Transcript 光的反射與折射

The Propagation of Light
Laws of Reflection and Refraction from Fermat’s Principle
Reflection
APS = SPB
A
S
B
R
M
P
Q
N
A
The shortest path connecting the two points A and B via the
mirror is along the path APB where the point P is such that AP,
PS and PB are in the same plane and APS = SPB; PS being
the normal to the plane of the mirror. The straight line path AB
is also a ray.
The optical path length from A to
B is
Snell’s law of refraction
n1sin1 = n2sin2
Lop  n1 AR  n2 RB
 n1 x 2  h12  n2 ( L  x)2  h22
dLop
dx
A
0
n1 x
x h
2
2
1
1

h1
n2 ( L  x)
( L  x)  h
2
2
2
1
0
P
R
sin  2 
x h
2
2
1
n2 ( L  x)
( L  x)  h
2
2
2
h2
B
L
n1
n2
2
n1 x
2
N
M
x
sin 1 
L x
Q
近軸光學(Paraxial Optics)
處理經過中心(軸心對稱)光學系統（centered optical
system）的光之傳播。這樣的系統包括了旋轉對稱的
反射面或折射面，這些面都有一個共同的軸，稱為光
軸（optical axis）。
一個簡單透鏡是這種軸心對稱光學系統的一個例子，它的軸是
一條經過此透鏡兩面之曲率中心的線。假如一個簡單透鏡組的
透鏡在一共同軸上排成一列，則此透鏡組稱為中心(軸心對稱)
系統。
中心光學系統有一個性質，就是當光線非常靠近光軸
地通過此系統時，與系統內任何界面的法線相交，產
生一個小入射角，而這樣的光線稱為近軸光線
（paraxial ray），這種光線的折射由一個與任意角度
進入的光線的折射定律比較起來，可以做近似而有較
單純的方程式描述。
Refraction at a Single Spherical Surface
n1
1
n2
2
S
2 (= –2)
h
1 (= 1)
O

P
C
D
I
r
x
y
M
考慮一點光源由O照射至以C為中心，半徑r之球面。其中，P為光軸OC與
球面之交點稱為頂點(vertex)。其中光線OS經球面折射後與光軸交於I。
1    1
2     2
using the paraxial approx.
sin 1  tan 1  1
1
n1
2
S
1 (= 1)
h
P
D
O
n2
2 (= –2)

C
r
x
y
M
h h
sin 1  1    1  tan   tan 1  
r x
h h
sin 2  2     2  tan   tan  2  
r y
h h
h h
n1     n2   
n1 sin 1  n2 sin 2
r x
r y
n2 n1 n2  n1
 
y x
r
I
n1
O
1
2
S
1 (= 1)
h
P
D
n2
2 (= –2)

C
r
符號慣例：
x
y
•光線由左方入射折射(或反射)面。
M
•在頂點P右方的距離為正，左方的距離為負。
•光線與軸之夾角，若軸可逆時針旋轉一銳角與光線重疊，
則此角為正；反之若軸需順時針旋轉一銳角方可與光線重
疊，則此角為負。
•光線與法線之夾角，若法線可逆時針旋轉一銳角與光線重
疊，則此角為正；反之則此角為負。
•由軸向上量測之距離為正，向下量測之距離為負。
Gaussian formula for a single spherical surface
n2 n1 n2  n1
 
v u
R
其中n1為光進入介面前之折射率，n2
為進入介面後之折射率，u為物距，
v為像距，R為球面半徑。
I
Reflection by a Single Spherical Surface
接下來考慮一點物體O在一球面鏡之成像
h h
1    1  tan   tan 1  
r x
h h
2   2    tan  2  tan   
y r
由反射定律 1  2
1 1 1 1
1 1 2
  
or
 
r x y r
y x r
From the sign convention
u = x, v = y and R = r
u < 0, v < 0, R < 0
S
1 
2
h
1
O
2

