Transcript (- , 2) A - École Secondaire du Mont-Sainte-Anne

Mathématiques SN
MODULE 8
Les fonctions
SINUSOÏDALES
Réalisé par : Sébastien Lachance
En collaboration avec : Jean-Pierre Rousseau
Mathématiques SN
- Les fonctions SINUSOÏDALES Équations et graphiques
Fonction
SINUS
f(x) = sin x
Fonction
COSINUS
f(x) = cos x
(forme générale de BASE)
f(x) = a sin [ b ( x – h ) ] + k
(forme générale TRANSFORMÉE)
(forme générale de BASE)
f(x) = a cos [ b ( x – h ) ] + k
(forme générale TRANSFORMÉE)
Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture (dilatation ou contraction),
l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet.
Exemple :
f(x) = - 2 sin [ 3 ( x – 1 ) ] + 4
a
b
h
k
a
b
h
k
=
=
=
=
-2
3
1
4
Fonction SINUS
f(x) = sin x
L’angle « x » n’est pas en DEGRÉ, il
est en RADIAN !
(forme générale de BASE)
Attention avec votre calculatrice* !
x
f(x)
0
0

2

3
2
*Appuyer sur « MODE » et « RADIAN »
2
1
1
0
-1
-7
2
2
5
2
3
7
2
-3 -5
2
-2
-3
2
-
-

2
2
0
-1
1
-2
0
-1

3
2
2
5
2
3
7
2
Fonction SINUS
f(x) = sin x
L’angle « x » n’est pas en DEGRÉ, il
est en RADIAN !
(forme générale de BASE)
Attention avec votre calculatrice* !
x
-
2
*Appuyer sur « MODE » et « RADIAN »
f(x)
-1
2
-
- 3
2
- 2
- 5
2
- 3
- 7
2
0
1
1
0
-7
2
-3 -5
2
-2
-3
2
-
-

2
2
-1
-1
0
-2
1

3
2
2
5
2
3
7
2
Fonction COSINUS
f(x) = cos x
(forme générale de BASE)
x
f(x)
0
1

2

3
2
2
0
1
-1
0
-7
2
2
-
2
-
-3
2
-3 -5
2
-2
-3
2
-
-

2
2
1
-1
0
-2
-1
0

3
2
2
5
2
3
7
2
f(x) = sin x
f(x) = cos x
2
1
-7
2
-3 -5
-2
-3
-
2
2
-

2
2

3
2
2
5
3
2
7
2
-1
-2
f(x) = cos x
2
1
-7
2
-3 -5
2
-2
-3
2
-
-

2
2
-1
-2

3
2
2
5
2
3
7
2
f(x) = sin x
f(x) = cos x
2
–/2
1
-7
2
-3 -5
2
-2
-3
2
-
-

2
2

3
2
2
5
2
3
7
2
-1
-2
 La fonction COSINUS est une fonction SINUS qui a subie une translation
horizontale de  / 2 vers la gauche.
 Cette translation est appelée DÉPHASAGE.
 Comme c’est le paramètre « h » qui représente la translation horizontale de
la courbe, on peut donc écrire que :
cos x = sin ( x +  / 2 )
OU
sin x = cos ( x –  / 2 )
(car h = -  / 2)
(car h =  / 2)
 La fonction COSINUS est donc une fonction SINUSOÏDALE.
f(x) = sin x
2
Période
1
A
-7
2
-3 -5
-2
2
-3
-
2
-

2
2
Cycle

3
2
2
5
2
-1
-2
 Les fonctions SINUSOÏDALES sont des fonctions CYCLIQUES.
 CYCLE : Plus petite portion de la courbe qui se répète.
 PÉRIODE : Longueur d’un CYCLE.
P =
2
|b|
 AMPLITUDE : Variation de la hauteur de la fonction.
A =
Max – Min
2
A = |a|
3
7
2
Exemple :
f(x) = 2 sin ( 2 x )
3
Période
2
1
-7
-3 -5
2
2
-2
-3
-
2
A
-

2
2
Cycle

3
2
2
5
3
2
7
2
-1
-2
 PÉRIODE = 3
P =
2
P =
|b|
 AMPLITUDE = 2
A =
Max – Min
2
2
2
= 2 x 3 = 3
2
3
A =
2 – -2
2
= 2
A = |a|
A = |2|
A = 2
Représentation graphique
Méthode du RECTANGLE :
On forme un rectangle qui contient un cycle de la fonction.
COSINUS
SINUS
(h, k + a)
A
A
(h, k)
(h, k)
A
A
Période
Période
ATTENTION ! Le signe des paramètres a et b influencent l’orientation du graphique !
Donc si a est négatif ou b est négatif, on obtient :
COSINUS
SINUS
A
A
(h, k)
(h, k)
A
A
Période
(h, k – a)
Période
Exemple #1 : Tracer f(x) = 2 sin 2 ( x +  ) + 2
(h, k) = (- , 2)
A = |a| = |2| = 2
P =
2
2
=
|b|
= 
|2|
P
4
3
A
2
1
-7
2
-3
-5
2
-2
-3
2
-
-

