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ISTIL Matériaux 2ème année
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I.
Elasticité
II. Plasticité et Rhéologie
III. Fracturation
BIBLIOGRAPHIE
Ouvrages généraux :
M.F. Ashby et D.R.H. Jones, Matériaux, Dunod ed. (1998), 2 tomes
Y. Quéré, Physique des Matériaux, Ellipse ed. (1990)
A. Zaoui, A. Pineau et D. François, Comportement Mécanique des Matériaux, Hermes ed. (1995)
R. Lehoucq, D’où viennent les pouvoirs de Superman ?, EDP Sciences ed. (2003)
Ouvrages plus spécifiques :
S. Etienne et L. David, Introduction à la physique des polymères, Dunod ed. (2002)
S. Suresh, Fatigue of Materials, Cambridge University Press (1998)
D. Bellet et J.J. Barreau, Cours d’Elasticité (photo-élasticimétrie), Cepadues-Editions (1993)
J. Salençon, Mécanique des Milieux continus, Ellipse ed. (1990)
L.Landau and E. Lifshitz, Théorie de l’Elasticité, Mir ed. (1990)
Ouvrages appliqués :
R. Bourgeois et coll., Memotech Génie des Matériaux, Educalivre ed.
Colombié et coll. Matériaux industriels, Dunod ed.
G. Forest, Choix d’une méthode de contrôle, AFNOR ed.
J. Perdijon, Aide mémoire Contrôle non destructif, Dunod ed.
M. Dupeux, Aide mémoire Science des Matériaux, Dunod ed.
Cahiers Formation du CETIM sur les contrôles non destructifs ,…
Introduction
Vocabulaire des mécaniciens
+
Interprétation physico-chimique
Elasticité
Plasticité
Rhéologie
Rupture
Qu’est-ce qu’un « Matériau »?
Résultat d’une synthèse entre la matière et l’usage qui en est fait.
Microstructure
Mise en oeuvre
Propriétés
Performances
(A. Zaoui)
Al polycristal
(Electron Back Scattering Diffraction)
Dendritic growth in Al:
Cu polycristal : cold lamination (70%)/ annealing.
TiO2 metallic foams, prepared with
different aging, and different tensioactif agent:
Si3N4
SiC dense
Qu’est-ce qu’un milieu « continu » ?
1) Deux éléments proches évoluent de façon similaire
2) En particulier: conservation de la proximité
« Champ » = quantité physique moyennée
sur un volume élémentaire
= fonction continue de l’espace
3) En pratique: Hypothèse à valider.
A cette échelle, les forces sont de courte portée
(forces de surface entre éléments de volume)
En général, valable à des échelles >> échelle caractéristique de la microstructure.
Exemples: cristaux
d >> distance interatomique (~ Å )
polycristaux
d >> taille des grains (~nm ~mm)
assemblée régulière de grains d >> taille des grains (~ mm)
liquides
d >> libre parcours moyen
matériaux désordonnés d >> 100 distances interatomiques (~10nm)
Théorie Classique de l’Elasticité:
Le comportement mécanique est entièrement décrit par
la donnée du champ de déplacement:
x
y
w
X
Y
z
W
Z
v
V
u r 
ux  x  X
uy  y  Y
uz  z  Z
Elasticité Linéaire: Loi de Hooke
(1635-1703)
1678: Robert Hooke développe sa
“True Theory of Elasticity”
Ut tensio, sic vis (ceiii nosstuv)
“The power of any spring is in the same
proportion with the tension thereof.”
Loi de Hooke: s = E e
(contrainte = E x déformaiton)
où E est le MODULE D’YOUNG (RIGIDITE).

