Transcript ГИА по математике


Работа состоит из трёх модулей:
«Алгебра», «Геометрия», «Реальная
математика».

Общее время экзамена 235 минут.

28 мая 2013 года – дата экзамена
Модуль
Часть 1
(базовый уровень)
Часть 2
(повышенный
уровень)
Алгебра
8
3
Геометрия
5
3
Реальная математика
7
-
Всего
20
6





Максимальное количество баллов – 38.
Модуль «Алгебра» – 17 баллов.
Модуль «Геометрия» – 14 баллов
Модуль «Реальная математика» – 7 баллов.
Минимальный порог выполнения
экзаменационной работы – 8 баллов, из них
не менее 3 баллов по модулю «Алгебра», не
менее 2 баллов по каждому из модулей
«Геометрия» и «Реальная математика».
Задания, оцениваемые одним баллом, считаются
выполненными верно, если:



указан номер верного ответа (в заданиях с
выбором ответа);
вписан верный ответ (в заданиях с кратким
ответом);
правильно соотнесены объекты двух множеств и
записана соответствующая последовательность
цифр (в заданиях на установление соответствия).
Модуль
Алгебра
Геометрия
Задание
Количество
баллов
21
2
22
3
23
4
24
2
25
3
26
4

Преодоление этого минимального результата даёт
выпускнику право на получение итоговой отметки
по математике или по алгебре и геометрии (на
основе годовых отметок).

