Transcript LA ESFERA Y LOS SOLIDOS PLATONICOS IV Semestre

TALLER DE ARQUITECTURA IV Semestre
LOS SÓLIDOS PLATÓNICOS
1 Historia
2 Propiedades
– 2.1 Regularidad
– 2.2 Simetría
– 2.3 Conjugación
– 2.4 Esquema
3 Tabla comparativa
4 Poliedros regulares en la naturaleza
5 Bibliografía
6 Véase también
7 Enlaces externos
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Platón (Πλάτων)
Platón (en griego: Πλάτων ) (c.
427 a. C./428 a. C. – 347 a. C.) fue un filósofo
griego, alumno de Sócrates y maestro de
Aristóteles, de familia nobilísima y de la más
alta aristocracia. Platón (junto a Aristóteles)
es quién determinó gran parte del corpus de
creencias centrales tanto del pensamiento
occidental como del hombre corriente
(aquello que hoy denominamos "sentido
común" del hombre occidental) y pruebas de
ello son la noción de "Verdad" y la división
entre "doxa" (opinión) & "episteme"
(ciencia). Demostró (o creó, según la
perspectiva desde donde se le analice) y
popularizó una serie de ideas comunes para
muchas personas, pero enfrentadas a la
línea de gran parte de los filósofos
presocráticos y al de los sofistas (muy
populares en la antigua Grecia) y que debido
a los caminos que tomó la historia de la
Metafísica, en diversas versiones y
reelaboraciones, se han consolidado. Su
influencia como autor y sistematizador ha
sido incalculable en toda la historia de la
filosofía, de la que se ha dicho con
frecuencia que alcanzó identidad como
disciplina gracias a sus trabajos. Alfred
North Whitehead llegó a comentar:
•En función de la relación existente
entre el ángulo de conicidad (α) y la
inclinación del plano respecto del eje
del cono (β), pueden obtenerse
diferentes secciones cónicas, a
saber:
β < α : Hipérbola (azul)
β = α : Parábola (verde)
β > α : Elipse (amarillo)
β = 90º: Circunferencia (un caso
particular de elipse) (rojo)
Partiendo de una circunferencia (e=0), al
aumentar la excentricidad se obtienen
elipses, parábolas e hipérbolas.
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Curvas cónicas
Circunferencia
Elipse
Parábola
Hipérbola
Cuádrica
donde es la longitud del radio.
Pues
(número pi), por definición, es
el cociente entre la longitud de la
circunferencia y el diámetro:
La longitud de una
circunferencia es:
•Elipse
Los sólidos platónicos, también conocidos como cuerpos platónicos, cuerpos
cósmicos, sólidos pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros de Platón o, con más
precisión, poliedros regulares convexos; son cuerpos geométricos caracterizados por
ser poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices
se unen el mismo número de caras.
Esquema [editar]
El Teorema de poliedros de Euler fija que el número de caras de un poliedro platónico más su
número de vértices es siempre igual a su número de aristas más dos, es decir:
c + v = a + 2 Tabla comparativa
TETRAEDRO
4 LADOS CUATRO CARAS,
6 ARISTAS, Y 4 VÉRTICES,
LOS POLIGONOS QUE SE
FORMAN EN SUS CARAS
SON TRIÁNGULOS
EQUILATEROS
HEXAEDRO
6 LADOS SEIS CARAS 8
VÉRTICES Y DOCE ARISTAS
, LOS POLIGONOS QUE SE
FORMAN EN SUS CARAS
SON CUADRADOS
OCTAEDRO
8 LADO, 8 CARAS 6
VÉRTICES Y 12 ARISTAS ,
LOS POLIGONOS QUE SE
FORMAN EN SUS CARAS
SON TRIÁNGULOS
EQUILÁTEROS
DODECAEDRO
ICOSAEDRO
12 LADOS y/o 12 CARAS 20
VÉRTICES Y 30 ARISTAS ,
LOS POLIGONOS QUE SE
FORMAN EN SUS CARAS
SON PENTÁGONOS
REGULARES
20 LADOS y/o 20 CARAS 12
VÉRTICES Y 30 ARISTAS ,
LOS POLIGONOS QUE SE
FORMAN EN SUS CARAS
SON TRIÁNGULOS
EQUILÁTEROS
Los cinco poliedros regulares convexos
fueron observados por Platón, quien,
maravillado por sus propiedades, asoció
cada uno de ellos a un "elemento"
primigenio de su filosofía (aire, agua,
tierra y fuego). Curiosamente, asoció el
dodecaedro al "quinto elemento" o ente
espiritual de su teoría de la materia. En
esta estructura de pensamiento muchos
ven la génesis de la teoría molecular,
pues muchos elementos cristalinos
tienen una estructura atómica que
obedece a la forma de tales poliedros.
La combinación de poliedros regulares
desarrolla superficies poliédricas que
pueden ser aprovechadas en
arquitectura, ingeniería, diseño
industrial... Estas combinaciones de
poliedros regulares son poliedros
arquimedianos o el poliedro de catalán.
Esfera
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Para otros usos de este término, véase
Esfera (desambiguación).
Una esfera, en geometría, es un cuerpo
sólido limitado por una superficie curva
cuyos puntos equidistan de otro interior
llamado centro de la esfera. También se
denomina esfera, o superficie esférica, a la
conformada por los puntos del espacio tales
que la distancia (llamada radio) a un punto
denominado centro, es siempre la misma. La
esfera, como sólido de revolución, se
genera haciendo girar una superficie
semicircular alrededor de su diámetro
(Euclides, L. XI, def. 14).