F
S0

l
l0
Machines de traction:
Réponse Elasto-Plastique:
S
F
u
Lz
Réponse élastique linéaire:
F/S = E.u/Lz
F/S
vitreloy
Déformation e
Contrainte de
compression s
Module d’élasticité
Ecoulement Plastique
Elasticité
E
Limite d’élasticité sy
Ecoulement Visco-Plastique sflow  de/dt 
u/Lz
I. Elasticité
A) Concepts en Elasticité Linéaire
B) Interprétation Microscopique
C) Méthodes de mesure
I. Elasticité
A) Concepts en Elasticité Linéaire
B) Interprétation Microscopique
C) Méthodes de mesure
1) Contraintes locales:
 s xx

s   s yx

 s zx
s xy
s xz 
s
s
yy
s zy
yz
s zz
Expression des forces:
Force par unité de surface
Agissant le long de la direction x,
Sur la face normale à la direction y.




F  s . n dS
surface
vecteur normal
Unités: Pa (1atm = 105 Pa)
Ordre de Grandeur: MPa =106 Pa
Exemples de tenseurs de contrainte:
F
Traction:
S
Cisaillement:
u

0

s 0
F
S

Pression Hydrostatique:
Par définition, pression
0
0
0

0
s  0

0

P  
3
0
0
F

S
0
0 

P

s  0
 0

tr ( s )

0
0
F

S
0
0
P
0
0 

0 
 P 
u r 
2) Déformations:
x
w
y
X
z
Y
v
W
Z
de Green - Lagrange
et W  w

v  V
V .W  0 then
e
1
2
e 
unitaire"
cos( v , w ) 
 u   u   u . u 
1
2
 
alors v . w  V .W  2V .e .W
 eVV " extension
V
 if
e:
V  v
si
1
2
t
t
2 eVW
(1  2 eVV )( 1  2 eW W )
" Tenseur
de déformatio
 u   u  " tenseur
de rotation
t
" distorsion
de Green - Lagrange"
 u   u  " tenseur
t
uy  y  Y
uz  z  Z
V
Tenseur
ux  x  X
n linéarisé"
local"
.
angulaire"
u r 
2) Déformations:
x
w
y
X
Y
Z
z
v
W
ux  x  X
uy  y  Y
uz  z  Z
V
e 
1
2
e 
 u   u 
t
1  u u 
 

2   x   x 




Exemples de tenseurs de déformation linéarisés:
  vx

 L
e  0


 0

Traction:
L
L+u
Cisaillement:
u
L-v
Compression isotrope:

 0

e  0
 u
 2L

0
0
0
u 

2L 
0 
0 


0

0

u

L
0
 vy
  vx

 L
e  0


 0

L
0
0
 vy
L
0



0 

 vz 

L 
0
Unités: %. Ordre de Grandeur: élasticité OK si e<0.1% (métal)
e<1% (polymère, amorphe)
3) Modules d’élasticité:
s ij  s ij   C ijkl .e kl
0
21 Modules d’élasticité Cijkl
k ,l
Cas particulier d’un milieu homogène et isotrope :
contrainte
s σ ij  s ij  2 m .e ij   .tr e .d ij
ilité   -
compressib
F
Traction:
F
S
v
L
 E.
.
2 Modules d’élasticité (,m)
0
u
L
u
L
1 V
V P

3 tr e
tr s

1
  2m / 3
Cisaillement simple:
Compression hydrostatique:
u
P
F
S
 m.
u
L
3
3 (1  2 )
E, module d’Young m, Module de Cisaillement
 

3  2 m
E
, Coefficient de Poisson
, compressibilité.
-3
Unités: J.m , ou Pa.
Ordre de Grandeur: -1< ≈ 0.33<0.5 et E ≈ Gpa ≈ sY/10-3
4) Energie Mécanique (déformations internes):
Expression de la puissance des efforts intérieurs:
dW
dt