C
I
D
y
r
1 1 2
 
v u R
x
M
P
The Thin Lens
Spherical lens 球面透鏡： 由兩個球形折射表面所構成的介質
n1
n1
n2
O
C2
t
x
C1
y
I
Q
y
若透鏡厚度(如圖所標示t)遠小於物距、像距以及球面曲率
半徑，則稱之為薄透鏡 thin lens。
連接兩球面中心的連線為此透鏡之光軸。
考慮一point object O位於薄透鏡之軸上。透鏡折射率為nl，
置於折射率為nm之介質中。R1與R2分別為透鏡左右兩曲面之
曲率半徑。
可將此透鏡視為兩折射曲面接連折射。其中第一個面所成
之像，作為第二個面之物。
當第二折射曲面不存在時，O 點成像於 Q (位置為v’)。
v’滿足Gaussian formula
n2 n1 n2  n1
 
v' u
R1
其中u = x
以Q為物，經過第二
n1
n1
個曲面成像於I(位置
為v) 。
n2
n1 n2 n1  n2
 
v v'
R2
O
C2
t
x
C1
y
I
Q
y
n1 n1 n2  n1 n1  n2
let
 

v u
R1
R2
1 1 1
 
v u f
1 1 
n2
1
 (n  1)    , where n 
f
n1
 R1 R2 
lensmaker’s equation造鏡者公式
thin lens formula 薄透鏡公式
e.g. a planar-convex(平凸) lens having a
radius of curvature of 50 mm, the focal
length in air
R1   , R2  50
1
1
1 
1
 (1.5  1) 


f
   50  100
透鏡若置於空氣中，則 n > 1。此時
當(1/R1  1/R2) > 0，則焦距 f 為正，則此透鏡為匯光透鏡。
反之(1/R1  1/R2) < 0，則焦距 f 為負，則此透鏡為發散透鏡。
n2
n2
n1
n2
n1
n1
(a)
n1
(b)
n2>n1
n1 n2
n1
n1
n1
(c)
(d)
n2<n1
The Principle Foci and Focal Lengths of a Lens
A
n1
2
3
y
n3
K
n2 y
I
F1
O
x1
F2
P
–y
1
f1
L
B
f2
–u
x2
v
(a)
First principal focus F1：一光線(或其延長線)經過此點，經透
(第一主焦點)
鏡折射後會平行於透鏡之軸。
Second principal focus F2：一平行於軸的光線經透鏡折射後，
(第二主焦點)
光線(或其延長線)會與軸交於此點。
n3
n1
2
A
K
n2
1
y
3
L
B
y’
F2
O
x2
I
F1
P
f2
v
u
x1
(b)
f1
若透鏡兩邊的折射率相同，n3 = n1，前面的陳述可由薄透鏡公式
1 1 1
 
v u f
ray 1 v  , u = f1 = f
ray 2 u  , v = f2 = f
where
1 1 
1
 (n  1)   
f
 R1 R2 
若透鏡兩邊的折射率不同，n3  n1，由球面折射關係可得
n3 n1 n2  n1 n3  n2
 

v u
R1
R2
ray 1 v  ,
ray 2 u  , v = f2
1
1  n2  n1 n3  n2 
1
 


u
n1  R1
R2 
f1
1 1  n2  n1 n3  n2  1
 


v n3  R1
R2  f 2
The Matrix Method
1

2 Q
M
P
x1
P´
x2
z
D
M´
考慮一圓柱對稱之光學系統，以其對稱軸為z軸，並限制所
有光線均滿足近軸近似且在同一平面上。
當光線在一個光學系統行進，會有兩種效應：
(a) translation 平移─光在均勻介質中行進時
(b) refraction 折射─光線碰到兩介質的介面時
1

2 Q
M
P
x1
P´
x2
z
D
M´
(a) Effect of Translation
一光線在折射率為n1的均勻介質中行進，若最初於距離 z 軸 x1處
與 z 軸成1角(P點)，則在P點光線的座標可表為(x1, 1)。當光行
進到M 點，座標為(x2, 2)。在均勻介質中，有
2 = 1
x2 = x1 + D tan 1
在近軸近似下， x2  x1 + D1
方向餘弦 1 = n1 cos 1 = n1 sin 1  n11
2  n11
若以(, x)表示光線狀態，則
平移的關係可寫成
或以矩陣方程式寫成
2  1

