Transcript 3. elips - WordPress.com

soesilongeblog.wordpress.com
Irisan Kerucut
ELIPS
by Gisoesilo Abudi
Irisan Kerucut
1
LINGKARAN
2
PARABOLA
3
ELIPS
4
HIPERBOLA
soesilongeblog.wordpress.com
Elips
Ellips adalah tempat
kedudukan
titik-titik
pada bidang datar yang
jumlah
jaraknya
terhadap
dua
titik
tertentu yang diketahui
adalah tetap (konstan).
Dua titik tertentu itu disebut fokus
atau titik api (F1 dan F2), jarak (F1
dan F2) adalah 2c, dan jumlah jarak
tetap 2a (a > 0)
soesilongeblog.wordpress.com
Elips
Perhatikan gambar
(0, b)
D
A1 (-a, 0)
(- c, 0)F1
E
B1
P
B2
K
T
(c, 0)F2
A2 (a, 0)
L
(0, - b)
soesilongeblog.wordpress.com
Elips
Keterangan
1. (F1 dan F2) disebut fokus.
Jika T adalah
sembarang titik pada elips maka TF1 + TF2
= 2a. F1F2 = 2c, dengan 2a > 2c
2. A1A2 merupakan sumbu panjang (sumbu
mayor) yang panjangnya sama dengan
jarak tetap yaitu 2a. B1B2 merupakan
sumbu pendek (sumbu minor) yang
panjangnya sama dengan 2b. Karena itu
a > b.
3. Lactus rectum yaitu segmen garis yang
dibatasi elips, tegak lurus sumbu mayor,
dan melalui fokus (DE dan
KL) panjang
2
2𝑏
lactus rectum DE = KL =
𝑎
soesilongeblog.wordpress.com
Elips
Keterangan
2. Titik pusat (P) yaitu titik potong
sumbu mayor dengan sumbu minor
3. Titik puncak elips yaitu A1 ,A2 ,B1 ,
dan B2
soesilongeblog.wordpress.com
Elips
a. Persamaan Elips Berpuncak di O(0, 0)
Pusat P(0, 0)
Fokus
𝒙𝟐 𝒚𝟐
+ 𝟐=𝟏
𝟐
𝒂
𝒃
(-c, 0), (c, 0)
𝒙𝟐 𝒚𝟐
+ 𝟐=𝟏
𝟐
𝒃
𝒂
(0, -c), (0, c)
Puncak
(-a, 0), (a, 0)
(0, -a), (0, c)
Sumbu mayor
𝟐𝒃𝟐
𝒂
Sumbu X
𝟐𝒃𝟐
𝒂
Sumbu Y
Sumbu minor
Sumbu Y
Sumbu X
Persamaan elips
LR
soesilongeblog.wordpress.com
Contoh soal 1
Tentukan
persamaan
elips
dengan titik puncaknya (13, 0)
dan fokus F1 (-12, 0) dan F2(12,
0).
soesilongeblog.wordpress.com
Penyelesaian
Diketahui pusat elips (0, 0)
Titik puncak (13, 0) ⇔ a = 13
Titik fokus (-12, 0) dan (12, 0) ⇔ c = 12
𝑏 2 = 𝑎2 − 𝑐 2
= 132 − 122
= 169 – 144
= 25 ⇔ b = 25 = 5
Sumbu utama adalah sumbu x, sehingga
persamaan elipsnya adalah :
𝑥2
132
+
𝑦2
52
= 1 atau
𝑥2
169
+
𝑦2
25
=1
soesilongeblog.wordpress.com
Contoh soal 2
Tentukan
persamaan
elips
dengan fokus F1 (0, -4) dan
F2(0, 4) dengan titik puncak (0,
5) dan (0, -5) !
