Transcript Función

Guías Modulares de Estudio
Cálculo diferencial
Parte A
Semana 1:
Función
Función
• Objetivo:
Resolver problemas sobre relaciones y funciones teóricos o prácticos en
distintos ámbitos, mediante el uso de la relación funcional entre dos
variables; aplicar recursos adicionales para el trazo de gráficas de
funciones; identificar diversas clases de funciones y sus propiedades, en un
ambiente escolar que favorezca la reflexión sobre la utilidad de estos
conocimientos y el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación,
iniciativa y colaboración en el entorno donde se desenvuelve.
Función
Variable y constante

Una variable es un símbolo que representa un elemento cualquiera de un conjunto
específico de números. Dicho conjunto se llama dominio de la variable.

Una constante es un símbolo al que sólo se puede asignar un valor. Algunos autores
consideran que una constante es una variable cuyo dominio tiene un elemento único.

Usualmente la variable se representa con la letra inicial de su nombre y, de manera
general, se utilizan las últimas letras del alfabeto.

Algunas constantes tienen una letra específica que las representa, como es el caso
de π con la cual se expresa la relación entre la longitud de una circunferencia y la
longitud del diámetro correspondiente; o bien, la letra g con la cual se simboliza la
constante gravitacional; también de manera general se utiliza la letra k o las
primeras letras del alfabeto.
Función
Concepto de función
 Una función expresa una relación de dependencia entre variables, así:
1. En un lugar determinado, el espacio recorrido por un cuerpo en su caída libre
depende del tiempo. Es, por tanto, una función de una sola variable.
2. El área de un rectángulo depende de su base y de su altura, es decir, dicha área es
función de dos variables.
3. El interés que produce un capital depende de la tasa, el monto del capital y el tiempo;
en consecuencia, se trata de una función de tres variables.

La expresión C = 2πr se utiliza para calcular la longitud C de una circunferencia de
radio r . Los valores que se obtienen para C dependen de los valores que toma r ya
que 2π es un producto constante; por ello se dice que la longitud de una
circunferencia es una función de su radio. La variable a la que se asigna valores, en
este caso r, se llama variable independiente. La variable cuyo valor se determina
por el que toma aquella, en este caso C, se llama variable dependiente o función.
Función



Una relación es una regla de correspondencia que se establece entre los elementos
de un primer conjunto que se llama dominio con los elementos de un segundo
conjunto que se llama contradominio, de tal manera que a cada elemento del
dominio le corresponde uno o más elementos en el contradominio.
Una función es una relación en la que a cada elemento del dominio le corresponde
uno y sólo un elemento del contradominio.
En consecuencia toda función es una relación, pero algunas relaciones no son
funciones.
Función
Notación de función

Si en una función al dominio se le llama conjunto A y al contradominio se le llama
conjunto B, entonces la función se simboliza:
o bien:
que en ambos casos se lee: “función de A en B”.


Un elemento cualquiera del dominio se representa con la letra x (variable
independiente). Un elemento cualquiera del contradominio se representa con la letra
y (variable dependiente o función). El elemento y de B correspondiente a un
elemento x de A recibe el nombre de imagen de éste.
El elemento y de B que es imagen de un elemento x de A se simboliza de esta
manera: y = f(x) que se lee “y es imagen de x según la función f”, o simplemente “y
igual a f de x”. Dado que y = f(x), el par ordenado (x, y) se puede expresar de la
siguiente forma: (x, f(x)) .
Función
Ejemplo:

En la relación entre un número y su respectivo cuadrado, la regla de
correspondencia se puede expresar así:
o bien,

Si el dominio de esta función es
, de manera que las imágenes
de los elementos de se obtienen o se expresan como sigue:

Estos valores determinan los pares ordenados (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), por
lo que la función también puede expresarse como un conjunto de pares ordenados:
f = {(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)}
Función
Función real

Una función real de variable real, o sencillamente función real, es aquella que tiene
como dominio al mayor subconjunto de números reales y su contradominio es el
conjunto de los números reales. En lo sucesivo cuando se hable de función debe
entenderse que se trata de una función real.
Criterio de la vertical