D

 x2  x1  n 1

1
0   1 
 2   1
 
 
 x2   D / n1 1   x1 
因此在折射率n1的均勻介質中，行進D的距離，光線狀態的
改變可由平移矩陣 translation matrix T 描述，其中
0
 1
T 

D
/
n
1

1

1
0
note: det T 
1
D / n1 1
N
(b) Effect of Refraction
由Snell`s law
n1 sin 1  n2 sin 2
1
1
P
2
1
A
2
B
x
1
在近軸近似下，
n11  n22
由圖可看出
1  1  1 , 2  1   2
又因1很小，有
x
1  tan 1 
R
2  1  Px
C
R
n1
n2
n11  n1 (1  1 )  n2 2  n2 (1   2 )
n2  n1
or n2 2  n11 
x
R
n2  n1
where P 
R
所以經過一折射球面，光線狀態的變化可以描述成
 2   1  P   1 
 
 
x
0
1
  x1 
 2 
可定義refraction matrix for spherical surface
1 P
 1 P 
note: det R 
1
R 

0 1
0 1 
一般而言，光線經過光學系統後狀態的變化可表示成
 2 
 1 
  S 
 x2 
 x1 
 b
where system matrix S  
 d
a 

c 
若系統只是由透鏡組成，則系統矩陣S為數個折射與平移矩陣
的乘積，因此有
det S  bc  ad  1
Imaging by a Spherical Refraction Surface
考慮一球形曲面分隔折射率分別為n1及n2兩介質，如圖所示。
假設(1, x1)、 (`, x`) 、(``, x``)及 (2, x2)分別代表光線在O、
A`、A``及I等處之座標。
若使用與前面相同的符號慣例，則有
0   1 
  '  1
    u / n 1   
 x'  
1
 x1 
 2   1
 
 x2   v / n2
  "   1  P   ' 
 
 
x
"
0
1
  
 x ' 
0   " 

1   x " 
A' A"
O (1,x1)
–u
I (2,x2)
P
v
or
0   1 P   1
0   1 
 2   1
 


 

 x2   v / n2 1   0 1   u / n1 1   x1 
Pu


1
P 

n1
 1 



 
 v  Pu  u

vP  x1 
1  
 1 

n1  n1
n2 
 n2 
 v  Pu  u 
 vP 
 x2   1 
   1  1   x1
n1  n1 
 n2 
 n2 
若光線是由位於軸上的物體所發出，則有x1 = 0，對應軸上的
像點，有x2 = 0。因此上式中1的係數應為零。故
u
v  Pu 
 1 

n1 n2 
n1 
u v Puv
 
n1 n2 n1n2
n2 n1
n2  n1
 P
v u
R
因此在像平面上
 Pu

1


P
 
n1
 2  
1


 
 


x
vP
x1 
 2

1 
 0
n2 

 vP 
 x2  1   x1
 n2 
因此放大率
x2
vP
v  n2 n1  n1v
m   1
 1    
x1
n2
n2  v u  n2u
Image by a Coaxial Optical System
考慮一系統如圖，假設物平面距第一折射曲面距離為D1，像
平面距最後折射曲面距離為D2。
若一光線O`P自像平面上點O`射出，QI`為自最後折射平面射
出至像平面上一點I`之光線。假設(1, x1)、 (`, x`) 、(``, x``)
及 (2, x2)分別代表光線在O`、P、Q及I`等處之座標。
P
Q
x
O`
I`
x
x2
x1
–D1
D2
0   1 
 
1   x1 
  '  1
    D
 x'  1
  ''   b
 
 x ''   d
 2   1
 
 x2   D2
a   ' 
 
c  x ' 
0    '' 

1   x '' 
 2   1
 
 x2   D2
0 b

1   d
a   1 0   1 
 

c    D1 1   x1 
b  aD1


 bD2  aD1D2  cD1  d
a   1 
 
c  aD2  x1 
x2  (bD2  aD1D2  cD1  d )1  (c  aD2 ) x1
若光線是由位於軸上的物體所發出(x1 = 0 )，則像平面為 x2 =
0處。因此有上式中1的係數應為零。故
bD2  aD1D2  cD1  d  0
可得D2與D1間之關係。
a   1 
 2   b  aD1
 
