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Determinação de Vazões Extremas 1 PROF. BENEDITO C. SILVA Estimativas de vazões máximas Usos: Dimensionamento de estruturas de drenagem Dimensionamento de vertedores Dimensionamento de proteções contra cheias Análises de risco de inundação Dimensionamento de ensecadeiras Dimensionamento de pontes Morfologia fluvial Questões ambientais: relação rio-planície Tempos de retorno admitidos para algumas estruturas Estrutura TR (anos) Bueiros de estradas pouco movimentadas 5 a 10 Bueiros de estradas muito movimentadas 50 a 100 Pontes 50 a 100 Diques de proteção de cidades 50 a 200 Drenagem pluvial 2 a 10 Grandes barragens (vertedor) 10 mil Pequenas barragens 100 Vazões máximas a partir de séries de vazões medidas Deve ser obtida uma série histórica de vazões máximas diárias, considerando: i. Valores máximos diários de cada ano ii. Um valor para cada ano hidrológico iii. O ano hidrológico corresponde ao período de 12 meses, começando no início do período terminando ao final da estação seca. chuvoso e Para o Sudeste do Brasil, o ano hidrológico se inicia em outubro e termina em setembro do ano seguinte 4 Seleção dos máximos anuais Vazões diárias em Morpará (Rio São Francisco) 6000 5000 Máx. de 1996 Máx. de 1995/96 Máx. de 1995 3 Vazão (m /s) 4000 3000 2000 1000 Ano civil 0 31/12/94 31/12/95 5 Ano hidrológico 31/12/96 31/12/97 Função distribuição de probabilidade acumulada Probabilidade de não-excedência F x P X x Probabilidade da variável X ser menor ou igual ao valor x Probabilidade de excedência P X x 1 F x Probabilidade da variável X ser maior ou igual ao valor x 6 Função de distribuição empírica 7 • Ajuste gráfico dos pontos da amostra, utilizando equações de posição de locação ou plotagem para estimativa da probabilidade de excedência. Exemplo: m P (Q qm ) n 1 Onde m é ordem dos valores (decrescente) da amostra n é o tamanho da amostra. Exemplo de ajuste empírico 8 Ano 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 Vazão Máxima 145.5 183.8 289.5 131.3 227.3 167.3 104.3 263.3 157.5 240 170.3 210.8 184.5 Ordem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Vazão Máxima 289.5 263.3 240.0 227.3 210.8 184.5 183.8 170.3 167.3 157.5 145.5 131.3 104.3 Probabilidade empírica 0.0714 0.1429 0.2143 0.2857 0.3571 0.4286 0.5000 0.5714 0.6429 0.7143 0.7857 0.8571 0.9286 Tempo Retorno 14.0 7.0 4.7 3.5 2.8 2.3 2.0 1.8 1.6 1.4 1.3 1.2 1.1 1 1 TR 7.0 Para o segundo valor: P(Q q) 0.1429 m 2 PQ q 0.1429 n 1 13 1 Exemplo de ajuste empírico 300.0 3 Vazão máxima (m /s) 250.0 200.0 150.0 100.0 50.0 0.0 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 Tempo de retorno, TR (ano) 9 12.0 14.0 Distribuições teóricas de probabilidade Distribuições usuais em hidrologia • Normal (simétrica e utilizada para vazões médias ou precipitações médias) • Log-Normal (vazões máximas) • Gumbel (extremo tipo I) (vazões máximas) • Extremo Tipo III ou Weibull (vazões mínimas) • Log Pearson Tipo III (vazões máximas) adotada em alguns países como padrão . Utiliza três parâmetros 10 Distribuições teóricas de probabilidade 11 Distribuições teóricas de probabilidade 12 Distribuição de Gumbel (Extremos I) 13 A função densidade de probabilidade acumulada é PQ q e e y Ou, passando para probabilidade de excedência PQ q 1 e Onde, y e y q 0,78s x 0,5772 s - desvio padrão da série de valores máximos x - média da série de valores máximos Distribuição de Gumbel (Extremos I) PQ q 1 e e y 1 e y 1 e TR 1 e y e 1 TR Passando o logaritmo 2 vezes 1 y ln ln1 TR q 1 qTR ln ln1 TR 14 1 ln ln1 TR