Esfera proviene del término griego σφαῖρα,
sphaîra, que significa pelota (para jugar).
Coloquialmente hablado, se emplean
palabras como bola, globo (globo terrestre),
etc., para describir un volumen esférico.
Una de las esferas más perfectas creadas,
refractando la imagen de Albert Einstein. Se
aproxima a la esfera ideal con un error
menor que el tamaño de cuarenta átomos
alineados.
La intersección de un plano y una esfera siempre es un círculo. La esfera es el único volumen
que tiene esta propiedad. Lógicamente, si el plano es tangente, el área de contacto queda
reducido a un punto (puede considerarse el caso límite de la intersección).
Si el plano pasa por el centro de la esfera, el radio del círculo es el mismo que el de la esfera, r.
En este caso, la circunferencia puede llamarse ecuador o círculo máximo.
Si la distancia d, entre el plano y el centro, es inferior al radio r de la esfera, aplicando el
teorema de Pitágoras, el radio de la sección es:
El área o superficie de una
esfera de radio r, es:
El volumen de una
esfera de radio r, es:
(son las desigualdades
triangulares, y equivalen a que
ningún lado es superior a la
suma de los otros dos), es decir,
si existe un triángulo con lados
que midan r, r' y d, donde d es la
distancia entre los centros de las
esferas, r y r' sus radios.
En tal caso, la intersección es
también una circunferencia.
Cuando una de las
desigualdades anteriores es una
igualdad, la intersección será un
punto, que equivale a una
circunferencia de radio cero.
En general, el radio es:
Una cúpula geodésica es parte de una esfera geodésica, un
poliedro generado a partir de un icosaedro o un dodecaedro,
aunque puede generarse de cualquiera de los sólidos platónicos.
Las caras de una cúpula geodésica
pueden ser triángulos, hexágonos o
cualquier otro polígono. Los vértices
deben coincidir todos con la superficie
de una esfera o un elipsoide (si los
vértices no quedan en la superficie, la
cúpula ya no es geodésica). El número
de veces que las aristas del icosaedro
o dodecaedro son subdivididas dando
lugar a triángulos más pequeños se
llama la frecuencia de la esfera o
cúpula geodésica. Para la esfera
geodésica se cumple el teorema de
poliedros de Euler, que indica que:
C+V−A=2
Donde C es el número de caras (o
número de triángulos), V el número de
vértices (o uniones múltiples) y A el
número de aristas (o barras usadas).
Para una cúpula parcial que no sea
una esfera completa se cumple:
C+V−A=1
Para construir esferas geodésicas se utilizan las fórmulas de los radios
del dodecaedro o icosaedro. Los radios permiten levantar los nuevos
vértices de los subdivisiones a la superficie de la esfera que pasará por
los vértices originales del cuerpo.
NOTA IMPORTANTE;
Para construir esferas
geodésicas se utilizan
las fórmulas de los
radios del dodecaedro
o icosaedro. Los
radios permiten
levantar los nuevos
vértices de los
subdivisiones a la
superficie de la esfera
que pasará por los
vértices originales del
cuerpo.
EL PANDEO
El pandeo es un fenómeno de inestabilidad elástica que puede darse
en elementos comprimidos esbeltos, y que se manifiesta por la
aparición de desplazamientos importantes transversales a la dirección
principal de compresión.
En ingeniería estructural el fenómeno aparece principalmente en
pilares y columnas, y se traduce en la aparición de una flexión
adicional en el pilar cuando se halla sometido a la acción de esfuerzos
axiales de cierta importancia.
Representación del
fallo por pandeo
flexional, por
deflexión creciente.
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Pandeo global
En una estructura compleja formada por barras y otros elementos enlazados pueden
aparecer modos de deformación en los que los desplazamientos no sean
proporcionales a las cargas y la estructura puede pandear globalmente sin que ninguna
de las barras o elementos estructurales alcance su propia carga de pandeo. Debido a
este factor, la carga crítica global de cierto tipo de estructuras (por ejemplo en
entramados de cúpulas monocapa) es mucho menor que la carga crítica (local) de cada
uno de sus elementos.
El tipo de estructura más simple que presenta pandeo global para carga crítica diferente
de la de sus elementos está formado por dos barras articuladas entre sí[1] y a la
cimentación, que se muestra en la figura.
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Inestabilidad elástica
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La inestabilidad elástica se refiere a un conjunto de fenómenos de no linealidad
geométrica que se manifiesta en que los desplazamientos en un elemento estructural
no son proporcionales a las fuerzas aplicadas. Eso está relacionado con que dentro
de cierto rango de desplazamientos y fuerzas las ecuaciones de gobierno de dicho
elemento estructural presentan no linealidad.
Fenómenos de inestabilidad elástica [editar]
Los principales fenómenos de inestabilidad elástica son:
Pandeo flexional, que se da especialmente en pilares y prismas mecánicos de gran
esbeltez flexional.
Inestabilidad lateral, que se da básicamente en vigas en piezas de pequeña
esbeltez torsional.
Inestabilidad de arcos (snap through unidimensional), que se da en arcos o piezas
planas de directriz curva cargados en el plano de curvatura.
Inestabilidad de cúpulas (snap through bidimensional), que se da en cúpulas poco
apuntadas bajo cargas verticales.
Abolladura local, que se da en elementos bidimensionales en los que en alguna
dirección existen tensiones de compresión, paralelas al plano tangente al elemento.