Transcript Estatística – Cap-04

Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Estatística Aplicada I
Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes
Campus de Tucuruí – CTUC
Curso de Engenharia Mecânica
13/04/2015
11:10
ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Capítulo IV
Modelos de Distribuições
Campus de Tucuruí – CTUC
Curso de Engenharia Mecânica
13/04/2015
11:10
ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
IV – Modelos de Distribuições

Introdução

Distribuições teóricas discretas

Distribuições teóricas contínuas
13/04/2015
11:10
ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
IV – Modelos de Distribuições

Introdução

Distribuições teóricas discretas

Distribuições teóricas contínuas
13/04/2015
11:10
ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.1 Introdução
 Existem variáveis aleatórias que têm uma função de
distribuição pertencente a uma classe de distribuições
teóricas.
 As distribuições teóricas, como o próprio nome indica,
foram submetidas a estudos prévios e têm propriedades
conhecidas; portanto, podem servir como modelo em
determinadas situações em que a distribuição esteja
identificada, poupando tempo na análise do problema
estudado.
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.1 Introdução
 As distribuições teóricas que aqui serão estudadas são:
• Caso discreto
- Distribuição binomial
- Distribuição hipergeométrica
- Distribuição de Poisson
• Caso contínuo
13/04/2015
Distribuição uniforme
Distribuição exponencial
Distribuição normal
Distribuição qui-quadrado
Distribuição t de Student
Distribuição F
11:10
ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
IV – Modelos de Distribuições

Introdução

Distribuições teóricas discretas

Distribuições teóricas contínuas
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
 Prova de Bernoulli
• A prova de Bernoulli é uma experiência aleatória que serve de
base a várias distribuições teóricas (distribuição binomial,
distribuição binomial negativa e distribuição geométrica).
• Consideremos uma experiência aleatória na qual existem apenas
dois acontecimentos em que estamos interessados: o
acontecimento A que será designado por sucesso e o
acontecimento contrário, A, que será designado por falha. O
sucesso ocorre com probabilidade p, e o insucesso com
probabilidade q = 1− p .
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
 Prova de Bernoulli
• O espaço de resultados está assim particionado em
dois acontecimentos S  { A, A } em que:
A  sucesso
P( A )  p
A  falha
P( A )  q  1  p
• A uma experiência aleatória com estas características
dá-se o nome de prova de Bernoulli.
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
 Prova de Bernoulli
• Principais características:
1
Média :
   xi f ( xi )  0  q  1  p  p
0
Variância :
 2  E ( x i   ) 2   E ( X 2 )   2 
1
  x i2 f ( x i )   2  0 2 q  1 2 p  p 2 
0
 p  p 2  p( 1  p )  pq
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
 Prova de Bernoulli
• Sucessão de provas de Bernoulli: Defini-se como o
processo caracterizado por repetidas provas que têm lugar nas
seguintes condições:
1. Cada prova resultem em somente dois resultados possíveis,
designados como “sucesso” e “falha”.
2. A probabilidade de um sucesso em cada prova, designada por
p, permaneça constante. A probabilidade de falha designa-se
por q = 1− p.
3. As provas sejam independentes, isto é, os resultados obtidos
numa sequência de provas não influenciam os resultados da(s)
provas(s) subsequente(s).
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
 Distribuição binomial
• Trata-se de uma distribuição de probabilidade adequada aos
experimentos que apresentam apenas dois resultados: sucesso ou
falha.
• Este modelo fundamenta-se nas seguintes hipóteses:
- H1. n provas independentes e do mesmo tipo são realizadas;
- H2. cada prova admite apenas dois resultados – sucesso ou
falha;
- H3. a probabilidade de sucesso é p e de falha é 1 – p = q.
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
 Distribuição binomial
• Considerando-se uma sucessão de n provas de Bernoulli, a
variável aleatória que representa o número de sucessos obtidos
nessas n provas de Bernoulli tem distribuição binomial.
• A variável aleatória X, que é igual ao número de provas que
resultam em um sucesso, tem uma distribuição binomial com
parâmetros p e n em que 0 < p < 1 e n = {1, 2, 3, ..., n}.
• A função de probabilidade de X é
n
f ( x )    p x q n x , x  0 , 1, 2 , ...,n
 x
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
 Distribuição binomial
• Principais características:
- De acordo com as hipóteses, observa-se que X é a soma de n
variáveis do tipo “Bernoulli”, daí
Média :
Variância :
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E ( X )  n  np
Var( X )  n 2  npq
ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
 Distribuição binomial
• Exemplo: Cada amostra de ar tem 10% de chance de conter
uma certa molécula rara. Considere que as amostras sejam
independentes em relação à presença da molécula rara. Encontre
a probabilidade de que, nas próximas 18 amostras, exatamente 2
contenham a molécula rara.
- Seja X = número de amostras de ar que contenham a molécula
rara nas próximas amostras analisadas (sucessos); então, X é a
variável aleatória binomial com p = 0,1 e n = 18. Assim,
 n  x n x
 18