Cuando se define una función como un conjunto de pares ordenados, se establece
que no existen dos pares diferentes con el mismo primer componente. Esto significa
que, en la representación geométrica de una función, su gráfica se compone de
puntos a cada uno de los cuales corresponde diferente abscisa; al trazar rectas
paralelas al eje de las y por cualquier valor del dominio, cada una de ellas corta la
gráfica de la función en uno y sólo un punto.
Si se da la representación geométrica de una gráfica y se desea saber si
corresponde o no a una función, por su dominio se trazan rectas paralelas al eje de
las y. Si una de ellas corta la gráfica en más de un punto, entonces no corresponde a
una función ya que existe por lo menos un elemento que tiene más de una imagen.
Función
30
6
25
4
20
2
15
0
0
10
-2
5
-4
0
-6
-4
-2
5
10
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0
2
Es una función
4
6
No es una función
30
Función
Dominio y dominio de imágenes de una función

Como ya se ha dicho, una función se define por tres elementos: el dominio, el
contradominio y la regla de correspondencia.

El dominio de la función es el conjunto de todos los valores que puede tomar la x.

Al conjunto de todos los valores que puede tomar y bajo la función se llama dominio
de imágenes, también se conoce como conjunto imagen o rango.

En una función f : A  B, el dominio es A; el contradominio es B y el rango es C, el
cual es el conjunto de imágenes que se obtiene a partir de A bajo la regla de
correspondencia de la función. El conjunto C es un subconjunto del conjunto B, es
decir C ⊆ B donde llega a ocurrir que C = B, según C sea un subconjunto propio o
impropio de B.
Función
Ejemplos:
1. Encontrar el dominio y el rango de la función:
f = {(1, 4), (3, 6), (5, 8), (7, 10)}
Solución:
El dominio de la función es el conjunto formado por los primeros componentes de los
pares ordenados, es decir:
A = {1, 3, 5, 7}
El rango de la función es el conjunto formado por los segundos componentes de los
pares ordenados, es decir:
C = {4, 6, 8, 10}
Como el contradominio B = ℝ , entonces C ⊆ B .
Función
Ejemplos:
2. Encontrar el dominio y rango de la función f (x) = - 2x + 1
Solución:
En este caso se observa que la x se puede sustituir por cualquier número real para
realizar las operaciones que se indica en la regla de correspondencia y obtener su
respectiva imagen. Por tanto, el dominio de la función es A = ℝ .
Como f (x) = y la regla de correspondencia de la función se expresa de la siguiente
manera
y = - 2x + 1
Despejando x se expresa.
y + 2x = 1
x = (1 – y) / 2
Donde y puede tomar cualquier valor real y en consecuencia el rango de la función
es C = ℝ , que, en este caso, es igual al contradominio B.
Función
Recursos adicionales para el trazo de gráficas
 Cuando se traza una gráfica por puntos se debe localizar un número suficiente de
ellos para que el diseño de la gráfica sea muy claro.

Entre otros recursos adicionales, para el trazo de una gráfica se puede utilizar:
a) Las intersecciones con los ejes
b) Las simetrías.
Intersecciones con los ejes
 En el plano coordenado rectangular, el eje x tiene por ecuación y = 0 mientras que el
eje y tiene por ecuación x = 0. Aplicando el teorema fundamental de la geometría
analítica a una ecuación, las intersecciones de ésta con los ejes coordenados se
obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones que se forma con la ecuación dada y la
ecuación de cada eje.
 En la práctica esto equivale a sustituir x = 0 en la ecuación dada y despejar y para
obtener las intersecciones con el eje y; a sustituir y = 0 en la ecuación dada y
despejar x para obtener las intersecciones con el eje x.
Función
Ejemplos:
1. Encontrar las intersecciones de 2x + 3y – 6 = 0 con los ejes coordenados.
Solución:
La ecuación es de la forma Ax + By + C = 0. Por geometría analítica se sabe que
dicha forma corresponde a una línea recta.
La gráfica interseca al eje x cuando y = 0, es decir, si
2x + 3y – 6 = 0
Entonces:
2x + 3(0) – 6 = 0
donde:
2x – 6 = 0
Despejando x se obtiene:
2x = 6
x=6/2
x=3
Por tanto, la gráfica pasa por el punto (3, 0).
Función
La gráfica interseca al eje y cuando x = 0, es decir, si:
2x + 3y – 6 = 0
Entonces:
2(0) + 3y – 6 = 0
De donde:
3y – 6 = 0
Despejando y:
3y = 6
y=6/3
y=2
Por tanto, la gráfica pasa por el punto de coordenadas (0, 2). Entonces la línea recta
cuya ecuación es 2x + 3y – 6 = 0 queda determinada por los puntos (3, 0) y (0, 2).
Función
Simetría
Simetría respecto al eje x