Экзаменационная отметка может учитываться в
итоговой только в случае, если она выше годовой.
Отметка по
пятибалльной
шкале
«2»
«3»
«4»
«5»
Суммарный балл за
работу в целом
0-7
8 - 15
16 - 22
23 - 38
Отметка по
пятибалльной
шкале
«3»
«4»
«5»
Суммарный балл за
работу в целом
3-7
8 - 10
11 - 17
Отметка по
пятибалльной
шкале
«3»
«4»
«5»
Суммарный балл за
работу в целом
2-4
5-7
8 - 14
21.1. Упростите выражение
10−2∙
10+2
24
.
22.1. Один из корней уравнения 3х2 + 5х + 2m = 0
равен -1. Найдите второй корень.
23.1. Найдите наименьшее значение выражения и
значения х и у, при которых оно достигается:
3𝑥 − 4𝑦 − 2 + 𝑥 − 5𝑦 + 3 .
10−2∙
10+2
24
21.1. Упростите выражение
.
Решение.
10 − 2 ∙
10 + 2
24
=
( 10 − 2) ∙ ( 10 + 2)
4∙6
2
=
( 10) − 22
2 6
=
Ответ. 0,5.
=
10 − 4
2 6
6
1
=
= .
2 6 2
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
2
Правильно выполнены преобразования, получен
верный ответ
1
Решение доведено до конца, но допущена ошибка
или описка вычислительного характера (например,
при вычитании), с её учётом дальнейшие шаги
выполнены верно
0
Другие случаи, не соответствующие указанным
выше критериям
21.1. Один из корней уравнения 3х2 + 5х + 2m = 0
равен −1. Найдите второй корень.
Решение.
−1 ‒корень уравнения, значит, при подстановке
обращает его в верное числовое равенство.
3 − 5 + 2𝑚 = 0;
2𝑚 = 2;
𝑚 = 1.
По теореме Виета, 𝑥2 =
2
Ответ.− .
3
2
3∙(−1)
=
2
− .
3
21.1. Один из корней уравнения 3х2 + 5х + 2m = 0 равен −1.
Найдите второй корень.
Решение.
−1 ‒корень уравнения, значит,
3 + 2𝑚 = 5;
2𝑚 = 2;
𝑚 = 1.
3𝑥 2 + 5𝑥 + 2 = 0;
𝐷 = 25 − 24 = 1;
−5 ± 1
−5 − 1
𝑥1,2 =
; 𝑥1 =
= −1;
6
6
−5 + 1 −4
2
𝑥2 =
=
=− .
6
6
3
2
3
Ответ.− .
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
3
Правильно составлено уравнение, получен верный
ответ
2
Правильно составлено уравнение, но при его
решении допущена вычислительная ошибка, с её
учётом решение доведено до ответа
0
Другие случаи, не соответствующие указанным
выше критериям
22.1. Найдите наименьшее значение выражения и
значения х и у, при которых оно достигается: 3𝑥 −
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
4
Правильно выполнены преобразования, верно
построен график
3
Ход решения верный, но при разложении квадратного
трехчлена допущена описка или вычислительная
ошибка, с учетом которой построения доведены до
конца
Или: все необходимые преобразования и построения
выполнены, но на рисунке отсутствуют обозначения
осей координат или координат выколотой точки
0
Другие случаи, не соответствующие указанным выше
критериям
22𝑛 ∙ 6𝑛
21.2. Сократить дробь 2
2 ∙ 24𝑛
.
22.2.Первая труба пропускает на 5 литров в минуту
меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в
минуту пропускает вторая труба, если резервуар
объёмом 400 литров она заполняет на 2 часа 20 минут
быстрее, чем первая труба заполняет резервуар
объёмом 900 литров?
(𝑥 2 −2𝑥)∙ 𝑥
𝑥−2
23.2. Постройте график функции 𝑦 =
и
определите, при каких значениях с прямая y=cне имеет
с графиком ни одной общей точки.
22𝑛 ∙ 6𝑛
20.2. Сократить дробь 2
2 ∙ 24 𝑛
.
Решение.
22𝑛 ∙ 2𝑛 ∙ 3𝑛
23𝑛
−2 = 0,25.
=
=
2
22 ∙ 8𝑛 ∙ 3𝑛
22 ∙ 23𝑛
Ответ. 0,25.
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
2
Правильно выполнены преобразования, получен
верный ответ
1
Решение доведено до конца, но допущена ошибка
или описка вычислительного характера , с её
учётом дальнейшие шаги выполнены верно
0
Другие случаи, не соответствующие указанным
выше критериям
22.2.Первая труба пропускает на 5 л в минуту меньше, чем
вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая
труба, если резервуар объёмом 400 литров она заполняет на 2
часа 20 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар
объёмом 900 литров?
𝐴 = 𝑉𝑡
Решение.
V, л/мин
t, мин
А, л
Первая
труба
x-5
𝟗𝟎𝟎
𝒙−𝟓
900
Вторая
труба
x
(x>0)
𝟒𝟎𝟎
𝒙
400
900
400
−
= 140
𝑥−5
𝑥
900𝑥 − 400 𝑥 − 5 = 140𝑥 𝑥 − 5 , где 𝑥 ≠ 0, 𝑥 ≠ 5
7𝑥 2 − 60𝑥 − 100 = 0
𝐷
= 900 + 700 = 1600
4
30 + 40
30 − 40
10
𝑥1 =
= 10, 𝑥2 =
=− ,
7
7
7
𝑥2 − не удовлетворяет условию задачи.
Ответ. 10 литров в минуту.
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
3
Правильно составлено уравнение, получен верный
ответ
2
Правильно составлено уравнение, но при его решении
допущена вычислительная ошибка, с её учётом
решение доведено до ответа
0
Другие случаи, не соответствующие указанным выше
критериям
(𝑥 2 −2𝑥)∙ 𝑥
𝑥−2
23.2. Постройте график функции 𝑦 =
и
определите, при каких значениях с прямая y=cне
имеет с графиком ни одной общей точки.
Решение.
𝑥(𝑥 − 2) ∙ 𝑥
𝑦=
; 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑥 , где 𝑥 ≠ 2.
𝑥−2
Если 𝑥 ≥ 0 и 𝑥 ≠ 2, то 𝑦 = 𝑥 2 ,
если 𝑥 < 0, то 𝑦 = −𝑥 2 .
При 𝑐 = 4 прямая 𝑦 = 𝑐не имеет с графиком ни
одной общей точки.
Ответ. При 𝑐 = 4.
24.1 Один угол параллелограмма больше другого на 74°.
Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах.
25.1. Докажите, что если биссектриса одного из внешних
углов треугольника параллельна противоположной стороне
треугольника, то этот треугольник равнобедренный.
26.1. Площадь ромба ABCDравна 18. В треугольник ABD
вписана окружность, которая касается стороны ABв точке K.
Через точку K проведена прямая, параллельная диагонали
ACи отсекающая от ромба треугольник площади 1. Найдите
синус угла BAC.
24.2 В треугольнике ABCугол С равен 90°, 𝑠𝑖𝑛𝐴 =
2 6
.Найдите
5
косинус внешнего угла при вершине A.
25.2. В трапеции ABCDсоснованиями BCи ADдиагонали
AC и BDпересекаются в точке O. Докажите равенство
площадей треугольников AOB и COD.
26.2.
Прямоугольный
треугольник
ABCразделён
высотойCD, проведённой к гипотенузе, на два
треугольника – BCDиACD. Радиусы окружностей,
вписанных в эти треугольники, равны 4 и 3
соответственно. Найдите радиус окружности, вписанной в
треугольник ABC.
24.1 Один угол параллелограмма больше другого на 74°.
Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах.
Решение.
C
B
A
D
∠A=∠С (какпротивоположные
углыпараллелограмма), значит,
∠A<∠B на 74°, ∠А=∠В‒74°.
∠A+∠B= 180° (по свойству
параллельных прямых).
∠В‒74° +∠B= 180°,
2∠В=254°,
∠В=127°.
Ответ. 127°.
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
2
Получен верный обоснованный ответ
1
При верных рассуждениях допущена вычислительная
ошибка, возможно приведшая к неверному ответу
0
Другие случаи, не соответствующие указанным выше
критериям
25.1. Докажите, что если биссектриса одного из внешних
углов треугольника параллельна противоположной стороне
треугольника, то этот треугольник равнобедренный.
Решение.
ВМ || AC, BC – секущая, ∠𝑀𝐵𝐶 = ∠𝐵𝐶𝐴,
(накрест лежащие).
D
M
B
ВМ || AC, AD– секущая, ∠𝐷𝐵𝑀 = ∠𝐵𝐴𝐶
(соответственные).
∠𝐷𝐵𝑀 = ∠𝑀𝐵𝐶 (по условию), значит,
∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐵𝐶𝐴,
по признаку ∆𝐴𝐵𝐶 – равнобедренный,
A
C
что и требовалось доказать.
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
3
Доказательство верное, все шаги обоснованы
2
Ход доказательства верный, но отсутствуют некоторые
ссылки, например, в приведённом решении не указано
свойство параллельных прямых
0
Другие случаи, не соответствующие указанным выше
критериям
26.1. Площадь ромба ABCD равна 18. В треугольник ABD вписана
окружность, которая касается стороны AB в точке K. Через точку K