f ( x )    p q  P( X  2 )   ( 0 ,1 )2 ( 0 ,9 )16  0 ,284
 x
2
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
 Distribuição binomial
• Exemplo: Determine a probabilidade de que no mínimo 4
amostras contenham a molécula rara.
- Neste caso, a probabilidade requerida é
 18 
P ( X  4 )    ( 0 ,1 ) x ( 0 ,9 )18  x 
x4  x 
3
 18 
 1    ( 0 ,1 ) x ( 0 ,9 )18  x 
x 0  x 
18
 1  ( 0 ,150  0 ,300  0 ,284  0 ,168 ) 
 0 ,098
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
 Distribuição binomial
• Exemplo: Determine a probabilidade de que o número de
amostras que contenham a molécula rara esteja entre 3 e 6.
- Neste caso, a probabilidade requerida é
 18 
P ( 3  X  6 )    ( 0 ,1 ) x ( 0 ,9 )18  x 
x3  x 
 0 ,168  0 ,070  0 ,022  0 ,005 
 0 ,265
6
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
 Distribuição hipergeométrica
• Suponhamos que temos um conjunto de N elementos e que M
destes elementos têm uma certa característica em que estamos
interessados (sucesso); logo os outros N-M elementos não têm
essa característica.
• Ao retirarmos n elementos do conjunto inicial de N elementos
(retirar de forma aleatória e sem reposição) consideremos X a
variável aleatória que representa o número de elementos que são
retirados e que têm a característica em que estamos interessados.
• A variável aleatória definida nas condições anteriores tem
distribuição hipergeométrica com parâmetros N, M e n.
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
 Distribuição hipergeométrica
• A probabilidade da variável aleatória assumir o valor x é dada
por:
M N  M
   

x
n x 
P ( X  x )  b( x , N , M , n )    
N
 
n 
com x  máx0 , n  ( N  M ), ...,minn , M 
• Demonstra-se que se a variável aleatória X tem distribuição
hipergeométrica com parâmetros N, M e n, então:
E( X )  n 
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M
N
Var( X )  n 
M  N  M   N  n



N  N   N 1
ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
 Distribuição hipergeométrica
• Exemplo: Na produção de 1000 parafusos em uma máquina A
foi observado que 100 apresentam algum tipo de defeito. Como
vão ser utilizados 10 parafusos de cada vez, determine a
probabilidade de todos serem perfeitos.
- Neste caso, N = 1000, M = 100 e n = 10, a probabilidade
requerida, portanto, será:
 100  1000  100
900  899  ... 891

  
 1  

 0   10  0 
 1  2  ... 10 
P( X  0 ) 