 s  d u 
.
 r
dt
 -  s  .
de 
 ,
dt
Energie Mécanique: d E 
par unité de volume
après intégratio
 s   .d e  
 ,
Ainsi,
s  
dE
d e
n par parties
par unité de volume
Développement de Landau de l’énergie mécanique:
Expression générale de l’énergie mécanique par unité de volume:
dE  s : e 
0
1
e : C : e  ....
2
Pas de dépendance en u
(invariance par translation)
Pas de dépendance en 
(invariance par rotation)
Ainsi s 
dE
de
s
0
 C : e  ...
Loi de Hooke
ut tensio sic vis
21 Modules d’élasticité Cgd
dans le cas 3D le plus général.
Symétries du tenseur des Modules d’élasticité:
Symétries générales:
C  g d  C  g d
( s    s  )
C  g d  C  dg
( e g d  e dg )
C  g d  C g d 
(s  
dE
d e 
)
21 modules d’élasticité dans le cas le + général à 3D
+ Symétries spécifiques du cristal:
S.s .S
1
1
 C : ( S .e .S )
S Operateur de symétrie
Exemple d’un matériau homogène et isotrope :
1 

s  2 m e   tr e I or e 
s  tr s I
E
E
2 modules d’élasticité
Ondes acoustiques dans un matériau isotrope :
2 vitesses du son cL et cT
 u
2

t
2
   2 m . (  .u )  m .  (   u )  f ext
u      
Onde longitudinale:
..
  c L .  ,
2
 lmn  c L .
2
2

 cL.
cL 
2
  2m

. n m l
2
2
2
Onde longitudinale:
Le mouvement des atomes
est dans le sens de la propagation
L
Ondes transverses: cisaillement simple
..
  c T .  , c T 
2
2
m

 cL
Onde transverse:
Le mouvement des atomes
est perpendiculaire au sens de la propagation
Exemple d’un matériau anisotrope (cristal):
Ex. cobalt Co: HC  FCC T=450°C
Le nombre de Modules d’élasticité
dépend des Symétries
FCC
3 modules
C11 C12 C44
HCP
5 modules
C11 C12 C13 C33 C44 C66=(C11-C12)/2
3 modules
(3 axes équivalents)
6 (5) modules
(invariance de rotation autour d’un axe)
Notation de Voigt:
C  g d  C  g d
( s    s  )
C  g d  C  dg
( e g d  e dg )
C  g d  C g d 
(s  
dE
d e 
(11 )  1
( 22 )  2
( 33 )  3
( 23 )  4
)
( 31 )  5
(12 )  6
21 Modules d’élasticité
indépendants
3 modules
(3 axes équivalents)
6 (5) modules
(invariance par rotation autour d’un axe)
6 modules
6 modules
(2 axes équivalents de symétrie)
9 modules
(2 plans orthogonaux de symétrie)
13 modules
(1 plan de symétrie)
21 modules
I. Elasticité
A) Concepts en Elasticité Linéaire
B) Interprétation Microscopique
C) Méthodes de mesure
Expression Microscopique
des Modules locaux d’élasticité:
Example simple d’un cristal cubique.
Sur chaque liaison:
E ij rij   E ij  r0   ( rij  r0 ).
déformation e 11
contraintes

s '11 
d E ij
dr
r0  
( rij  r0 ) .
2
2
dr
2
ri j  r0
r0
4 f ij
4 r0
d E ij  r0 
2
2

( rij  r0 ).
r0
C 11  s '11 / e 11
dr
2
2
1 d E ij  r0  E ij  r0 

.

3
2
r0
dr
r0
2
Modules d’élasticité
d E ij
2
1
r0   ...
Cas général: Modules d’élasticité locaux
C gd ( i ) 
1
Vi

