Transcript Retas - UNESP
Posição relativa de duas Retas
Considerando as retas
r e s
dadas pelas seguintes equações vetoriais: ,
R
e
B lw
,
v
1 , , 1 1
w
a b c
2 , 2 , 2
R
Condição de paralelismo: As retas dadas são
v
mw a
1
a
2
b b
2 1
c c
2 1
Posição relativa de duas Retas
Condição de Coplanariedade: As retas dadas estão no mesmo plano se e somente se o produto misto entre os vetores diretores da reta e o vetor dados pelos respectivos pontos
A
e
B
é nulo, isto é,
a
1
x
2
a
2
x
1
b
1
y
2
b
2
y
1
c
1
z
2
c
2
z
1 0
Posição relativa de duas Retas
Condição de Ortogonalidade: As retas dadas são ortogonais se e somente se seus vetores diretores o são, isto é,
a a
1 2
b b
1 2
c c
1 2 0
Posição relativa de duas Retas
As retas dadas, no espaço, podem ser: Coplanares: Concorrentes:
v w AB r
0
r
s
Coincidentes: Não coincidentes:
s
r r
Reversas:
r
v w AB
0
Interseção de duas Retas
Para as retas
r v
, 1 , , 1 1 e
s R
dadas,
w
,
a b c
2 , 2 , 2
r
:
z
Podemos escrever as seguintes equações:
b
1
a
1
c
1
a
1
x x
m n
,
R
e
s
:
x y z
x z y
2 2 2
a l
2
b l
2 2
c l
,
l R R
Interseção de duas Retas
r
:
y x y z
b a c a x z y
1 1 1 1 2 2 2
x x
m n a t
2
b t
2
c t
2 Assim eliminando o parâmetro das três últimas equações obteremos um sistema linear com 4 (ou menos) equações, e portanto, escalonando o sistema teremos a condição de interseção desejada.
Exercícios
1) Determinar a posição relativa das retas e caso seja possível sua interseção: a)
r
:
y z
3
x
1 2
s
:
y x
t t z
2
t
b)
r
:
x
z
3
t t
1
x
z
3 2 ;
y
2
R
Exercícios
2) Determinar as equações da reta
r
que passa no ponto A( 2,1,3) e é ortogonal simultaneamente às retas dadas:
r
1 :
y x z
2 3
t t t R r
2 : 1 3
x
z
2 ;
y
2
Ponto que divide um seguimento em uma razão dada se:
PP
1
r P P
2
P P
1 , 2 , , 2 2 , 2 , 2
P P
2
Obs:
Se a razão é negativa significa que o ponto P está entre os dois pontos dados.
P
1
Exercícios
Determinar o ponto que divide os seguimento dado por A(2,4,1) e B(3,0,5) conforme indicado: 1 A)
r
3 B) Ao meio (razão –1)