2
2

3
2
2
5
2
3
7
2
Exemple #2 : Tracer f(x) = - 2 sin ( x – /2 ) + 1
(h, k) = (/2 , 1)
A = |a| = |-2| = 2
P =
2
2
=
|b|
= 2
|1|
4
P
3
2
A
1
-7
2
-3
-5
2
-2
-3
2
-
-

2
2

3
2
2
5
2
3
7
2
Exemple #3 : Déterminer l’équation de la fonction sinusoïdale ci-dessous
sous la forme :
A) f(x) = a sin b( x – h ) + k
B) f(x) = a cos b( x – h ) + k
(h, k) = (-  , 3)
5 = a
A = |a|
2
P =
|b|
2
3 =
|b| =
|b|
2
2
=
3
3
Réponse :
f(x) = 5 sin 2 ( x +  ) + 3
3
8
P
6
A
4
2
-7
2
-3
-5
2
-2
-3
2
-
-

2
2

3
2
2
5
2
3
7
2
Exemple #3 : Déterminer l’équation de la fonction sinusoïdale ci-dessous
sous la forme :
A) f(x) = a sin b( x – h ) + k
B) f(x) = a cos b( x – h ) + k
(h, k) = (-  , 3)
(h, k) = (- /4 , 3)
5 = a
A = |a|
2
P =
|b|
2
3 =
|b| =
|b|
2
3 =
2
=
|b| =
3
3
Réponse : f(x) = 5 sin
5 = a
A = |a|
2
P =
|b|
2 (x+)+3
3
3
P
6
2
2
-3
-5
2
-2
-3
2
-
=
2
3
Réponse : f(x) = 5 cos 2 ( x +  ) + 3
4
-7
|b|
2
3
8
A
2
-

2
2

3
2
2
5
2
3
7
2
4
Mathématiques SN
- Les fonctions SINUSOÏDALES y
Cercle trigonométrique
3
DÉFINITION :
2
Le cercle trigonométrique est
un cercle centré à l’origine du
plan cartésien et ayant un
rayon égal à 1.
1
-3
-2
1
-1
-1
-2
-3
2
3
x
Coordonnées d’ANGLES remarquables
On sait que :
cos  =
côté adjacent
y
hypoténuse
1
cos  =
P() = ( cos
x  , sin
y  )
x
1
cos  = x
sin  =
1
sin  =