( i1 i 2 i 3 i 4 )
 E
2
 ri1i 2  ri3 i 4
.
ri1i 2
C1 ~ 2 m1
eq ,
.ri1i 2
eq , 
eq
.ri3 i 4
ri1i 2 .ri3 i 4
C2 ~ 2 m2
eq , g
eq
.ri3 i 4
eq ,d
.n ( i1i 2 i3 i 4 )
i  ( i1i 2 i3 i 4
Born-Huang
C3 ~ 2 (+m
Verre de Lennrad-Jones 2D N=216 225 L=483
Exemple
d’un matériau amorphe
M. Tsamados et al. (2007)
Convergence progressive
vers un matériaux isotrope
à grande échelle
Interprétation Microscopique
Introduction
1) Types de liaisons interatomiques
- Liaison covalente
- Liaison ionique
- Liaison métallique
- Liaison de van der Waals
- Liaison Hydrogène
- Forces de solvatation
2) Structure de l’empilement
-Cristaux
-Composites
-Amorphes
-Polymères
Bornes générales pour les modules d’élasticité
macroscopiques d’un solide inhomogène.
Exemple de fibres dans une matrice:
EL,T Module d’Young effectif
Ef Module des fibres
Em , Module de la matrice
s L  E L .e L
ef  em  eL  e
FL  Ff  Fm  s f .S f  s m .S m
 E f .e f .S f  E m .e m .S m
 E f .S f  E m .S m .e L
sL 
FL
Sf  Sm
Vf
EL  Ef.
E f .S f

Sf  Sm
 Em.
V
 E m .S m 
Vm
.e L
Voigt (1889)
V
s T  E T .e T
E
sf  sm  sT  s
EL
E t ot al  E f  E m
1
2
V .e T .s T 
eT 
1
ET

Vf
V
.e f 
Vf
.
1
V Ef
1
2
V f .e f .s f 
Vm
V

1
2
V m .e m .s m
ET
.e m
Vm
V
.
1
Em
Reuss (1929)
Vf/V
Exemple de matériau hétérogène:
N. Teyssier-Doyen et al. (2007)
Reuss
I. Elasticité
A) Concepts en Elasticité Linéaire
B) Interprétation Microscopique
C) Méthodes de mesure
Méthodes de Mesure:
-Photoélasticimétrie
-Essais de traction
-Nanomécanique (micro-pilliers, couches minces..)
-Mesures de déformation: TEM, X-Ray, Corrélations d’images..
Machines de traction:
Micro-Pilliers
Visualisation des réarrangements plastiques à petite échelle.
Expérimentalement
Spectrométrie Raman
Micro-spectroscopie Raman ~mm2
B. Champagnon et coll. (2006)
Raie D2: densification variable selon les verres.
Bande principale:
relation entre
pression et angle
entre tétraèdres
de SiO2 (Si-O-SI)
Changement d’environnement sous contraintes
X-ray diffraction 90keV
Poulsen et al. (2004)
Changement d’environnement local.
(variations de e sur ~10 Å)
Plasticité?
Axial strain field e11
resolution 50x200 mm2
h=90°
h=0°
e  10
4
Hufnagel et coll. (2002)
Rizza et coll. (2006)
Visualisation directe par MET in situ
réarrangements locaux
~ 1 nm
II. Plasticité
A) Mesures Macroscopiques
B) Interprétation Microscopique
C) Méthodes de durcissement
II.Bis Rhéologie
Linéaire et Non-linéaire
II. Plasticité
A) Mesures Macroscopiques
B) Interprétation Microscopique
C) Méthodes de durcissement
Réponse Elasto-Plastique:
S
F
u
Lz
Réponse élastique linéaire:
F/S = E.u/Lz
F/S
vitreloy
Déformation e
Contrainte de
compression s
Module d’élasticité
Ecoulement Plastique
Elasticité
E
Limite d’élasticité sy
Ecoulement Visco-Plastique sflow  de/dt 
u/Lz
ou
Déformation
Plastique irréversible
Essai de traction compression simple (uniaxial) sur un métal
s
Plasticité
Elasticité
e
e
e
ee e
el
p
e
el