soesilongeblog.wordpress.com
Penyelesaian
Diketahui pusat elips (0, 0)
Titik puncak (0, 5) ⇔ a = 5
Titik fokus (0, -4) dan (0, 4) ⇔ c = 4
𝑏 2 = 𝑎2 − 𝑐 2
= 52 − 42
= 25 – 16
=9⇔b= 9=3
Sumbu utama adalah sumbu y, sehingga
persamaan elipsnya adalah :
𝑥2
32
+
𝑦2
52
= 1 atau
𝑥2
9
+
𝑦2
25
=1
soesilongeblog.wordpress.com
Contoh soal 3
Diketahui
elips
dengan
𝑥2
𝑦2
persamaan
+ = 1. Tentukan
25
81
fokus, titik puncak, panjang
sumbu mayor, panjang sumbu
minor
dan
panjang
lactus
rectumnya !
soesilongeblog.wordpress.com
Penyelesaian
𝑥2
25
𝑦2
81
Diketahui persamaan elips + = 1
𝑎2 = 81 ⇔ a = 9
𝑏 2 = 25 ⇔ b = 5
𝑐 = 𝑎2 − 𝑏 2
= 81 − 25
= 56 ⇔ c = 2 14
Fokus (0, - 2 14 ) dan (0, 2 14 )
Titik puncak (0, -9) dan (0, 9)
Panjang sumbu mayor ⇔ 2a = 18
Panjang sumbu minor ⇔ 2b = 10
Panjang lactus rectum (LR) ⇔
2𝑏 2
𝑎
=
50
9
soesilongeblog.wordpress.com
Elips
b. Persamaan Elips Berpuncak di P(m, n)
Pusat P(m, n)
Fokus
(𝒙 − 𝒎)𝟐 (𝒚 − 𝒏)𝟐
+
=𝟏
𝟐
𝟐
𝒂
𝒃
(m - c, n), (m + c, n)
(𝒙 − 𝒎)𝟐 (𝒚 − 𝒏)𝟐
+
=𝟏
𝟐
𝟐
𝒃
𝒂
(m, n - c), (m, n + c)
Puncak
(m - a, n), (m + a, n)
(m, n - a), (m, n + a)
Sumbu mayor
𝟐𝒃𝟐
𝒂
Y=n
𝟐𝒃𝟐
𝒂
X=m
Sumbu minor
X=m
Y=n
Persamaan
elips
LR
soesilongeblog.wordpress.com
Contoh soal 1
Tentukan persamaan elips fokus
F1 (1, 3) dan F2(7, 3), dan
puncaknya (10, 3) !
soesilongeblog.wordpress.com
Penyelesaian
Fokus (1, 3) dan (7, 3) ⇔ m – c = 1; m
+ c = 7, dengan eliminasi diperoleh m =
4 dan c = 3
Pusat P(m, n) ⇔ P(4, 3) ⇔ m = 3
Pusat P(10, 3) ⇔ m + a = 10 ⇔ a = 6
𝑏 2 = 𝑎2 − 𝑐 2
= 62 − 32
= 36 – 9
= 27 ⇔ b = 3 3
soesilongeblog.wordpress.com
Penyelesaian
Sumbu utama y = 3, sehingga
persamaan elipsnya menjadi :
(𝑥−4)2
62
+
atau
(𝑥−4)2
36
(𝑦−3)2
(3 3)2
+
=1
(𝑦−3)2
27
=1
soesilongeblog.wordpress.com
Contoh soal 2
Tentukan titik pusat, fokus, titik
puncak dan panjang lactus
ractum
dari
elips
yang
(𝑥+1)2
mempunyai persamaan
+
(𝑦−5)2
36
=1!