côté opposé
hypoténuse
y
x
-1
y
1
sin  = y
-1
1
x
Coordonnées d’ANGLES remarquables
Exemple :
A) Angle de 50o
y
x = cos 
x = cos 50o
1
P(50o) = ( cos 50o , sin 50o )
x ≈ 0,64
y = sin 
1
y
y = sin 50o
y ≈ 0,77
500
x
P(50o) = ( 0,64 , 0,77 ) -1
-1
1
x
Coordonnées d’ANGLES remarquables
Exemple :
B) Angle de 73o
y
x = cos 
x = cos 73o
1
P(73o) = ( cos 73o , sin 73o )
x ≈ 0,29
y = sin 
y = sin
1
y
73o
y ≈ 0,96
730
x
P(73o) = ( 0,29 , 0,96 ) -1
-1
1
x
Coordonnées d’ANGLES remarquables
 Angle de 30o
1
1
2
300
x
3
Dans un triangle
rectangle, la
mesure du côté
opposé à l’angle
de 30o est la
moitié de celle de
l’hypoténuse !
y
1
2
Par Pythagore :
x2 +
1
2
= 12
2
x2 + 1 = 1
4
x2 = 1 – 1
1
-1
4
x2 = 3
4
3
x =
4
x =
3
2
-1
x
Coordonnées d’ANGLES remarquables
 Angle de 30o
1
1
2
300
3
Dans un triangle
rectangle, la
mesure du côté
opposé à l’angle
de 30o est la
moitié de celle de
l’hypoténuse !
y
1
2
Par Pythagore :
x2 +
1
2
P(30o) = (
= 12
2
x2 + 1 = 1
4
x2 = 1 – 1
1
-1
4
x2 = 3
4
3
x =
4
x =
3
2
-1
x
3 , 1 )
2
2
Coordonnées d’ANGLES remarquables
 Angle de 45o
1
y
x2
2
1
450
x
2
2
Par Pythagore :
x2 + x2 = 12
2x2 = 1
x2 = 1
2
x =
1
-1
1
2
x = 1
2
Il faut
rationnaliser !
-1
x =
2
2
x
Coordonnées d’ANGLES remarquables
 Angle de 45o
1
y
2
2
1
450
2
P(45o) = (
2
Par Pythagore :
x2 + x2 = 12
2x2 = 1
x2 = 1
2
x =
1
-1
1
2
x = 1
2
Il faut
rationnaliser !
-1
x =
2
2
x
2 ,
2 )
2
2
Coordonnées d’ANGLES remarquables
 Angle de 60o
1
y
300
x3
2
Dans un triangle
rectangle, la
mesure du côté
opposé à l’angle
de 30o est la
moitié de celle de
l’hypoténuse !
600
1
2
Par Pythagore :
x2 +
1
2
1
= 12
2
x2
1
-1
+ 1 = 1
4
x2 = 1 – 1
4
x2 = 3
4
x =
-1
3
4
x =
3
2
x
Coordonnées d’ANGLES remarquables
 Angle de 60o
1
y
300
3
1
2
1
2
Par Pythagore :
x2 +
1
2
P(60o) = ( 1 ,
Dans un triangle
rectangle, la
mesure du côté
opposé à l’angle
de 30o est la
moitié de celle de
l’hypoténuse !
600
x2
2
2
= 12
2
1
-1
+ 1 = 1
4
x2 = 1 – 1
4
x2 = 3
4
x =
-1
3
4
x =
3
2
3 )
x
Coordonnées d’ANGLES remarquables
y
1
P(120o) = ( - 1 ,
2
P(135o)
P(150o)
3 )
2
P(90o) = ( 0 , 1 )
P(60o) = ( 1 ,
2
=(
P(45o)
=(- 2 , 2 )
2
2
P(30o)
= (- 3 , 1 )
2
2
2
=(
2 )
2
3 , 1 )
2
2
P(0o) = ( 1 , 0 )
P(180o) = ( - 1 , 0 )
1
-1
x 360o ) = ( 1 , 0 )
P(
P(330o) = (
P(210o) = ( - 3 , - 1 )
2
2
P(225o) = ( - 2 , - 2 )
2
2
o
P(240 ) = ( - 1 , - 3 )
2
2
3 )
2
2 ,
-1
3 , -1 )
2
2
o
P(315 ) = ( 2 , - 2 )
2
2
o
P(300 ) = ( 1 , - 3 )
2
2
P(270o) = ( 0 , - 1 )
Mathématiques SN
- Les fonctions SINUSOÏDALES y
1
Radians
DÉFINITION :
1
Le radian est une autre façon de
mesurer un angle.
Il correspond à la mesure de
l’angle au centre dont les côtés
interceptent un arc dont la
longueur est égale au rayon.
1
1 radian
1
-1
-1
x
Le cercle trigonométrique ayant un
rayon égal à 1, calculons sa
circonférence.
y
1
C = 2 r
C = 2 x 1
1
1 radian
C = 2
1
1 radian
On retrouve donc 2 radians
dans un cercle trigonométrique.
Soit ≈ 2 x 3,1416 ≈ 6,2832 radians.
(1 radian ≈ 57,30)
1 radian
≈ 0,2832 radian
1 radian
1
1 radian
1 radian
1
1
x
Conversions DEGRÉS <---> RAD
360o
y
= 2 rad
1
OU
1
180o =  rad
1 radian
1
1 radian
1 radian
On peut donc effectuer la proportion
suivante :
≈ 0,2832 radian
1 radian
Degrés
=
360o
Radians
1
1 radian
2
1 radian
OU
1
Degrés
=
180o
Radians

1
x
Conversions DEGRÉS <---> RAD
Exemples : A) Angle de 90o
900
3600
=
x
2 x 900
2
3600
= x
x =  rad
2
= x
x = 
6
rad
= x
x = 
4
rad
= x
x = 
3
rad
B) Angle de 30o
300
3600
=
x
2 x 300
2
3600
C) Angle de 45o
450
3600
=
x
2 x 450
2
3600
D) Angle de 60o
600
3600
=
x
2 x 600
2
3600
Conversions DEGRÉS <---> RAD
Angles IMPORTANTS :
DEGRÉS
0o
30o
45o
60o
90o
180o
270o
360o
RADIANS
0