s
E
p
e
el
Essai de traction compression simple (uniaxial) sur un métal
s
Domaine d’élasticité actuel
L’évolution du domaine d’élasticité
est appelé écrouissage
e
Domaine d’élasticité initial
Comportement
Parfaitement Plastique
s
Ecrouissage
Progressif
Critères de plasticité en fonction des contraintes
Sur le tenseur des contraintes, de valeurs propres s1, s2 et s3:
Critère de Tresca: (cission maximale)
Critère de von Mises: (énergie de distorsion)
Critère de Mohr-Coulomb (frottement):
Critère de Drucker-Prager (Pression):
La réponse plastique, irréversible,
dépend de l’histoire du chargement.
Ecrouissage « cinématique »
Ecrouissage « isotrope»
Domaine d'élasticité en traction torsion de l'acier doux
Contrainte de torsion en MPa
150
100
50
0
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
-50
-100
Contrainte de traction en MPa
Domaine d'élasticité initial
Domaine d'élasticité après chargement
Chargement
Translation du domaine élastique
Dilatation du domaine élastique
dans l’espace des contraintes.
II. Plasticité
A) Mesures Macroscopiques
B) Interprétation Microscopique
C) Méthodes de durcissement
F
Modèles de Frenkel?
Cission maximale à 45°:
sq 
Fq

Sq
F . sin q
S / cos q
 s . sin q . cos q
max. pour q=45°
Modèle de Frenkel (glissement en phase):
q
s  m.
S

x
. sin  2  .
2 a 
a //

a //
s max  m .
a //
2 a 
?




Valeur trop élevée !
Tapis de Mott
Dislocation de type « coin »
Dislocation de type « vis »
b  L
Vecteur de Burgers b
Ligne de dislocation L
Largeur de dislocation W
b // L
L
Mouvement par glissement: dans le plan (b,L)
Mouvement par montée
Estimation de la largeur W d’une dislocation:
s ( r )  s max 
mb
2 r
 r
 s max
mb
2  s max
 W
 0 .5 m b
2
s PN
s PN
 2 W 
 2 m exp  

b 

Visualisation de dislocations:
Photoélasticimétrie:
Microsope Electronique à Transmission:
MET haute résolution
« forêt » de dislocations (reconstitution numérique)
F12 
+ Lors d’un croisement: formation de crans..
m b 1 .b 2
r12
II. Plasticité
A) Mesures Macroscopiques
B) Interprétation Microscopique
C) Méthodes de durcissement
-Résistance mécanique intrinsèque
-Durcissement par la « forêt »
-Interaction avec des atomes étrangers
-Interaction avec des joints de grains
-Durcissement par irradiation
-Durcissement par amorphisation..
Méthodes de mesure:
- traction-compression-torsion
- Mesures de dureté:
Dureté Brinell
Dureté Vickers
II. Plasticité
A) Mesures Macroscopiques
B) Interprétation Microscopique
C) Méthodes de durcissement
II.Bis Rhéologie
Linéaire et Non-linéaire
Réponse Elasto-Plastique:
S
F
u
Lz
Réponse élastique linéaire:
F/S = E.u/Lz
F/S
vitreloy
Déformation e
Contrainte de
compression s
Module d’élasticité
Ecoulement Plastique
Elasticité
E
Limite d’élasticité sy
Ecoulement Visco-Plastique sflow  de/dt 
u/Lz
Pâtes
Colloides
Poudres
Verres Métalliques
Verres Minéraux (SiO2, a-Si) Polymères (PMMA,PC)
Au-delà du comportement élastique:
- Comportement plastique
- Comportement visco-élastique
- Réponse rhéologique non-linéaire
s  f (e ,
de
)
dt
Plasticité
Viscosité
Réponse rhéologique linéaire:
Differents comportements:
Fluide Visqueux Newtonien:
h  cste
de
dt
Solide de Kelvin-Voigt:
t sE sV
t ( t )  m .e ( t )  h .

