Transcript Logaritmus, věty o logaritmování, logaritmické rovnice

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420
Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín
NÁZEV MATERIÁLU:
Logaritmus, věty o logaritmech,
logaritmické rovnice
Autor: Mgr. Břetislav Macek
Rok vydání: 2013
Tento projekt je spolufinancován ESF a státním rozpočtem ČR. Byl uskutečněn z prostředků projektu OP VK. Materiály
jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv
další využití podléhá Autorskému zákonu. Materiál je publikován pod licencí Creative Commons – Uveďte autora Neužívejte komerčně - Nezasahujte do díla 3.0 Česko.
Logaritmus,
věty o logaritmování,
logaritmické rovnice
Osnova
a)
b)
c)
d)
e)
pojem logaritmus
věty o logaritmech
logaritmická rovnice
ukázkové příklady
příklady na procvičení včetně řešení
Logaritmus
• logaritmus čísla r o základu a je takové číslo v,
pro které platí
av = r, kde a R+- {1}
tedy
logar = v <=> av = r
pozn.: číslo a se nazývá základ; číslu r se říká hodnota logaritmu
pozn.: máme dva speciální logaritmy -> dekadický (kde základem je a = 10)
log106 nebo jen log 6
-> přirozený (kde základem je a = e)
e = Eulerovo číslo (2,71.....); loge5 nebo ln 5
Ukázkové příklady:
a) log2 8 = x
2x = 8
2x = 23
x=3
b)
log3 81 = x
3x = 81
3x = 34
x=4
použijeme znalost o logaritmu: loga r = v <=> av = r
dostaneme exponenciální rovnici
Příklady na procvičení
př. 1:
Řešení
př. 2:
Řešení
př. 3:
Řešení
př. 4:
Řešení
Vyřešte x?
Vyřešte x?
Vyřešte x?
Vyřešte x?
přeskočit
Řešení příkladu č.1:
nebo
zpět
Řešení příkladu č.2:
zpět
Řešení příkladu č.3:
zpět
Řešení příkladu č.4:
zpět
Věty o logaritmech
loga r + loga v = loga (r . v)
loga r – loga v = loga (r : v)
s.loga r = loga r s
pozn.: pozor na loga rs ≠ (loga r)s
Logaritmické rovnice
• rovnice s logaritmem, u kterých se při řešení
využívají logaritmické věty
• a platí pro ně toto:
x1 , x 2
R+ platí: loga x1 = loga x2
, pak
x1 = x 2
• u logaritmický rovnic musíme provádět zkoušku
Ukázkové příklady:
log x + log (x + 1) = 2.log x
log [x.(x + 1)] = log x2
x.(x + 1) = x2
x2 + x = x 2
x=0
použijeme logaritmické věty k úpravě
na obou stranách máme jeden logaritmus;
odlogaritmujeme
dostaneme rovnici (lineární, kvadratickou, ...)
zkouška: L: log 0 + log (0 + 1) =
nemusíme dál pokračovat, protože ze znalosti víme, že
hodnota x logaritmu musí být R+ číslo
Ukázkové příklady:
/ . log (x + 7)
log (x2 + 7) = 2.log (x + 7)
zbavíme se zlomku
použijeme logaritmickou větu k úpravě
log (x2 + 7) = log (x + 7)2
x2 + 7 = x2 + 14x + 49
-14x = 42
odlogaritmuje celou rovnici
napravo použijeme vzorec (a + b)2
dořešíme rovnici (lineární, kvadratickou ...)
x=-3
Zk: L: log [(-3)2 + 7] = log (9 + 7) = log 16
musíme provést zkoušku
P: 2.log (-3 + 7) = 2.log 4 = log 42 = log 16
L=P
dle zkoušky vyplývá, že řešením je
x = -3
Příklady na procvičení
př. 1:
Řešení
př. 2:
Řešení
př. 3:
Řešení
přeskočit
Řešení příkladu č.1:
/ . (x – 3)
Zk:L: log12(2.5 + 4) – log12(5 – 3) = log12(14/2) = log127
P: log127
L=P
x = 5 je řešením této rovnice
zpět
Řešení příkladu č.2:
Zk:L1: log3(0 + 1) + log3(0 + 3) = log31 + log33 = log3(1.3) = log33
P1: log33
L1 = P1
x1 = 0 je řešením této rovnice
L2: log3(-4 + 1) + log3(-4 + 3) = log3(-3) ...  nesmí být; x2 ≠ - 4
zpět
Řešení příkladu č.3:
/. log (x + 5)
Zk:L1: log [2.(-2) + 13] = log (-4 + 13) = log 9
P1: 2.log (-2 + 5) = 2.log 3 = log 32 = log 9
L1 = P1
x1 = - 2 je řešením této rovnice
L2: log [2.(-6) + 13] = log (-12 + 13) = log 1
P2: 2.log (-6 + 5) = 2.log (-1) ...  nesmí být; x2 ≠ - 6
zpět
Shrnutí
• logaritmus -
logar = v <=> av = r
• zvláštní logaritmy - dekadický  základ a = 10 (píšeme jen log)
přirozený  základ a = e (píšeme jen ln)
• věty o logaritmech - používáme při řešení logaritmických rovnic
loga r + loga v = loga (r.v)
loga r – loga v = loga (r/v)
s.loga r = loga rs
Zdroje
• HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z
matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2.
vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r.o., 2005.
Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-318-6