Transcript 1.3.3 已知三角函数值求角

1.3.3 已知三角函数值求角
我们知道，任意给定一个角，只要这个角
的三角函数值存在，就可以求出这个三角函
数值；反过来，已知一个三角函数值，也可
以求出与它对应的角。
1.已知正弦值，求角
1
例1、已知 sinx=
2
 
，
（1）若 x  [ , ] ，求x；
2 2
（2）若 x  [0 , 2 ) ，求x；
（3）若 x∈R，求x的取值集合。
(1) 若 x  [ 
 
, ] ，求x；
2 2
1
解：因为 sin x  ，所以x是第一或第二象
2

限的角，由正弦函数的图象知道sin = 1
6
2
 
5
1
或sin
=
. 得在 x  [ , ] 时，x= 
2 2
6
6
2
(2) 若 x  [0 , 2 ) ，求x；

解得x1=
6
5
，x2=
.
6
（3）若 x∈R，求x的取值集合。
比较（1），（2）得x的取值集合是

5
{ x | x  2 k  , k  Z } { x | x  2 k  
, k  Z}
6
6
由例1可知，在函数y=sinx的非单调区间上，
对于一个已知的正弦值，有多个角和它对应，
1
如在[0，2π]上，有两个角的正弦值都是
，
1 2
而在R上，有无穷多个角的正弦值都是
.
2
但在一个y=sinx的单调区间上，只有一个角
 
和已知的正弦值对应，比如在区间 x  [ , ]
上，只有

1
的正弦值等于
6
2
2 2
一般地，对于正弦函数y=sinx，如果已知
 
]
函数值y (y∈[－1, 1])，那么在 x  [ , 上有
2 2
唯一的x值和它对应，记为x=arcsiny (其中－
1≤y≤1， 


x)
2
2
即arcsiny (|y|≤1)表示 [ 
的那个角
 
, 上正弦等于y
]
2 2
 
在区间 x  [ , ] 上，
2 2
如果sinx=
2
2
,则x=arcsin
3
如果sinx=
2
2
2

=
4
3
,则x=arcsin( 
2
)=－

3
如果sinx= 0 ,则x=arcsin 0 =0
如果sinx=0.3485, 则 x=arcsin0.3485.
一般地，对于sinx=m (0<m<1)，则
x=2kπ+arcsinm，或x=2kπ+π－arcsinm.
如sinx=0.3，
则x=2kπ+arcsin0.3，或x=2kπ+π－arcsin0.3.
一般地，对于sinx=m (－1<m<0)，则
x=2kπ－arcsin(－m)，或x=2kπ+π+arcsin(－m).
如sinx=－0.3，
则x=2kπ－arcsin0.3，或x=2kπ+π+arcsin0.3.
例2.（1）已知cosx=0.5，x∈[0, 2π)，求x；
（2）已知cosx=－
1
3
，求x的取值集合；
解：（1）由于cosx=0.5，所以x是第一或第四
象限的角.
因为cos
角x=

3
.

3
=0.5，所以符合条件在第一象限的
由诱导公式知cos(2π－x)=cosx，
5

所以cos( )=cos 3 =0.5，
3
5
即在第四象限，符合条件的角x= .
3
1
（2）已知cosx=－ ，x不是特殊角，于是可
3
以用反余弦来表示。
考察余弦函数知，函数y=cosx在区间[0，2π)
上，对于y∈(－1，1)的任何一个值，有两个角
与之对应.
如果我们限定x在区间[0，π]上取值，那么
对于区间[－1，1]的任意一个y的值，x只有唯
一值与之对应.
在区间[0，π]上符合条件cosx=y (－1≤y ≤1)
的角x，记为x=arccosy，
1
于是cosx=－ 3
x=arccos(－
1
3
，
1
)=π－arccos 3
x在第二象限
若x在第三象限，则x=π+arccos
1
3
1
综上得满足cosx=－ 3 的角的集合是
1
{x | x  2k    arccos , k  Z }
3
1
{x | x  2k    arccos , k  Z }
3
反余弦举例：
若cosx=0.2，x在第一象限，
则x=arccos(0.2).
若cosx=0.2，x在第四象限，
则x=－arccos(0.2)或x=2π－arccos(0.2)
解集为{x| x=2kπ+arccos0.2, k∈Z} ∪
{x|x=2kπ－arccos0.2, k∈Z}
若cosx=－0.7，x在第二象限，
则x=arccos(－0.7)=π－arccos0.7.
若cosx=－0.7，x在第三象限，
则x=π+arccos(0.7)
解集为{x| x=2kπ+π－arccos0.7, k∈Z} ∪
{x|x=2kπ+π+arccos0.7, k∈Z}
3
 
例3. 已知tanx=  ，且x∈ (  , ),求x的值.
3
2 2
 
解：因为正切函数在 (  , ) 上是增函数，
2 2
所以正切值等于
3 的角x有且只有1个.

3

3
由tan(  )=－tan =－
,
3
6
6


所以x=－ 6
一般地，对于tanx=a (a>0)，则
x=kπ+arctana，k∈Z.
如tanx=2，则x=kπ+arctan2. k∈Z.
对于tanx=－a (a<0)，则
x=kπ－arctan(－a)，k∈Z.
如tanx=－2，则x=kπ－arctan2. k∈Z.