「正方形和菱形都有四個直角」
(4) 珊迪：「平行四邊形和菱型都有對角分別相等
的性質」
(1)
8.34
(2)
20.92
(3)
57.04
(4)
9.96
※ 甲：有兩條邊相等 乙：三個角相等
下列哪一個三角形，同時符合上面
甲、乙這兩種性質？
(1)正三角形
(2)等腰三角形
(3)直角三角形
(4)等腰直角三角形
(1)
(2)
(3)
(4)
42.09 30.39
7.1
15.57
平面圖形：構成元素間關係
平面圖形：構成元素間垂直關係
認識垂直
哪個圖中的兩條線互相垂直？
形成1個直角
在認為互相垂直的
圖上按一下。
形成4個直角
兩條線相交形成的角是直角，
我們說這兩條線互相垂直。
形成2個直角
看說明
國北教大 譚寧君(2011)
使用說明
平面圖形：構成元素間平行關係
認識平行
哪個圖中的兩條線互相平行？
在認為互相平行的兩
條線上分別按一下。
延長兩條線，兩條線不相交，
我們說這兩條線互相平行。
看說明
國北教大 譚寧君(2011)
使用說明
(三)統計
統計學包括三個主題
• 描述統計(集中量數、變異量數、相對地
位量數、統計圖表)
• 機率理論
• 推論統計(參數推估、假設考驗)
•統計的程序
•
•
•
•
1、收集資料（問卷等）
2、分析整理資料 （分類、統計方法）
3、表徵資料（統計圖、 統計表）
4、解釋資料
國北教大 譚寧君(2011)
統計：解釋資料評量？ (猜猜學生概念知識通過率)
李源順等人(2009)分析TIMSS的表現
※下面是某一周臺北、基隆和南投每天平均氣溫折線圖
？ (猜猜學生概念
知識通過率)
。
觀察上面的折線圖，下面誰的說法正確？
(1) 米奇：「南投這一週的天氣氣溫溫差變化比較小。」
(2) 米妮：「臺北和基隆的氣溫變化折線一模一樣，所以每天
的溫差變化一定一樣。」
(3) 布魯托：「臺北、基隆和南投這一週的氣溫持續升高。」
(4) 唐老鴨：「臺北這一週星期五、六和日的氣溫相同，無變
化。」
(1)
10.46
(2)
7.85
(3)
14.82
(4)
66.5
※下表是小宇上個月的消費支出統計表，
由下面統計表選出正確的選項
？ (猜猜學生概念知識通過率) 。
(1)保險費和水電費支出的百分率相等
(2)伙食費占支出總數的3.25%
(3)小宇上個月的水電費為2500元
17
(4)房租占支出總數的 40
(1)
12.17
(2)
21.67
(3)
15.97
(4)
45.75
統計：收集資料
老趙想開一家涮涮鍋店，所以做了一項
喜愛肉品大調查，調查結果如下表：
類別 豬肉 牛肉 羊肉 雞肉 魚肉
人數 50
50
40
30
30
(人)
(1)現在老趙要繪製一個圓形圖，請你
幫他算出各種肉品所佔扇形區域的
角度。
要怎麼算呢？
國北教大 譚寧君(2011)
統計：整理分析資料
類別
人數
(人)
豬肉
50
牛肉
50
羊肉
40
雞肉
30
魚肉
30
豬
50 1 25
 
 25%
肉 50  200 
360˚×25%=90˚
牛
肉
360˚×25%=90˚
羊
肉
200 4 100
50 1 25
50  200 
 
 25%
200 4 100
40 1 20
40  200 
 
 20%
200 5 100
360˚×20%=72˚
雞 30  200  30  3  15  15%
200 20 100
肉
360˚×15%=54˚
魚 30  200  30  3  15  15%
200 20 100
肉
360˚×15%=54˚
統計：呈現資料
(2)請你幫老趙繪製正確的圓形圖。
標題
第一步
魚肉54˚
豬肉90˚
第二步
第三步
雞肉54˚
第四步
第五步
牛肉90˚
羊肉72˚
喜愛肉品調查圓形圖
國北教大 譚寧君(2011)
第六步
第七步
代數：文字符號的意義
今年爸爸42歲，小華Ｙ歲，爸爸是
小華的3.5倍，爸爸今年幾歲？
0.5Y
Y
42歲
列式
Y × 3.5 = 42
Y= 42 ÷ 3.5
=12 (歲)
國北教大 譚寧君(2011)
我Y歲
我42歲
討論議題：代結語
1
1
1
解決 2 × ( 3 －
) ＝？
7
8
3
須具備哪些能力?
四則運算
異分母相減
帶分數與假分數的轉換
等值分數
約分與擴分(因數與倍數) 分數乘以分數
分數大小比較
乘法意義
數學性質（分配律）
其他
國北教大 譚寧君(2011)
2
3
1
3
教室布告欄長2 公尺、寬1 公尺，
面積是多少平方公尺？
22
2
3
2
1
11 3
1
3
1
1×2＝ 2
1
3
1
3
1
3
×2＝
2
3
2
3
1×
1
3
2
3
2
3
2
2
＝3
3
×
2
2
＝9
3
1 ×2
1
1
2
＝ 1 × 2 ＋ 3 × 2＋ 1 × 3 ＋ 3 ×
2
2
2
＝ 2＋ 3 ＋ 3 ＋ 9
2
3
(法一)
2
3
1
3
教室布告欄長2 公尺、寬1 公尺，
面積是多少平方公尺？
1
3
1
3
11
33
1
3
1
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
2
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
1
3
1
3
2
3
(法二)
1
3
1
3
1
3
1
1
3
×2
2
3
＝
4
3
×
國北教大 譚寧君(2011)
8
3
＝
48
33
＝
32
9
你會怎麼解？
法一
1
2 ×
3
(
22
7
1
8
－ )
176－7
1
＝2 × (
)
56
3
7
169
＝ ×
3
56
7
1
1183
＝
＝ 7 168 ＝ 7 24
168
法二
1
2
3
×(
1
3+
7
1
8
－ )
1
1
＝2 ×3
56
3
1
1 1
＝2×3+2× + ×3 +
3  56
56 3
6 1
＝6 + 1 +
3  56
1
7
＝ 7 168 ＝ 7 24
拿出筆來算算看，把答案化成最簡分數。
3
7
3
7
＋
30
＋
＝ 30 ＋
10
15
10
15
3
2
3
2
9 － 4 ＝ ( 9－4 ) ＋( － )
4
9
4
9
71
1
1
29
1 1
＋
＝10 ＋14 ＝ 24＋ ＋
7
7
2
2
7 2
3
4
1
3
4
3
5 － ＝ 4 － ＝ 4＋( － )
4
3
3
4
3
4
數學是培養高感性與高體會能力的重要學科
教學應注意是：
教學概念的完整性、
教材呈現的順序性、
教學時機性的適切性、
教學評量的診斷性。
孩子未來的希望 即是因為有了您
Do right thing, do thing right
參考文獻
• 張新仁 (2001) 實施補救教學之課程與教學設計。
教育學刊，17，85-106。
• Ausubel, D. P., Novak, J. D., & Hanesian, H.
(1978). Educational psychology:A cognitive
view (2nd ed.). New York: Holt, Rinehart
• Anderson , Krathwohl,Airasian &Cruikshank
(2000) .A taxonomy for learning, teaching, and
assessing：A revision of Bloom’s Taxonomy
of Educational Objectives.
國北教大 譚寧君(2011)