 0 ,35
1000 999  ... 991
 1000


1  2  ... 10
10


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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
 Distribuição de Poisson
• A distribuição de Poisson (que deve o seu nome ao físico francês
Simon Poisson) está associada a um grande conjunto de situações
práticas cujos alguns exemplos são os seguintes:
- Número de mensagens que chegam em um servidor no intervalo
de uma hora.
- Número de partículas defeituosas em um cm3 de volume de um
certo líquido.
- Número de defeitos em um metro de comprimento, de um fio
produzido por uma máquina têxtil.
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
 Distribuição de Poisson
• Todos os exemplos apresentados têm uma
característica comum: a variável aleatória em estudo
representa o número de ocorrências de um certo
evento ao longo de um intervalo (tempo,
comprimento, área ou volume).
• Os valores que a variável aleatória pode assumir são
valores inteiros não negativos: 0, 1, ..., n,... .
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
 Distribuição de Poisson
• Outras características que identicam uma distribuição de Poisson
são:
- O número de ocorrências em intervalos não sobrepostos são
variáveis independentes.
- A probabilidade de um certo número de ocorrências se verificar
é a mesma para intervalos da mesma dimensão; isto é, a
probabilidade depende apenas da amplitude do intervalo e não
da posição em que se situa nesse intervalo.
- As ocorrências do fenômeno descrito verificam-se uma a uma e
nunca em grupos.
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
 Distribuição de Poisson
• Se o número médio de ocorrências no intervalo em estudo for λ >
0, a variável aleatória X, que é igual ao número de ocorrências no
intervalo, terá uma distribuição de Poisson, com parâmetro λ,
sendo a função de distribuição de X dada por
e   x
f(x)
,
x!
x  0 , 1 , 2 , ...
• Características:
Média :
Variância:
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E( X )   t
Var( X )  t
ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
 Distribuição de Poisson
• Exemplo: Mensagens chegam a um servidor de computadores
de acordo com a distribuição de Poisson, com uma taxa média de
10 por hora.
a)
Qual a probabilidade de 3 mensagens chegarem em 1 hora?
b) Qual a probabilidade de 6 mensagens chegarem em 30
minutos?
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.2 Distribuições Teóricas Discretas
 Distribuição de Poisson
• Exemplo:
a) Seja X a representação do número de mensagens em 1 hora.
Então E(X) = 10.1 = 10 mensagens e
e   x
e 10 10 3
f(x)
 P( X  3 ) 
 0 ,0076
x!
3!
b) Seja X a representação do número de mensagens em 30
minutos (0,5 hora). Então E(X) = 10.0,5 = 5 mensagens e
e 5 5 6
P( X  6 ) 
 0 ,1462
6!
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
IV – Modelos de Distribuições

Introdução

Distribuições teóricas discretas

Distribuições teóricas contínuas
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição uniforme
• Consideremos uma variável aleatória contínua, cujos valores
podem ocorrer dentro dum intervalo limitado (aberto ou fechado)
(a,b). Se quaisquer dois subintervalos de igual amplitude têm a
mesma probabilidade, então a variável aleatória tem distribuição
uniforme.
• Diz-se que a variável aleatória contínua X tem distribuição
uniforme no intervalo (a,b) se a sua função de densidade de
probabilidade for dada por:
 1

f ( x )  b  a

0
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a xb
paraoutrosvaloresde x
ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição uniforme
• Os parâmetros caracterizadores desta distribuição são a e b, que
satisfazem a condição −∞ < a < b < +∞.
• Sua função de distribuição cumulativa F(x) é dada por:
xa
0
xa

F( x )  
ba

1
a xb
xb
• Características: Se a variável aleatória X tem distribuição
uniforme no intervalo (a,b) então:
ab
E( X ) 
2
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,
( b  a )2
Var( X ) 
12
ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição uniforme
• Exemplo: Um ponto é escolhido ao acaso no segmento de reta
(0,2). Qual a probabilidade de que este ponto esteja entre 1 e 1,5?
- Seja X a representação da variável escolher um ponto de (0,2).
A função densidade de probabilidade de X é dada por:
f(x)
Então:
1
1

 0 ,5
ba 20
, para 0  x  2
1b
P( a  x  b ) 
 f ( x ) dx 
a
1 ,5
P ( 1  x  1 ,5 ) 
 0 ,5dx  0 ,25
1
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição Exponencial
• A distribuição exponencial está intimamente ligada à distribuição de
Poisson. Se o número de ocorrências de um certo acontecimento
segue uma distribuição de Poisson, a “medida de espaço” entre duas
ocorrências consecutivas ou a “medida de espaço” até à primeira
ocorrência segue uma distribuição exponencial.
• A distribuição exponencial é também usualmente utilizada na
descrição do tempo de vida de aparelhos, de organismos etc. (lei de
falhas exponencial).
• A distribuição de probabilidade de um intervalo entre dois sucessos
consecutivos de uma lei de Poisson é a distribuição exponencial.
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição Exponencial
• Sua função densidade de probabilidadea é dada por
f ( x )  λ e  λx
para x  0
onde λ é o parâmetro caracterizador da distribuição, sendo λ > 0.
• Características:
Média :
Variância :
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E( X ) 
1

