Transcript Distribuições de amostragens teorema do limite central e

ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
2. Distribuições Não Normais – Teorema do Limite Central
Independentemente do formato da distribuição da
população, à medida em que o tamanho da amostra fica grande
o suficiente (n ≥ 30), a distribuição de amostragens da média
aritmética passa a ser distribuída nos moldes da distribuição
normal.
As equações da distribuição de amostragens continuam
sendo as mesmas da distribuição normal.
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μ
μx
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Considerações importantes:

Se a distribuição da população for relativamente simétrica, a distribuição de amostragens da
média aritmética será aproximadamente normal, se forem selecionadas amostras de, pelo
menos, 15 observações (n ≥ 15).

Se a população for distribuída de forma normal, a distribuição de amostragens da média
será distribuída de forma normal, independentemente do tamanho da amostra (n é
qualquer).
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Exr.: O tempo de atendimento de um caixa de banco por cliente tem média
aritmética da população µ = 3,1 minutos e desvio-padrão σ = 0,4 minutos. Se for
selecionada uma amostra aleatória de 16 clientes:
a. qual é a probabilidade de que a média aritmética do tempo gasto por cliente seja
de, pelo menos, 3 minutos?
b. existe uma chance de 85% de que a média aritmética da amostra seja menor do
que quantos minutos?
c. Que premissas devem ser previamente adotadas para resolver os itens anteriores?
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3. Distribuição de amostragens da proporção
Seja uma variável categórica que possua somente duas categorias, tais
como o cliente prefere a sua marca ou o cliente prefere a marca de seu concorrente.
Há o interesse em saber a proporção de itens que pertence a uma das categorias,
por exemplo a proporção de clientes que preferem a sua marca.
A proporção da população, representada por π, corresponde à proporção
de itens em toda a população de itens na amostra com a característica de interesse.
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Proporção da População e Proporção da Amostra
A proporção da população π e a proporção da amostra p tratam variáveis
categóricas, isto é, variáveis que são agrupadas segundo algum critério.
Exemplos de variáveis categóricas:
 Proporção de pacientes com determinado tipo de doença.
 Parcela de eleitores que preferem certo candidato.
 Percentual de hóspedes que retornariam a certo hotel.
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A proporção da amostra p é dada por:
p
X
n

número
de itens da amostra
que tem a caracterís tica de interesse
tamanho
da amostra
Observações:
 0 ≤ p ≤ 1.
 p segue uma distribuição binomial.
 Se n.π  5 e n.(1–π)  5, pode-se utilizar a distribuição normal para aproximar a
distribuição binomial.
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Erro Padrão para a Proporção:
σp 
π(1  π)
n
Valor de Z para a Distribuição de Amostragem da Proporção:
Z
pπ
σp

pπ
π(1  π)
n
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Ex.:
Suponha que um gerente de um banco afirme que 40%
de todos os depositantes daquela agência possuem contas
múltiplas. Se for selecionada uma amostra aleatória composta
de 200 depositantes, qual é a probabilidade de que a
proporção da amostra de depositantes com contas múltiplas
fique entre 40% e 45%?
Em outras palavras, se π = 0,4 e n = 200,
P(0,40 ≤ p ≤ 0,45) = ?
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Solução:
1º passo:
σp 
π(1  π)
n

0,4(1  0,4)
 0,03464
200
2º passo:
0,45  0,40 
 0,40  0,40
P(0,40  p  0,45)  P 
Z

0,03464
 0,03464

 P(0  Z  1,44)
3º passo:
P(0,40 ≤ p ≤ 0,45) = 0,9251 – 0,5000
= 0,4251 = 42,51%
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1. A série de sucesso Friends, da NBC, foi o show mais popular da
TiVo durante a semana de 18 a 24 de abril de 2004, nos EUA. De
acordo com a classificação da Nielsen, 29,7% dos assinantes da TiVo,
gravaram ou assistiram Friends ao vivo. Suponha que seja
selecionada uma amostra aleatória de 50 assinantes da TiVo. Qual é a
probabilidade de que:
a. mais da metade das pessoas da amostra tenha assistido ou
gravado Friends?
b. menos de 25% das pessoas da amostra tenha assistido ou gravado
Friends?
c. Caso tivesse sido extraída uma amostra de 500 assinantes (ao
invés de 50), como isso afetaria os resultados obtidos em (a) e
(b)?
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2. De acordo com o National Restaurant Association, 23% dos restaurantes
americanos classificados como cinco estrelas instituíram políticas de restrição ao uso
de telefones celulares.
a. Se for selecionada uma amostra aleatória de 100 restaurantes cinco estrelas, qual
é a probabilidade de que essa amostra venha a ter entre 15% e 25% de
restaurantes que restringem a utilização de telefones celulares?
b. Nesse cenário, se fosse selecionada uma amostra aleatória superior a 100
restaurantes cinco estrelas, a probabilidade calculada no item (a) deveria
aumentar ou diminuir? Justifique sua resposta.
c. Comparando as situações dos itens (a) e (b), qual das duas é mais representativa
do comportamento da população? Justifique sua resposta.
d. A probabilidade é de 90% de que a percentagem da amostra venha a estar contida
dentro de quais limites simétricos em relação à percentagem da população?
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3. O artigo “Retirement Plan: To Keep Working” discutiu sobre os planos de
aposentadoria dos norte-americanos com idades entre 50 e 70 anos que estavam
empregados em regime integral ou parcial, afirmando que 29% dos entrevistados
não pretendem trabalhar por nenhum salário.
a. Se for selecionada uma amostra aleatória de 400 norte-americanos com idades
entre 50 e 70 anos empregados em regime integral ou parcial, qual é a
probabilidade de que a amostra venha a ter entre 25% e 30% de pessoas que não
pretendem trabalhar por nenhum salário?
b. Nesse cenário, se fosse selecionada uma amostra aleatória inferior a 400 norteamericanos com idades entre 50 e 70 anos empregados em regime integral ou
parcial, a probabilidade calculada no item (a) deveria aumentar ou diminuir?
Justifique sua resposta.
c. Comparando as situações dos itens (a) e (b), qual das duas é mais representativa
do comportamento da população? Justifique sua resposta
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4. Em seu livro sobre sistemas de informações gerenciais, o professor David Kroenke
levanta uma questão interessante: se 80% de nosso mercado tem acesso à internet,
será que temos a responsabilidade de disponibilizar material fora da internet para os
outros 20%? Suponha que 80% dos consumidores em seu mercado tenham acesso à
internet e que seja selecionada uma amostra de 500 consumidores.
a. Qual é a probabilidade de que a amostra venha a ter entre 65% e 90% de
consumidores com acesso à internet?
b. A probabilidade é de 90% de que a percentagem da amostra venha a estar contida
dentro de quais limites simétricos em relação à percentagem da população?