 
0
c

aD
x
2   x1 
 2 
所以對像平面我們有
對所有x1 x2  0有
所以放大率
又因為
x2  (c  aD2 ) x1
M
b  aD1
0
對x1、x2分別在物
平面及像平面有
x2
 c  aD2
x1
a
1
c  aD2
 2  1/ M
 
 x2   0
1
1
b  aD1 

c  aD2 M
a   1 
 
M   x1 
Example 求此厚透鏡之系統矩陣，並導出薄透鏡與厚透鏡之公
式。
假設(1, x1)及 (2, x2)分別代表光線在P及Q處之座標
 2   1  P2  1 0  1  P1   1 
 


 
 x2   0 1  t / n 1  0 1   x1 
n 1
P1 
R1
1 n
n 1
P2 

R2
R2
P
n
Q
x1
O
x2
t
–D1
D2
R1
R2
系統矩陣可得出如下
 b a   1  P2  1 0  1  P1 
S 




thick lens

d
c
0
1
t
/
n
1
0
1

 



P2t

 t 
 P2t
 t 
a  P1  P2 1  n P1  , b  1  n ,
1  n  P1  P2 1  n P1  








 t

t
c  1  t P , d   t
1  P1
1



n
n

n
 n

 1  P1  P2 
對薄透鏡而言t  0，因此系統矩陣可簡化為 S  

0
1


因此對薄透鏡有 a  P1  P2 , b  1, c  1, d  0
帶入 bD2  aD1D2  cD1  d  0
1 1  1
1
1

 ( P1  P2 )  (n  1)    
D2 D1
 R1 R2  f
 1 1/ f 
S 
thin lens

0
1


Example 考慮一系統由如圖之兩薄透鏡所組成，若一高度為1
cm的物體置於距凸透鏡40 cm處，計算其成像的位置及大小。
Convex
Object to
Concave
lens
to
Concave
Convex convex
lens to
lens concave
lens
lens
image
lens
 1 0  1 1/10  1 0  1 1/ 20  1 0   1 0  2.2 0.01





 


v
1
0
1
8
1
0
1
40
1
v
1

32
0.6





 


10
+20
20
F1
20
8
40
14.5
F2
F1
0.01  1/ M
 2.2


 2.2v  32 0.6  0.01v   0
a 

M
2.2v  32  0
v  14.5 cm
M = 0.6 + 0.01 v = 0.6 + 0.01(32/2.2) = + 1 / 2.2
Unit Planes單位平面
使得放大率為1的一組物平面與像平面。
-u
v
 d u1
du 2
–D1
D2
U1
Object
Plane
U2
First Unit
Plane
Second Unit Image
Plane
Plane
令du1與du2為折射面至單位平面的距離。由 b  aD1 
我們有
b  adu1 
1 b
d u1 
a
1
1
c  adu 2
1
1

c  aD2 M
c 1
du 2 
a
因此單位平面可完全由系統矩陣的元素決定。
若令u為第一單位平面至物平面的距離，v為第二單位平面至
像平面的距離
1 b 
D1  u  du1  u 
a 

c 1 
D2  v  du 2  v 
a 
cD  d
由 bD2  aD1D2  cD1  d  0 我們有 D2  1
aD1  b
 1 b 
c(1  b)
d  cu 
 d  cu 
c 1
a


a
v

a
b  au  1  b
 1 b 
b  au 

a


a(d  cu )  c(1  b) c  1 ad  bc  au  1
v


a(au  1)
a
a(au  1)
au
u
v


det S  bc  ad  1
a(au  1) au  1
1 1
 a
v u
若距離由兩個單位平面量起，系統的焦距可以1/a表示
以厚透鏡為例，
 P2t
1  n
S 
 t