Var( X ) 
1
2
ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição Exponencial
• O gráfico de f(x) é dado por:
f(x)
λ
x
0
• Função distribuição cumulativa:
F( x )  0
,
para x  0
x
F( x ) 
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0
λe  λx dx  1  e  λx , para x  0
ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição Exponencial
• Conhecida a função distrbuição cumulativa de x, pode-se
facilmente determinar


P( X  x0 )  1  F ( x0 )  1  1  e x0  e x0
f(x)
λ
e-λxo
0
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xo
x
ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição Exponencial
• Exemplo: Os defeitos de um tecido seguem a
distribuição de Poisson com média de um defeito a
cada 400 m de tecido. Qual a probabilidade de que o
intervalo entre dois defeitos consecutivos seja:
a) No mínimo de 1000 m;
b) Entre 800 e 1000 m.
Calcule a média e a variância.
13/04/2015
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição Exponencial
• Exemplo:
- Sabe-se que na distribuição de Poisson E(x) = λt,
então:

1
400
a ) P ( x  1000)  e
 x
e

1000
400
 0 ,081 ou 81%
b ) P ( 800  x  1000)  P ( x  800 )  P ( x  1000) 
e
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
800
400
e

1000
400
 0 ,0532 ou 5 ,32%
ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição Normal
• É a mais importante distribuição de probabilidade, sendo aplicada
em inúmeros fenômenos e utilizada para o desenvolvimento
teórico da estatística.
• A grande maioria das variáveis aleatórias contínuas que descrevem
processos físicos ou características humanas seguem uma
distribuição normal. Algumas vezes, as variáveis aleatórias não
seguem uma distribuição normal, mas aproximam-se muito desta.
Por outro lado, a distribuição normal desempenha um papel
crucial na inferência estatística.
• É também conhecida como distribuição de Gauss, Laplace ou
Laplace-Gauss
13/04/2015
11:10
ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição Normal
• Seja X uma variável aleatória contínua, X terá uma distribuição
normal se
f(x)
1
σ 2π
 ( x  μ )2
2
e 2σ
,
para    x  
onde μ e σ são os parâmetros caracterizadores da distribuição.
• Se a variável aleatória X tem distribuição normal então:
E( X )  
e
Var( X )   2
• A notação N(μ,σ2) é frequentemente usada para denotar uma
distribuição normal, com média μ e variância σ2.
13/04/2015
11:10
ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição Normal
• Quando se utiliza a distribuição normal na forma como se
apresenta, para o cálculo das probabilidades, surgem dois
problemas:
- A integração de f(x) fica difícultada, pois para o cálculo é
necessário o desenvolvimento da função em série;
- A elaboração de uma tabela de probabilidades única inexiste,
pois como f(x) depende de dois parâmetros, isto acarreta um
grande trabalho para tabelar essas propriedades considerando-se
as várias combinações de μ e σ2.
13/04/2015
11:10
ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição Normal
• Esses problemas podem ser contornados por meio de uma
mudança de variável, obtendo-se, assim, a distribuição normal
padronizada ou reduzida.
• Distribuição normal padrão:
- Seja Z uma variável aleatória tal que:
Zi 
Xi  

em que X é uma variável normal de média μ e variância σ2.
13/04/2015
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição Normal
• Distribuição normal padrão:
- A média e a variância de Z serão:
1
1
 X  1
E( Z )  E
  E ( X   )  E ( X )  E (  )       0