9
soesilongeblog.wordpress.com
Penyelesaian
(𝑥+1)2
9
(𝑦−5)2
36
Diketahui
+
Pusat elips P(-1, 5)
𝑎2 = 36 ⇔ a = 6
𝑏 2 = 9 ⇔ b = 3
𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2
= 62 − 32
= 36 – 9
= 27 ⇔ b = 3 3
=1!
soesilongeblog.wordpress.com
Penyelesaian
Fokus F1 ( -1, 5 - 3) ⇔ F1 ( -1, 2)
Fokus F2 ( -1, 5 + 3) ⇔ F1 (-1, 8)
Puncak P ( -1, 5 - 6) ⇔ P (-1, 1)
Puncak P ( -1, 5 + 6) ⇔ P (-1, 11)
Panjang lactus rectum =
2𝑏2
𝑎
2.9
=
6
=3
soesilongeblog.wordpress.com
Bentuk Umum Persamaan Elips
Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0
Hubungan antara persamaan Ax2 + By2
+ Cx2 + Dy 2+ E = 0 dengan persamaan
(𝑥−𝑚)
(𝑦−𝑛)
+
= 1, adalah sebagai berikut :
2
2
𝑎
𝑏
Jika A > B, maka A = a2, B = b2 , C = 2 a2 m, D = -2b2 n, E = a2m2 +b2n2 a2b2
Jika A < B, maka A = b2, B = a2 , C = 2 b2 m, D = -2a2 n, E = b2m2 +a2n2 a2b2
soesilongeblog.wordpress.com
Contoh soal
Tentukan titik pusat dan fokus
dari
elips
yang
memiliki
persamaan 4x2 + 9y2 - 16x +
18y - 11 = 0 !
soesilongeblog.wordpress.com
Penyelesaian
Diketahui 4x2 + 9y2 - 16x + 18y - 11 = 0
A = 4, B = 9, C = -16, D = 18, E = -11
𝑏 2 = A = 4 ⇔ b = 2
A<B
𝑎2 = B = 9 ⇔ a = 3
C = -2b2m
D = -2b2m
C2=a2 - b2
-16 = -2.4.m 18 = -2.9.n
=9-4
-16 = -8m
18 = -18n
=5
2=m
-1 = n
C= 5
Pusat P(m, n) ⇔ P(2, -1)
Fokus F1(m - c, n) ⇔ F1(2 - 5, -1)
Fokus F2(m + c, n) ⇔ F2(2 + 5, -1)
soesilongeblog.wordpress.com
Persamaan garis singgung elips dititik
P(𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 )
Persamaan garis singgung
Persamaan elips
Melalui titik (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 )
Dengan gradien p
𝒙𝟐 𝒚𝟐
+
=𝟏
𝒂𝟐 𝒃𝟐
𝒙𝟏 𝒙 𝒚𝟏 𝒚
+ 𝟐 =𝟏
𝒂𝟐
𝒃
𝒚 = 𝒑𝒙 ± 𝒂𝟐 𝒑𝟐 + 𝒃𝟐
𝒙𝟐 𝒚𝟐
+
=𝟏
𝒃𝟐 𝒂𝟐
𝒙𝟏 𝒙 𝒚𝟏 𝒚
+ 𝟐 =𝟏
𝒃𝟐
𝒂
𝒚 = 𝒑𝒙 ± 𝒂𝟐 + 𝒑𝟐 𝒃𝟐
soesilongeblog.wordpress.com
Persamaan garis singgung elips dititik
P(m, n)
Persamaan garis singgung
Persamaan elips
Melalui titik (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 )
Dengan gradien p
(𝐱 − 𝐦)𝟐 (𝐲 − 𝐧)𝟐
+
=𝟏
𝐚𝟐
𝐛𝟐
(𝒙𝟏 − 𝒎)(𝒙 − 𝒎) (𝒚𝟏 −𝒏)(𝒚 − 𝒏)
+
=𝟏
𝒂𝟐
𝒃𝟐
𝒚 − 𝒏 = 𝒑(𝒙 − 𝒎) ± 𝒂𝟐 𝒑𝟐 + 𝒃𝟐
(𝐱 − 𝐦)𝟐 (𝐲 − 𝐧)𝟐
+
=𝟏
𝐛𝟐
𝐚𝟐
(𝒙𝟏 −𝒎)(𝒙 − 𝒎) (𝒚𝟏 −𝒏)(𝒚 − 𝒏)
+
=𝟏
𝒃𝟐
𝒂𝟐
𝒚 − 𝒏 = 𝒑(𝒙 − 𝒎) ± 𝒂𝟐 + 𝒑𝟐 𝒃𝟐
soesilongeblog.wordpress.com
Contoh soal 1
Tentukan persamaan garis singgung
elips berikut,
a.