6

4

3

2

3
2
2
Conversions DEGRÉS <---> RAD
Cercle trigonométrique
y
1
P(120o) = ( - 1 ,
2
P(135o)
3 )
2
P(90o) = ( 0 , 1 )
P(60o) = ( 1 ,
2
=(
P(45o)
=(- 2 , 2 )
2
2
2
P(30o) = (
P(150o) = ( - 3 , 1 )
2
2
2 )
2
3 , 1 )
2
2
P(0o) = ( 1 , 0 )
P(180o) = ( - 1 , 0 )
1
-1
P(
x 360o ) = ( 1 , 0 )
P(330o) = (
P(210o) = ( - 3 , - 1 )
2
2
P(225o) = ( - 2 , - 2 )
2
2
P(240o) = ( - 1 , - 3 )
2
2
3 )
2
2 ,
-1
3 , -1 )
2
2
P(315o) = ( 2 , - 2 )
2
2
o
P(300 ) = ( 1 , - 3 )
2
2
P(270o) = ( 0 , - 1 )
Conversions DEGRÉS <---> RAD
Cercle trigonométrique
y
P(  ) = ( 0 , 1 )
P( 2 ) = ( - 1 ,
3
2
1
3 )
2
2
P(  ) = ( 1 ,
3
P( 3 ) = ( - 2 , 2 )
2
2
4
P( 5 ) = ( - 3 , 1 )
2
2
6
2
P(  ) = (
3 )
2
2 ,
2 )
2
2
4
P(  ) = ( 3 , 1
2
6
2
P(  ) = ( - 1 , 0 )
)
P( 0 ) = ( 1 , 0 )
1 P(x2 ) = ( 1 , 0 )
-1
P( 11 ) = (
P( 7 ) = ( - 3 , - 1 )
2
2
6
P( 5 ) = ( - 2 , - 2 )
2
2
4
P( 4 ) = ( - 1 , - 3 )
2
2
3
-1
3 , -1 )
2
2
6
P( 7 ) = ( 2 , - 2 )
2
2
4
P( 5 ) = ( 1 , - 3 )
2
2
3
P( 3 ) = ( 0 , - 1 )
2
Mathématiques SN
- Les fonctions SINUSOÏDALES Résolutions d’équations
Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = 2 sin x – 3
0 = 2 sin x – 3
3 = 2 sin x
3 = sin x
2
sin-1 ( 3 ) = x
2
Quel est l’angle
dont la valeur en
« y » est
3 ?
2
y
P(  ) = ( 0 , 1 )
P( 2 ) = ( - 1 ,
3
2
P( 3 ) = ( - 2 ,
2
4
1
3 )
2
2
P(  ) = ( 1 ,
3
2
P(  ) = (
3 )
2
2 ,
2 )
2
2
4
P(  ) = ( 3 , 1
2
6
2
2 )
2
P( 5 ) = ( - 3 , 1 )
2
2
6
P(  ) = ( - 1 , 0 )
)
P( 0 ) = ( 1 , 0 )
1 P(x2 ) = ( 1 , 0 )
-1
P( 11 ) = (
P( 7 ) = ( - 3 , - 1 )
2
2
6
P( 5 ) = ( - 2 , - 2 )
2
2
4
P( 4 ) = ( - 1 , - 3 )
2
2
3
-1
3 , -1 )
2
2
6
P( 7 ) = ( 2 , - 2 )
2
2
4
P( 5 ) = ( 1 , - 3 )
2
2
3
P( 3 ) = ( 0 , - 1 )
2
Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = 2 sin x – 3
0 = 2 sin x – 3
Période
3 = 2 sin x
P =
2
Quel est l’angle
dont la valeur en
« y » est
3 ?
sin-1 ( 3 ) = x
2
3
et
x2 =
2
= 2
|1|
Réponse :
x    + 2n , 2 + 2n  où n  
2

P =
|b|
3 = sin x
x1 =
2
3
2
3
Comme x1 et x2 sont les zéros à l’intérieur de 1 cycle seulement, il faut
aussi nommer tous les autres !
–1P –1P –1P –1P +1P +1P +1P +1P