1
h
Ex. Eau, miel..
.t ( t )  e ( t ) 
1
h
t
 t ( t ' ) dt
0

t0
h
.t
Elasticité Retardée
(comportement anelastique)
de
dt
t0 
Fluide de Maxwell:
m .t

h

 e (t) 
. 1  e
temps caractéris tique t c 

m 
m

Ex. Solide près de Tf
Elasticité Instantanée + Ecoulement Visqueux
e  e E  eV

h
t
1 dt
1
t
 .
 .t ( t )  e ( t )  0  .t 0 , h
dt
m dt h
m h
de
t
Comportement visco-élastique général:
.
2

L kT
Da
3
dans les crystaux
e ( t )  f 0 .t ( t )   f  t  t ' .t ( t ' ) dt ' (mémoire)
0
(1635-1703)
s (e )
1678: Robert Hooke développe sa
“True Theory of Elasticity”
Ut tensio, sic vis (ceiii nosstuv)
“The power of any spring is in the same
proportion with the tension thereof.”
Loi de Hooke: s = E e
(contrainte = E x déformaiton)
où E est le
MODULE D’YOUNG (RIGIDITE).
(1643-1727)
s ( d e / dt )
1687: Isaac Newton parle des liquides et des
écoulements sous cisaillement dans ses
“Principia”:
“The resistance which arises from the lack of
slipperiness of the parts of the liquid, other
things being equal, is proportional to the
velocity with which the parts of the liquid are
separated from one another.”
Loi de Newton: τ = η dγ/dt
où η est le coefficient de viscosité Newtonien.
 de 
s e ,

dt 

Rhéomètres Dynamiques:
Forceage oscillant: e  e 0 sin(  t )
t  t 0 sin(  t  d )
Réponse:
t  G ' ( ).e 0 . sin(  t )  G ' ' ( ).e 0 . cos(  t )
G (  )  G ' (  )  iG ' ' (  )
tan( d )  G ' ' / G ' " friction interne"
G’, Module Elastique
-réponse instantanéeExemple d’un solide Elastique
G’’, Module de perte (visqueux)
-retard-
G '  m et G ' '  0
G '  0 and G ' '  h .
Exemple d’un fluide Visqueux Newtonien
 h
2
Exemple d’un fluide de Maxwell: G '  m .
m  h
2
  0 : viscous
m
2
2
2
and G ' '  h . .
2
m  h
2
2
2
response G '  0 and G ' '  h .
   : elastic response G '  m and G ' '  0
Appareils de Mesure:
Huiles
Pâtes
Acier
Bilan Energétique:
P
4
T
t.
de

 .e 0
dt
2
T /4
P
0
2
( t ) dt  
 .e 0

.G ' ( ). sin( 2  t )   .e 0 .G ' ' ( ). sin ( t )
2
2
.G ' ( ) 
2
.G ' ' ( )
2
Energie élastique stockée
pendant T/4 puis rendue
(par unité de volume et de temps).
tan d 
 .e 0
2
G''
G'

Energie Moyenne Dissipée,
par unité de temps pendant T/4,
à cause du frottement visqueux >0
énergie dissipée
énergie emmagasiné
Facteur de Perte (Frottement Interne)
e
Facteur de Perte d
> 100
Matériau
Polymer or Elastomer (example : Butyl rubber)
10-1
Natural rubber, PVC with plasticizer, Dry Sand,
Asphalte, Cork, Composite material with sandwich
structure (example 3 layers metal / polymer / metal)
10-2
Plexiglas, Wood, Concrete, Felt, Plaster, Brick
10-3
Steel, Iron, Lead, Copper, Mineral Glass
10-4
Aluminium, magnésium
Module Elastique
Polymère (PET)
Verre Minéral
ZrF4
Cristallisation: G’ augmente, la mobilité décroit
Exemple de Globules Rouges:
e(t)/t0
G’
G’’
Fluage (creep) Macroscopique dans les Métaux:
Fluage Métaux Céramiques Polymères
T > 0,3-0,4 Tm 0,4-0,5 Tm
Tg
Canalisation Romaine en Plomb
~ 1h
Dislocation creep: b=0 m=4-6
Nabarro-Herring creep: b=2 m=1
Non-Lineaire
0.3 Tm<T<0.7 Tm
« Newtonien ».
diffusion de défauts
T>0.7 Tm
Températures de Fusion, pour P=1 atm, Glace: Tm=273°K, Plomb: Tm=600°K,
Tungstène: Tm=3000°K
s
m
Limite Théorique
Rhéologie non-linéaire:
Du Liquide au Solide Amorphe:
F. Varnik (2006) 3D Lenard-Jones Glass
Comportements Rhéologiques Non-Linéaires:
Shear softening
Ex. peinture, shampoing
 .
t  K . e 
 