проведена прямая, параллельная диагонали AC и отсекающая от ромба
треугольник площади 1. Найдите синус угла BAC.
A
K
D
∆𝑀𝐵𝐾~∆𝐶𝐵𝐴 (по двум углам, ∠𝐴 − общий,
∠𝐵𝐾𝑀 = ∠𝐵𝐴𝐶 как соответственные,
𝑀𝐾 ∥ 𝐴𝐶, 𝐴𝐵 − секущая).
1
𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 9,
2
𝑆𝐵𝐾𝑀 1
1 𝐵𝐾 1
= ,𝑘 = ,
= .
𝑆𝐵𝐴𝐶 9
3 𝐴𝐵 3
B
BO=BK(по свойству касательных).
O
Из ∆ AOB, AOB=90, sinBAC=
M
C
1
3
sinBAC= .
1
3
Ответ. .
𝑂𝐵
,
𝐴𝐵
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
4
Ход решения верный, все его шаги выполнены
правильно, получен верный ответ
3
Ход решения верный, чертёж соответствует условию
задачи, но даны неполные объяснения или допущена
одна вычислительная ошибка
0
Другие случаи, не соответствующие указанным выше
критериям
25.2. В трапеции ABCDсоснованиями BCи ADдиагонали AC и
BDпересекаются в точке O. Докажите равенство площадей
треугольников AOB и COD.
Решение.
B
A
1
𝐴𝑂
2
1
𝑆∆𝐴𝑂𝐵 = 𝐴𝑂 ∙ 𝐵𝑂 ∙ 𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝑂𝐵;
2
C
1
𝑆∆𝐶𝑂𝐷 = 𝐷𝑂 ∙ 𝐶𝑂 ∙ 𝑠𝑖𝑛∠𝐷𝑂𝐶;
2
𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝑂𝐵 = 𝑠𝑖𝑛∠𝐷𝑂𝐶, как вертикальные;
∆𝐵𝑂𝐶~∆𝐷𝑂𝐴 (по двум углам,
∠𝐵𝑂𝐶 = ∠𝐴𝑂𝐷 − вертикальные,
O
∠𝐷𝐵𝐶 = ∠𝐵𝐷𝐴 − внутренние накрест лежащие,
𝐴𝐷 ∥ 𝐵𝐶, BD − секущая),
𝐵𝑂 𝐶𝑂
=
; 𝐵𝑂 ∙ 𝐴𝑂 = 𝐶𝑂 ∙ 𝐷𝑂. Получаем,
𝐷𝑂 𝐴𝑂D
1
∙ 𝐵𝑂 ∙ 𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝑂𝐵 = 𝐷𝑂 ∙ 𝐶𝑂 ∙ 𝑠𝑖𝑛∠𝐷𝑂𝐶, значит, 𝑆∆𝐴𝑂𝐵 =𝑆∆𝐶𝑂𝐷 , что и
2
требовалось доказать.
Баллы
3
2
0
Критерии оценки выполнения задания
Доказательство верное, все шаги обоснованы
Ход доказательства верный, но отсутствуют некоторые
ссылки, например, в приведённом решении не указан
признак подобия треугольников
Другие случаи, не соответствующие указанным выше
критериям
26.2. Прямоугольный треугольник ABCразделён высотойCD, проведённой к
гипотенузе, на два треугольника – BCDиACD. Радиусы окружностей, вписанных в эти
треугольники, равны 4 и 3 соответственно. Найдите радиус окружности, вписанной в
треугольник ABC.
Решение.
∆𝐵𝐷𝐶~∆𝐵𝐶𝐴 по двум углам, ∠𝐵𝐷𝐶 = ∠𝐴𝐵𝐶 = 90 , ∠𝐶𝐵𝐷 − общий ,
аналогично, ∆𝐴𝐷𝐶~∆𝐴𝐶𝐵.
Если два треугольника подобны, то сходственные элементы пропорциональны.
𝑟1 − радиус окружности, вписанной в треугольник 𝐴𝐶𝐷, 𝑟2 − в ∆𝐴𝐷𝐶,
𝑟 − в ∆𝐴𝐵𝐶.
A
Из подобия треугольников имеем:
𝐴𝐶 2
𝐴𝐵
=
𝑟1 2
;
𝑟
𝐶𝐵D 2
𝐴𝐵
=
𝐴𝐶
𝐴𝐵
=
𝑟2 2 𝐴𝐶 2 +𝐶𝐵2
; 𝐴𝐵2
𝑟
𝑟1
𝑟
;
=
𝐶𝐵
𝐴𝐵
𝑟1 2 +𝑟2 2
по теореме Пифагора:𝐴𝐶 2 + 𝐶𝐵2 =𝐴𝐵2 ;
1=
𝑟2
9+16
;
𝑟2
Ответ. 5.
C
𝑟
= 𝑟2;
B
;
𝑟 = 5.
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
4
Ход решения верный, все его шаги выполнены
правильно, получен верный ответ
3
Ход решения верный, чертёж соответствует условию
задачи, но даны неполные объяснения или допущена
одна вычислительная ошибка
0
Другие случаи, не соответствующие указанным выше
критериям
10 ∙ 2𝑛
21. Сократить дробь: 𝑛+1 𝑛−1
2
∙2
.
22.Известно, что парабола проходит через точку
1
𝐵(−1; − )и её вершина находится в начале координат.
4
Найдите уравнение этой параболы и вычислите, в
каких точках она пересекает прямую 𝑦 = −16.
23. Найдите наименьшее значение выражения
(5𝑥 + 4𝑦 + 6)2 +(3𝑥 + 4𝑦 + 2)2 и значения х и у, при
которых оно достигается.
24. Окружность проходит через вершины A и C
треугольника ABC и пересекает его стороны AB и BC в
точках K и E соответственно. Отрезки AE и CK
перпендикулярны. Найдите KCB, если ABC=20.
25. В остроугольном треугольнике ABC проведены
высоты CE и AD. Докажите, что ∆ABD ~ ∆CBE.
26. Диагонали четырехугольника ABCD, вершины
которого расположены на окружности, пересекаются в
точке M. Известно, что ABC=74, BCD=102,
AMD=112. Найдите ACD.