La gráfica de una ecuación es simétrica respecto al eje x, si y sólo si para cada punto
(x, y) de la gráfica existe el punto (x, -y) que también pertenece a ella.
Para saber si la gráfica de una ecuación es simétrica respecto al eje x, se sustituye
en la ecuación a y por –y. Si la ecuación se conserva sin cambio entonces su gráfica
es simétrica respecto al eje x.
Ejemplo:
Función
Simetría respecto al eje y



La gráfica de una ecuación es simétrica respecto al eje y, si y solo si para cada punto
(x, y) de la gráfica, existe el punto (-x, y) que también pertenece a ella.
Para saber si la gráfica de una ecuación es simétrica respecto al eje y, se sustituye
en la ecuación x por –x. Si la ecuación se conserva sin cambio entonces su gráfica
es simétrica respecto al eje y.
Ejemplo:
Función
Simetría respecto al origen



La gráfica de una ecuación es simétrica respecto al origen, si y solo si para cada
punto (x, y) de la gráfica, existe el punto (-x, -y) que también pertenece a ella.
Para saber si la gráfica de una ecuación es simétrica respecto al eje y, se sustituye
en la ecuación x por –x y a y por -y. Si la ecuación se conserva sin cambio entonces
su gráfica es simétrica respecto al eje origen.
Ejemplo:
Semana 2:
Función
Función
• Objetivo:
Resolver problemas sobre relaciones y funciones teóricos o prácticos en
distintos ámbitos, mediante el uso de la relación funcional entre dos
variables; aplicar recursos adicionales para el trazo de gráficas de
funciones; identificar diversas clases de funciones y sus propiedades, en un
ambiente escolar que favorezca la reflexión sobre la utilidad de estos
conocimientos y el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación,
iniciativa y colaboración en el entorno donde se desenvuelve.
Función
Función explícita y función implícita



Una función implícita de dos variables, x y y, se expresa por una ecuación no
resuelta para ninguna de esas variables.
Ejemplo:
x3 – y = 3
3x – y – 5 = 0
xy – 1 = 0
Una función implícita en dos variables, x y y, generalmente se denota por f (x, y) = 0.
Una función implícita se vuelve explícita cuando se despeja una de las variables.
Ejemplo:
Función implícita
Función explícita
x3 – y = 3
y = x3
3x – y – 5 = 0
y = 3x – 5
xy – 1 = 0
y=1/x
Función
Clases de funciones

Las funciones racionales se obtienen con el cociente de dos funciones
polinomiales.

La función es irracional cuando algún exponente del polinomio no es entero.

Las funciones polinómicas, anteriormente citadas, racionales e irracionales se llaman
funciones algebraicas.
Las funciones que no son algebraicas, como las exponenciales, logarítmicas y
trigonométricas se llaman funciones trascendentes.