   
1
1
2
 X 
Var( Z )  Var
  2 Var( X   )  2 Var( X )  2  1




 
- Logo, a função densidade de probabilidade será:
( z ) 
1
2
e
z2
2
,
 z  
- Como a média de Z é 0 e a variância 1, as probabilidades podem
ser facilmente calculadas e tabeladas.
13/04/2015
11:10
ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição Normal
• Propriedades da distribuição normal
1. f(x) é simétrica em relação à média x = μ, ou φ(z) é simétrica em
relação a z = 0.
f(x)
φ(z)
μ
0
13/04/2015
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição Normal
• Propriedades da distribuição normal
2. f(x) possui um máximo para x = μ, ou φ(z) possui um máximo
para z = 0.
φ(z)
13/04/2015
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0,39
ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição Normal
• Propriedades da distribuição normal
3. f(x) tende a zero quando x tende para ± ∞, o mesmo acontecendo
com φ(z) quando z tende para ± ∞; isto é, x ou z são assíntotas de
f(x) ou φ(z).
13/04/2015
11:10
ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição Normal
• Propriedades da distribuição normal
4. f(x) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem μ + σ
e μ – σ, da mesma forma φ(z) tem dois pontos de inflexão cujas
abscissas valem +1 e –1.
μ-σ
13/04/2015
11:10
μ+σ
-1
0
1
ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição Normal
• Propriedades da distribuição normal
5. Em ambas as funções 99,99% dos valores da variável pertencem
ao intervalo [μ - 4σ, μ + 4σ].
13/04/2015
11:10
ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição Normal
• Propriedades da distribuição normal
6. Na figura (a) estão representadas duas distribuições que têm o
mesmo valor médio (μ1 = μ2), mas diferentes desvios padrões (σ1
< σ2). Na figura (b) estão representadas duas distribuições que
têm o mesmo desvio padrão, mas médias diferentes.
(a)
(b)
1
2
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição Normal
• Propriedades da distribuição normal
6. Alguns resultados úteis relativos à distribuição normal, são
sumarizados na figura abaixo. Para qualquer variável aleatória
normal,
P (     X     )  0 ,6827
P (   2  X    2 )  0 ,9545
P (   3  X    3 )  0 ,9975
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição Normal
• Propriedades da distribuição normal
- Pelo fato de mais de 0,9975 da probabilidade de uma
distribuição normal estar dentro do intervalo (μ - 3σ, μ + 3σ), 6σ
é frequentemente referida como a largura de uma distribuição
normal.
- A integração numérica pode ser usada para mostrar que a área
sob a função densidade de probabilidade normal de – ∞ < x < ∞
é igual a 1.
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição Normal
• Uso da tabela de distribuição normal padrão
- Existem vários tipos de tabelas que oferecem as áreas
(probabilidades) sob a curva normal padrão.
- Essa tabela fornece a área sob a curva normal padrão entre z = - ∞
até o valor de z considerado, ou seja, P(Z ≤ z).
zo
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição Normal
• Uso da tabela de distribuição normal padrão
- O uso da tabela para encontrar, por exemplo, P(Z ≤ 1,53) é
ilustrado na figura abaixo:
P(Z ≤ 1,53) = Φ (1,53)
z
0.00
0,01
0,02
0,03
...
0,09
= área sombreada
0
0,500000
0,503989
0,507978
0,511967
...
0,535856
0,1
..
.
0,539828
0,503795
0,547758
0,551717
...
0,575345
..
.
..
.
..
.
..
.
1,5
..
.
0,933193
0,934478
0,935744
0,936992
..
.
..
.
..
.
..
.
3,9
0,999952
0,999954
0,999956
0,999958
..
.
...
0,944083
..
.
1,53
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...
0,999967
ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição Normal
• Uso da tabela de distribuição normal padrão
- Definição: A função Φ(z) = P(Z ≤ z) é usada para denotar uma
probabilidade proveniente da tabela anterior. Ela é chamada de
função distribuição cumulativa de uma variável aleatória normal
padrão.
- Uma tabela é requerida porque a probabilidade não pode ser
determinada pelos métodos elementares.
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição Normal
• Uso da tabela de distribuição normal padrão
- Outros exemplos:
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição Normal
• Uso da tabela de distribuição normal padrão
- Exemplos: Os seguintes cálculos são mostrados de forma
diagramática na figura a seguir.
1 ) P( Z  1,26 )  1  P( Z  1,26 )  1  0 ,89616 0 ,10364
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição Normal
• Uso da tabela de distribuição normal padrão
2 ) P( Z  0 ,86 )  0 ,19490
3 ) P( Z  1,37 )  P( Z  1,37 )  0 ,91465
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição Normal
• Uso da tabela de distribuição normal padrão
4 ) P ( 1 ,25  Z  0 ,37 )  P ( Z  0 ,37 )  P ( Z  1 ,25 ) 
 0 ,64431 0 ,10565
 0 ,53886
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição Normal
• Uso da tabela de distribuição normal padrão
5 ) P ( Z  4 ,6 )  P ( Z  3 ,99 )
P ( Z  3 ,99 )  0 ,00003
P ( Z  4 ,6 )  0 ,0003
P ( Z  4 ,6 )  0
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição Normal
• Uso da tabela de distribuição normal padrão
6 ) P ( Z  z )  0 ,05  P ( Z  z )  0 ,95
Da tabela : P ( Z  0 ,95 )  z  1 ,65 ( valormais próximo).
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição Normal
• Uso da tabela de distribuição normal padrão
7 ) P (  z  Z  z )  0 ,99
Por simetria , a área em cada extremidade da distribuição
é igual a ( 1  0 ,99 ) / 2  0 ,005. O valor de z corresponde a
probabilidade de 0 ,995 na tabela. A probabilidade mais
próxima desse valor na tabela é 0 ,99506, quando z  2 ,58.
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição Normal
• Cálculo das probabilidades para uma variável aleatória
normal padrão arbitrária
- Todas as distribuições normais estão relacionadas algebricamente
e a tabela da distribuição normal padrão pode ser usada para
encontrar as probabilidades associadas com uma variável aleatória
normal arbitrária usando a transformação
Zi 
Xi  