b.
c.
x2
y2
+ = 1, pada titik (4, 3)
28
21
(x−1)2
(y+2)2
+
= 1, pada titik (5,
18
9
3
2
2
3x + 16y = 48, pada titik 2,
2
-3)
soesilongeblog.wordpress.com
Solusi
x2
y2
+
28
21
a. Diketahui :
=1
(4, 3) ⇔ x1 = 4 dan y1 = 3
Persamaan garis singgung :
x1 x
y1 y
⇔ 2 + 2 =1
⇔
a
b
4x
3y
+ =
28
21
x
y
+ =1
7
7
1
⇔
⇔x+y=7
soesilongeblog.wordpress.com
Solusi
(x−1)2
18
(y+2)2
9
b. Diketahui :
+
=1
Pusat (m, n) ⇔ (1, -2)
(5, -3) ⇔ x1 =5 dan y1 = -3
Persamaan garis singgung :
(x1 −m)(x−m)
(y1 −n)(y−n)
⇔
+
2
a
b2
(5−1)(x−1)
(−3+2)(y+2)
⇔
+
=
18
9
4(x−1)
−(y+2)
⇔
+
=1
18
9
2(x−1)
−(y+2)
⇔
+
=1
9
9
=1
1
⇔ 2(x – 1) - (y + 2) = 9
⇔ 2x – y = 13
soesilongeblog.wordpress.com
Solusi
c. Diketahui :3x 2 + 16y 2 = 48
b2 = 3 dan a2 = 16
3
3
(2, ) ⇔ x1 = 2 dan y1 =
2
2
Persamaan garis singgung :
⇔ b2 x1 x + a2 y1 y = a2 b2
3
16. y
2
⇔3.2. x +
= 48
⇔ 6x + 24y = 48
⇔ x + 4y = 8
soesilongeblog.wordpress.com
Contoh soal 2
Tentukan persamaan garis singgung
elips berikut,
a.
b.
x2
y2
+ = 1, dengan gradien 1
22
3
(x+3)2
(y−4)2
+
= 1, dengan gradien
15
4
2
soesilongeblog.wordpress.com
Solusi
x2
y2
Diketahui : +
22
3
2
2
a.
=1
⇔ 𝑎 = 22, 𝑏 = 3, dan p = 3
Persamaan garis singgung :
𝑦 = 𝑝𝑥 ± 𝑝2 𝑎2 + 𝑏 2
⇔𝑦 = 𝑥 ± 22.1 + 3
⇔𝑦 = 𝑥 ± 25
⇔𝑦 = 𝑥 ± 5
⇔y = x + 5 dan y = x - 5
soesilongeblog.wordpress.com
Solusi
(x+3)2
:
15
(y−4)2
4
2
b. Diketahui
+
=1
⇔ m = -3, n = 4, 𝑎 = 15, 𝑏 2 = 4,
dan p = 2
Persamaan garis singgung :
𝑦 − 𝑛 = 𝑝(𝑥 − 𝑚) ± 𝑝2 𝑎2 + 𝑏 2
⇔𝑦 − 4 = 2(𝑥 + 3) ± 15.22 + 4
⇔𝑦 − 4 = 2(𝑥 + 3) ± 64
⇔y =2x + 6 ± 8 +4
⇔ y = 2x + 18 dan y = 2x + 2
soesilongeblog.wordpress.com
soesilongeblog.wordpress.com