Función
Función exponencial

Una de las mas conocidas, por su aplicación en diferente áreas del conocimiento, es
la función exponencial.
Función
La función logarítmica
donde a es la base del logaritmo. El logaritmo es el exponente al que hay que
elevar la base para obtener el número dado.
Gráfica del logaritmo natural
Gráfico del logaritmo de base 10
Función
Composición de funciones
Función
Función inversa
Semana 3:
Límites
Límites
 Objetivo:
Resolver problemas de límites en las ciencias naturales, económico
administrativas y sociales, a partir de la aplicación de la teoría de límites y
el empleo de sus teoremas y el análisis de su comportamiento gráfico, con
una actitud analítica y participativa.
Límites

En muchas ocasiones algunas frases conducen de manera intuitiva a la definición de
limite, tales como: “Se aproxima a un número específico”, “x se aproxima hacia a”,
“f(x) se hace arbitrariamente grande”. Desde Leibnitz, Newton en el siglo XVII a
través de los Bernoulli, Euler y Gauss en el siglo VIII y hasta principios del siglo. Sin
embargo, a medida que el tiempo transcurría la definición intuitiva de límite
necesitaba de librarse de su origen “los objetos móviles” y simples gráficas. Fue
Weierstrass, alrededor de 1841 a 1856 quien desarrollo un método para definir los
límites si hacer alusión a lo anterior. Desde entonces este método ha sido usado
tanto por matemáticos puros y aplicados Weierstrass.

De manera informal el límite se define de la forma siguiente:


Sea f(x) una función y a un número fijo.
Supongamos que el codominio de f contiene intervalos abiertos (c,a) y (a,b), para
algún número c<a y algún número b>a, como en la siguiente figura:
Límites




Si al aproximarse x hacia a, tanto por su izquierda como por su derecha (esto
también es equivalente a decir que existe tanto el limite de la función tanto por la
izquierda como por la derecha), f(x) tiende a un número específico S, entonces S se
llama el límite de f(x) cuando x tiende hacia a.
Lo cual se representa de la siguiente forma:
Una reformulación aun todavía informal es la siguiente:
Sean los números c y b, c<a<b, tales que f(x) está definida para todos los x en el
intervalo (c,a) y todos los x en el otro intervalo (a,b). Si x es suficientemente próximo
a a pero no exactamente a.
Límites
Definición precisa de
Weierstrass
1. Existe un número c tal que f(x) está definida para todo x>c
2. Para toda solución E existe un número D tal que para todo x>D tal que para todo
x>D se cumple f(x)>E
Ejemplo del uso de una definición precisa sobre el limite:
 Usando una definición precisa probar que
Solución:
Sea E cualquier número. Debemos probar que existe un D tal que siempre x>D, se
verifique 2x>E. Que es el equivalente a decir que para todo número E, debemos
probar que siempre se cumple que f(x) >E , dado que x>D.
Por ejemplo, si E=100, basta con D=50. Como podemos darnos cuenta si x>50
entonces 2x>100. El número dependerá de E
Ahora bien la desigualdad 2x>E equivale a
Límites

En otras palabras, si

Entonces 2x>E.

Luego

Esto es, para x>D (con

Concluimos inmediatamente que
sirve.
), 2x>E.
Semana 4:
Límites
Límites
 Objetivo:
Resolver problemas de límites en las ciencias naturales, económico
administrativas y sociales, a partir de la aplicación de la teoría de límites y
el empleo de sus teoremas y el análisis de su comportamiento gráfico, con
una actitud analítica y participativa.
Límites
Ejercicios resueltos
1.
Resolver el límite
Solución:
Límites
Ejercicios resueltos
2. Resolver el límite
Solución:
 La solución no es tan inmediata como en el caso anterior, es necesario realizar
algunas operaciones antes de aplicar el limite, ya que este limite nos conduce a la
indeterminación del tipo cero sobre cero.
 Por lo que la factorización:
Límites
Ejercicios resueltos
3.
Resolver el siguiente limite:
Solución:
 Como el limite queda indeterminado debido a la división:

entonces es necesario dividir entre la variable a la mayor potencia tanto en el
numerador como en el denominador en este caso entre x7:
Límites
Ejercicios resueltos
4.
Resuelve el siguiente límite
Solución:
Multiplicando por:
Tenemos
Bibliografía
•
Ortiz Campos, José Francisco : Cálculo diferencial, Publicaciones
Cultural 2007