onde X é a variável aleatória normal de média μ e variância σ2.
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição Normal
• Cálculo das probabilidades para uma variável aleatória
normal padrão arbitrária
- Exemplo: Suponha que as medidas de corrente em um
pedaço de fio sigam a distribuição normal, com uma
média de 10 miliampères e uma variância de 4
(miliampères)2. Qual a probabilidade de a medida
exceder 13 miliampères?
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição Normal
• Cálculo das probabilidades para uma variável aleatória
normal padrão arbitrária
- Seja X a representação da corrente em miliampères. A
probabilidade requerida pode ser representada por P(X > 13).
Usando a transformação de variável tem-se:
X  10 13  10
Z

 1 ,5
2
2
Logo,
P ( X  13 )  P ( Z  1,5 )  1  P ( Z  1,5 ) 
1  0 ,93319 0 ,06681
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição qui-quadrado
• Trata-se de um modelo de distribuição contínua muito importante
para a teoria da inferência estatística.
• Seja x1, x2, ..., xp, “p” variáveis aleatórias independentes,
normalmente distribuídas, com média 0 e variância 1. Define-se
variável aleatória com distribuição qui-quadrado, como uma
combinação das variâncias dessas variáveis aleatória:
 p2  x12  x22  ... x 2p
onde “p” é um parâmetro da função densidade denominado grau
de liberdade, normalmente indicado pela letra grega φ.
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição qui-quadrado
• Pode-se demonstrar que a média de uma distribuição
qui-quadrado é igual ao grau de liberdade, e que a
variância é igual ao dobro do número de graus de
liberdade:
 
E  2   (  2 )  
 