Cálculo da vazão máxima q, para o tempo de retorno TR Distribuição Log-Pearson Tipo III Função densidade de probabilidade: Fórmula alternativa: A vazão para um tempo de retorno TR é calculada por, logQTR logQ KSlogQ SlogQ = Desvio padrão dos logaritmos da vazões 15 Distribuição Log-Pearson Tipo III O parâmetro K é calculado por: 3 2 G G K k1 1 1 G 6 6 Com, 2,515517 0,802853t 0,010328t 2 k1 t 1 1,432788t 0,189269t 2 0,001308t 3 t 2 ln TR G é o coeficiente de assimetria 16 Exemplo de ajuste de função teórica Distribuição Normal 17 Ano 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 Vazão Máxima 145.5 183.8 289.5 131.3 227.3 167.3 104.3 263.3 157.5 240 170.3 210.8 184.5 Média 190.4 m3/s Desvio padrão 53.5 m3/s Tempo de retorno 100 90 80 70 60 50 40 30 20 14 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1.01 Probabilidade 0.010 0.011 0.013 0.014 0.017 0.020 0.025 0.033 0.050 0.071 0.100 0.111 0.125 0.143 0.167 0.200 0.250 0.333 0.500 0.990 Vazão (m3/s) Distrib. Normal 314.9 312.8 310.4 307.6 304.3 300.3 295.3 288.6 278.5 268.8 259.0 255.7 252.0 247.5 242.2 235.4 226.5 213.4 190.4 65.6 Exemplo de ajuste de função teórica Distribuição Normal 350.0 250.0 3 Vazão máxima (m /s) 300.0 200.0 Empírica Normal 150.0 100.0 50.0 0.0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 Tempo de retorno, TR (ano) 18 25.0 30.0 Exemplo de ajuste de função teórica Distribuição Gumbel Ano 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 Média Desvio padrão Vazão Máxima 145.5 183.8 289.5 131.3 227.3 167.3 104.3 263.3 157.5 240 170.3 210.8 184.5 Tempo de retorno 100 90 80 70 60 50 40 30 20 14 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1.01 Probabilidade 0.010 0.011 0.013 0.014 0.017 0.020 0.025 0.033 0.050 0.071 0.100 0.111 0.125 0.143 0.167 0.200 0.250 0.333 0.500 0.990 Vazão (m3/s) Distrib. Gumbel 358.39 353.97 349.02 343.41 336.92 329.23 319.81 307.62 290.32 274.95 q 260.26 255.61 250.36 244.37 237.36 228.92 218.31 203.98 181.59 102.41 190.4 m3/s 53.5 m3/s Alfa Mi 41.76223 19 166.2795 TR ln ln1 1 TR Exemplo de ajuste de função teórica Distribuição Gumbel 350.0 250.0 3 Vazão máxima (m /s) 300.0 200.0 Empírica Normal Gumbel 150.0 100.0 50.0 0.0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 Tempo20 de retorno, TR (ano) 25.0 30.0 Exemplo rio Guaporé Comparação de resultados TR Normal Log Normal Log Pearson 3 Gumbel 2 754 678 685 696 5 1050 1010 1013 1007 10 1204 1245 1236 1212 25 1369 1554 1522 1472 50 1475 1794 1737 1665 100 1571 2041 1953 1856 Considerações finais Vazões máximas não seguem distribuição normal. Distribuição assimétrica. Estimativa de vazões máximas com Log Normal Gumbel Log Pearson 3 Considerações finais Não há uma distribuição perfeita Log Pearson 3 é recomendada oficialmente nos EUA, mas não é adequada quando N é pequeno Gumbel tem a vantagem de ser de simples aplicação Incerteza da curva – chave. Vazão máxima para locais sem dados observados: método racional Qp=0,278 C I A Qp: vazão máxima (m3/s) C: coeficiente de run-off I: intensidade em mm/h A: área em km2 Área < 2 km2 25 26 Sequência de cálculo 27 • Delimitar a bacia hidrográfica; • Divisão de áreas quanto a cobertura da bacia (C1, C2, C3, etc.); • Cálculo do C (média ponderada) • Determinação do comprimento do curso principal L e a sua declividade S (ou H, que é o desnível entre o ponto mais afastado da bacia e o exutório); Sequência de cálculo 28 Exemplo 29 30 (C = 0,10) (C = 0,85) (C = 0,25) (C = 0,20) 31 Solução 𝑪= 𝟏, 𝟎𝒙𝟎, 𝟏 + 𝟎, 𝟖𝒙𝟎, 𝟖𝟓 + 𝟎, 𝟗𝒙𝟎, 𝟐𝟓 + 𝟐, 𝟏𝒙𝟎, 𝟐𝟎 = 𝟎, 𝟑𝟎 𝟒, 𝟖 32 Solução 0,30 9,88 m3/s 33