 n
 t 
 P1  P2 1  P1  
 n    b

  d
t
1  P1

n

a 

c 
P2
1 b t
c 1
t
d u1 

, du 2 

a
n
a
n
 t 
 P1  P2 1  n P1  



對厚雙凸透鏡且|R1| = |R2| = R，有 P1 
P1

 t 
 P1  P2 1  n P1  



n 1 n 1

R1
R
1  n n 1
P2 

R2
R
若假設 t << R
t
1
t
d u1 
 ,
t n  1  2n
n
 2  n R 
t
1
t
du 2  

t n  1
n
2n
 2  n R 
透鏡焦距可表示為(由單位平面量起)
1
 t 
 a  P1  P2 1  P1 
f
 n 
 1 1  (n  1) 2 t
 (n  1)    
 R1 R2  nR1 R2
t
2n
t
2n
Example 考慮一半徑20 cm的球體，折射率為1.6，求其單位平
面的位置與近軸焦點。
The system matrices of the sphere
Transmissi
Refraction at on through Refraction at
st surface
2nd surface
1
glass
0  1 (1.6  1) / 20   0.25 0.0375 
 1 (1  1.6) / 20  1




   25
0.25
1
1

0
 40 /1.6 1  0
 
a = 0.0375, b = 0.25, c = 0.25, d = - 25
1- b
du 1 =
= 20 cm
a
c- 1
du 2 =
= - 20 cm
a
1
f = ; 26.7 cm measured from unit plane
a
F
v = 6.7
cm
40
cm
A System of Two Thin Lenses
考慮一系統包含兩個薄透鏡，
相距 t，焦距分別為 f1 及 f2。
兩透鏡的系統矩陣分別為
光線平移距離t，其平移矩陣為
所以整個系統矩陣為
1
1


1   1 0   1  

f2 
f1
S 
 t 1



0

0 1 
1





1 1
t 
t 
 1      

f2 
 f1 f 2 f1 f 2  





t


t
1





f

1



1 
1

1  f  , 1  f 
1 
2 


0 1  0

1

 

1 0 


t
1


1 1
t
t

a  f  f  f f , b  1  f

1
2
1 2
2

c  1  t , d  t

f1
當距離由兩個單位平面量起，系統的焦距可以1/a表示
1 1
t
1
a  

f1 f 2 f1 f 2 f
兩個單位平面的位置為
1  b tf

 d u1  a  f

2

d  c  1   tf
 u 2
a
f1
Example 考慮由一凸透鏡(焦距+15 cm)與一凹透鏡(焦距20 cm)
相距25 cm構成之透鏡組合。求其系統矩陣與單位平面的位置。
並對高度為1 cm的物體置於距凸透鏡27.5 cm處，計算其成像的
位置及大小。
+15
–20
10
15 cm
27.5 cm
1
25 cm
1 1
f1 f 2
t 
f   
 10
 
f1  f 2  t
 f1 f 2 f1 f 2 
t
45
b  1 
f 2 20
t
2
c  1  
f1
3
d  t  25
40/3
45
2
1
 1
1 b
c

1
50
20
3
d u1 

 12.5, du 2 


1
1
a
a
3
10
10
u = 27.5  (12.5) = 15 cm
由
1 1
 a
v u
v = 30 cm
此為像平面距第二單位平面的
距離，因此像平面距凹透鏡的
距離為(50/3) + 30 = 40/3 cm
–20
+15
放大率
v
M   2
u
10
15 cm
27.5 cm
25 cm
40/3
Example 寫出下圖的系統矩陣，並決定其單位平面的位置，並
用以求得像的位置。
 1 1/10  1 0  1 1/ 20   9 / 5 1/100 
S 




5
/
3
8
1
0
1
8
1
0

 



 b a 
1
9
3


a
, b  , c  , d  8
c
d



100
5
5
10
+20
20
F1
20
8
40
14.5
F2
F1
9
3
1
1
1 b
c

1
5  80 cm, d 
5
d u1 


 40 cm
u2
1
1
a
a


100
100
由單位平面量起，u = (80 + 40) = 120 cm
1
1
1
1
22
a 


v
u
100 120
1200
v
1
M  
u
2.2
600
v
cm
11