Var  p2   2 (  2 )  2
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição qui-quadrado
• A forma da curva que descreve a função densidade varia conforme
o valor do grau de liberdade (valor do parâmetro φ):
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição qui-quadrado
• Uso da tabela de distribuição qui-quadrado
- A distribuição qui-quadrado está tabelada. A tabela fornece a
abscissa da distribuição para diversas áreas (probabilidades) da
cauda à direita. Assim:
13/04/2015
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição qui-quadrado
• Uso da tabela de distribuição qui-quadrado
- Exemplo 01: Admita φ = 9 e α = 5%.
Entra-se na 1ª coluna com φ = 9, e na 1ª linha com α = 0,05; na
intersecção dessas obtém-se o número 16,9.
φ=9
α = 5%
16,9
13/04/2015
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição qui-quadrado
• Uso da tabela de distribuição qui-quadrado
- Exemplo 02: Considere uma distribuição qui-quadrado com
parâmetro 18. Encontre: (a) a média, a variância e o desvio
padrão; (b) a mediana; (c) o 1º quartil e (d) o 90º percentil.
a) A média, a variância e o desvio padrão:
 (  182 )    18
 2 (  182 )  2  36
 (  182 )   2  36  6
13/04/2015
11:10
ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição qui-quadrado
• Uso da tabela de distribuição qui-quadrado
- Exemplo 02:
b) A mediana
13/04/2015
11:10
ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição qui-quadrado
• Uso da tabela de distribuição qui-quadrado
- Exemplo 02:
c) O 1º quartil
13/04/2015
11:10
ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição qui-quadrado
• Uso da tabela de distribuição qui-quadrado
- Exemplo 02:
d) O 90º percentil
13/04/2015
11:10
ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição t de Student
• Trata-se de um modelo de distribuição contínua que se assemelha
à distribuição normal padrão, N(0,1). É utilizada para inferências
estatísticas, particularmente, quando se tem amostras com
tamanhos inferiores a 30 elementos (Fonseca & Matins, 1996).
• A distribuição t também possui um parâmetro denominado grau de
liberdade (φ), e é simétrica em relação à sua média.
• A média dessa distribuição é zero, e sua variância é dada por:
E [ t ]  0
Vart    2 ( t ) 
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
 2
(  2 )
ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição t de Student
• Gráfico da distribuição t de Student (para φ = 4):
• Observa-se que para valores de φ < 30 a distribuição t apresenta
maior dispersão do que a normal padrão N(0,1), já que o desvio
padrão, nesses casos, é maior do que 1, que é o desvio padrão da
distribuição normal padrão.
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição t de Student
• Exemplo:
- Para φ = 4 tem-se:
 ( t4 ) 
4
 1,41
42
- Para φ = 35 tem-se:
 ( t 35 ) 
35
 1,03
35  2
 ( t 60 ) 
60
 1,02
60  2
- Para φ = 60 tem-se:
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição t de Student
• Uso da tabela de distribuição t de Student
- Trata-se de uma tabela bicaudal. Assim:
13/04/2015
11:10
ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição t de Student
• Uso da tabela de distribuição t de Student
- Procedimento de uso da tabela:
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição t de Student
• Exemplo: Considere uma distribuição t com parâmetro igual a
18. Encontre: (a) a média, a variância e o desvio padrão; (b) a
mediana; (c) o 1º quartil e (d) o 95º percentil.
a) A média, a variância e o desvio padrão:
Média :  ( t 18 )  0
Variância :  2 ( t 18 ) 
18
 1 ,13
18  2
Desvio padrão:  ( t 18 )  1 ,13  1 ,06
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição t de Student
• Exemplo:
b) A mediana – Md(t18) :
Md =
c) O 1º quatil – Q1:
d) O 95º percentil – P95:
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição F
• Trata-se de um modelo de distribuição contínua também útil para
inferências estatísticas.
• A distribuição F é a razão entre duas variáveis aleatórias
independentes com distribuições qui-quadrado. Assim, uma
distribuição F com p graus de liberdade no numerador e q graus
de liberdade no denominador é expressa por:
 p2
F ( p,q ) 
p
 q2
 p2 q
 2
q p
q
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição F
• A função F possui dois parâmetros: o grau de liberdade do
numerador e o grau de liberdade do denominador, que são
denominados, comumente, por φ1 e φ2 .
• A média, a variância e a moda dessa distribuição são dadas por:
Média :
Variância :
Moda :
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
2
2  2
 
2
2 22  1   2  2 
 1  2  4  2  2 
2
  1  2   2 



  1   2  2 
ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição F
• Formas de gráficos da distribuição F :
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição F
• Uso da tabela de distribuição F
- A tabela fornece as abscissas que deixam α na cauda à direita,
dados os parâmetros φ1 e φ2.
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
4.3 Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição F
• Uso da tabela de distribuição F
- Para se encontrar o valor da abscissa F1-α(u,v)
fórmula:
1
F1 ,u ,v 
F ,v ,u
utiliza-se a
- Exemplo: Admita uma
distribuição F com u = 9,
v = 5 e α = 5, determine as
abscissas.
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições
IV – Modelos de Distrubuições
FIM
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições