Transcript belajar persamaan elips

ELIPS
Tempat kedudukan titik-titik yang
jumlah jaraknya terhadap dua titik
tertentu mempunyai nilai yang
tetap
Titik tertentu itu dinamakan
fokus atau titik api dari elips
A1 F1
F2 A2
B1(0, b)
P(x, y)
b
a
A1(-a,0)
F1(-c,0)
O
c
F2(c,0)
B2(0, -b)
Misal titik tersebut titik P, maka :
PF1 + PF2 = 2a
A2(a, 0)
B1(0, b)
P(x, y)
b
a
A1(-a,0)
F1(-c,0)
O
c
F2(c,0)
B2(0, -b)
Jika titiknya A2, maka :
A2F1 + A2F2 = 2a
(a + c) + (a – c) = 2a
2a = 2a
A2(a, 0)
B1(0, b)
P(x, y)
b
a
A1(-a,0)
F1(-c,0)
O
c
F2(c,0)
A2(a, 0)
B2(0, -b)
B1F1  B1F2  2a
Jika titiknya B1, maka :
b2  c 2 
b 2  c 2  2a
2 b 2  c 2  2a
b2  c 2  a
b2  c 2  a2
PERSAMAAN ELIPS
Pusat O (0,0)
2
2
x
y
 2 1
2
a
b
SUMBU SIMETRI




Sumbu simetri yang melalui titik fokus F1 dan F2
disebut sumbu utama atau sumbu transversal
Ruas garis A1A2 disebut sumbu panjang atau sumbu
mayor
Sumbu simetri yang melalui titik tengah F1 dan F2
yang tegak lurus sumbu utama disebut sumbu
sekawan atau sumbu konjugasi
Ruas garis B1B2 disebut sumbu pendek atau sumbu
minor
Menentukan eksentrisitas,
direktris dan lactus rectum
Definisi elips :
Perbandingan kedudukan titik-titik yang
berjarak sama terhadap suatu titik dan suatu
garis tetap harganya antara 0 dan 1
B1
b
a
Q
A1
F1
O
c
F2
A2
P
B2
x = -k
x=k
B1

Ambil titik tertentu : A2
A2F2
e
A2P
A2Pe  A2F2
(k  a )e  a  c
ke  ae  a  c .... (1)
b
a
Q
A1 F1
O
c
F2
A2
P
B2
x = -k

x=k
Ambil titik tertentu : A1
A1F2
e
A1P
A1Pe  A1F2
(a  k )e  a  c
ae  ke  a  c ....(2)
Subsitusi (1) dan (2)
a  c  ke  ae
a  c  ke  ae
2a  2ke
a  ke
a
k 

e
pers. direktris
Subsitusi (1) dan (2)
a  c  ke  ae
a  c  ke  ae
2c  2ae
c  ae
c
e 

a
eksentrisitas
Contoh :
Tentukan persamaan elips dengan
pusat (1,2) dan eksentrisitas 4/5
sedangkan direktrisnya 4x = 25
Menentukan latus rectum
Definisi:
Garis yang melalui F1 dan F2 tegak
lurus sb. Utama memotong elips di L1 dan L’1
B1
L1’
L2’(c, y)
b
F1
A1
O
L1
L1L1’ = L2L2’ =
latus rectum
c
a
F2
A2
L2(c, -y)
B2
L1  elips
diperoleh :
x2 y 2
 2 1
2
a
b
2
2
c
y
 2 1
2
a
b
c 2 b 2  y 2a 2  a 2 b 2
a y a b c b
2
2
2
2
2
 b2 
L1  c,  dan
 a 
2

b 
L1 '  c,   , maka
a 

L1L1'  L1F2  L1' F2
2
2
a 2 y 2  b 2 (a 2  c 2 )
a 2 y 2  b 2b 2
4
2
b
b
y  2  y 
a
a
2
2
b
b


a
a
2b 2

a
Panjang lactus rectum
ANALOG DENGAN
PERSAMAAN ELIPS PUSAT
,  
x   
2
a
2

y  

2
b
2
1
c
a
e , k h
a
e
GARIS SINGGUNG
g  y  mx  c ......... (1)
Misal garis
2
2
x
y
 2  1 ........... (2)
2
a
b
Pers. Elips
b 2 x 2  a 2 (mx  c )2  a 2b 2
maka : (a
2
m  b )x  2a mcx  a c  a b  0
2
2
2
2
2 2
D  4a b (a m  b  c )
2 2
2
2
2
2
2 2
y
g
y
g
x
O
D>0
x
O
y
g
O
D<0
x
D=0
Persamaan garis singgung
bergradien p
x1x
y 1y


1
2
2
a
b
TITIK DAN GARIS POLAR
Misal sebuah titik P(x1, Y2) diluar suatu
elips . Dari titik P ditarik dua buah garis
singgung, maka garis hubung p antara
kedua titik singgungnya disebut garis
polarnya P terhadap elips dan P sebagai
titik polar dari garis p tersebut.
Titik Polar
y
P (x1, y1)
R (x3, y3)
Garis Polar
Q (x2, y2)
O
x
Akan dibuktikan:
x1x
y 1y


1
2
2
a
b
merupakan persamaan garis polar
titik P(x1, y1) yang terletak diluar
elips terhadap elips tersebut
Bagaimana jika titik polar P terletak di dalam elips?
Garis
Polar
Titik Polar
y
B
P
O
A
x
Latihan (Hal 20 – 23)



No. 4
No. 7
No. 26