n
avec n  1
Ostwald (1925)
Shear thickening
Ex. sable mouillé,
huile polymère,
 
silly-putty
t  K . e 
.
 
n
avec n  1
Fluide à seuil (plastique)
Ex. solides amorphes, pâtes
.
t tC  e  0
t tC  t tC
Bingham
 .
 K . e 
 
n
n  1, Herschel - Bulkley
n  1, Casson
avec <1
Exemple:
Systèmes amorphes (verres, colloïdes..)
Ex. Billes de gel polyélectrique
Ex. Verre de Lennard-Jones
Tsamados, 2010
s xy
 .
/ e  he 
 
.
shear softening
Ex. Ketchup
Origine Microscopique du comportement non-linéaire?

h
m
?
II. Fracturation
A) Faciès de fracture
B) Critères de fracturation
Faciès de fracture:
Fracture Ductile
Fracture Fragile
Fracture Ductile et Fracture Fragile
Rupture Mixte ductile/fragile
Rupture mixte dans un acier austéno-ferritique
rupture ductile de l’austénite (CFC)
rupture fragile de la ferrite (CC)
Champ de contraintes au voisinage d’une fracture:
s ij 
K
2 .r
f ij q
K  s 0 .  .c

Critère naïf de fracturation fragile:
1
s
e
W  .s .
.a . L .e  W
0
él
a
0
2
4g .E
 s0 
L
E
diss
 2 g . L .e
Valeur trop élevée !
a
Critère de Irwin-Griffith: préfissuration, longue portée des interactions.
Energie élastique
W él 
1
2
.s 0 .
s0
relaxée lors de l' avancée
. 2  c .dc .e
E
Energie dissipée pour créer la fissure
W diss  2 g .dc .e
Critère de Griffith :
s 0. c 
K  Kc
2g .E
Ténacité
Facteur d’intensité de contraintes
de la fracture
de dc :
Approche Statistique des critères de fracturation:
Loi de Weibull (1951):
Prupt
 V  s m 

 
 1  exp  

 V 0  s 0  


Plus m (module de Weibull) est faible,
plus la dispersion est grande
Ex: Acier m=100, Craie m=5
Céramiques techniques m=10
Rupture en Fatigue:
Sollicitation cyclique:
stries de fatigue
Lois de fatigue de matériaux sans préfissuration:
Rupture contrôlée par l’initiation des fissures.
Fatigue à grand nombre de cycles N>104, smaxet |smin|<sY
exemple: pièces en vibration
Loi de Basquin:
 s . N f   C 1 avec 1/8  a  1/15
a
Fatigue oligocyclique, smax>sY
exemple: pièces soumises à des surchages occasionnelles
Loi de Coffin:
 e P . N f   C 2 avec
b
0.5  b  0.6
CC
CFC
Lois de fatigue de matériaux Avec préfissuration:
Propagation des fissures
Loi de Paris
On calcule tout d'abord la dimension du défaut critique pour K=Kc :
Puis, à partir de la loi de Paris :
on détermine le nombre de cycle à rupture
par intégration de cette loi :