2
3
3
3
Exemple #2 : Trouver les zéros de g(x) = - sin 3x + 0,5
0 = - sin 3x + 0,5
-1
= - sin 3x
2
1
= sin 3x
2
sin-1 ( 1 ) = 3x
2
Quel est l’angle
dont la valeur en
« y » est 1 ?
2
y
P(  ) = ( 0 , 1 )
P( 2 ) = ( - 1 ,
3
2
P( 3 ) = ( - 2 ,
2
4
1
3 )
2
2
P(  ) = ( 1 ,
3
2
P(  ) = (
3 )
2
2 ,
2 )
2
2
4
P(  ) = ( 3 , 1
2
6
2
2 )
2
P( 5 ) = ( - 3 , 1 )
2
2
6
P(  ) = ( - 1 , 0 )
)
P( 0 ) = ( 1 , 0 )
1 P(x2 ) = ( 1 , 0 )
-1
P( 11 ) = (
P( 7 ) = ( - 3 , - 1 )
2
2
6
P( 5 ) = ( - 2 , - 2 )
2
2
4
P( 4 ) = ( - 1 , - 3 )
2
2
3
-1
3 , -1 )
2
2
6
P( 7 ) = ( 2 , - 2 )
2
2
4
P( 5 ) = ( 1 , - 3 )
2
2
3
P( 3 ) = ( 0 , - 1 )
2
Exemple #2 : Trouver les zéros de g(x) = - sin 3x + 0,5
0 = - sin 3x + 0,5
-1
= - sin 3x
2
1
= sin 3x
2
Quel est l’angle
dont la valeur en
« y » est 1 ?
sin-1 ( 1 ) = 3x
2
2
3x = 
et
3x = 5
6
x1 =

x2 =
6
Période
5
P =
|b|
18
18
2
Réponse :
x    + 2 n ,
18
3
5 + 2 n  où n  
18
3
P =
2
|3|
=
2
3
Exemple #3 : Trouver les zéros de f(x) = 2 cos (x + ) – 1
0 = 2 cos (x + ) – 1
1
= cos (x + )
2
cos-1 ( 1 ) = (x + )
2
Quel est l’angle
dont la valeur en
« x » est 1 ?
2
y
P(  ) = ( 0 , 1 )
P( 2 ) = ( - 1 ,
3
2
P( 3 ) = ( - 2 ,
2
4
1
3 )
2
2
P(  ) = ( 1 ,
3
2
P(  ) = (
3 )
2
2 ,
2 )
2
2
4
P(  ) = ( 3 , 1
2
6
2
2 )
2
P( 5 ) = ( - 3 , 1 )
2
2
6
P(  ) = ( - 1 , 0 )
)
P( 0 ) = ( 1 , 0 )
1 P(x2 ) = ( 1 , 0 )
-1
P( 11 ) = (
P( 7 ) = ( - 3 , - 1 )
2
2
6
P( 5 ) = ( - 2 , - 2 )
2
2
4
P( 4 ) = ( - 1 , - 3 )
2
2
3
-1
3 , -1 )
2
2
6
P( 7 ) = ( 2 , - 2 )
2
2
4
P( 5 ) = ( 1 , - 3 )
2
2
3
P( 3 ) = ( 0 , - 1 )
2
Exemple #3 : Trouver les zéros de f(x) = 2 cos (x + ) – 1
0 = 2 cos (x + ) – 1
= cos (x + ) – 1
1
2
cos-1 ( 1 ) = (x + )
Quel est l’angle
dont la valeur en
« x » est 1 ?
2
2
x+ = 
et
x +  = 5
3
x1 = -2
3
3
x2 = 2
Période
3
P =
2
P =
|b|
2
= 2
|1|
Réponse :
x   -2 + 2n , 2
3
3
+ 2n  où n  
Exemple #4 : Trouver les zéros de h(x) = sin (x + 1) + 0,5
0 = sin (x + 1) + 0,5
-1
= sin (x + 1)
2
sin-1 ( -1 ) = (x + 1)
2
Quel est l’angle
dont la valeur en
« y » est -1 ?
2
y
P(  ) = ( 0 , 1 )
P( 2 ) = ( - 1 ,
3
2
P( 3 ) = ( - 2 ,
2
4
1
3 )
2
2
P(  ) = ( 1 ,
3
2
P(  ) = (
3 )
2
2 ,
2 )
2
2
4
P(  ) = ( 3 , 1
2
6
2
2 )
2
P( 5 ) = ( - 3 , 1 )
2
2
6
P(  ) = ( - 1 , 0 )
)
P( 0 ) = ( 1 , 0 )
1 P(x2 ) = ( 1 , 0 )
-1
P( 11 ) = (
P( 7 ) = ( - 3 , - 1 )
2
2
6
P( 5 ) = ( - 2 , - 2 )
2
2
4
P( 4 ) = ( - 1 , - 3 )
2
2
3
-1
3 , -1 )
2
2
6
P( 7 ) = ( 2 , - 2 )
2
2
4
P( 5 ) = ( 1 , - 3 )
2
2
3
P( 3 ) = ( 0 , - 1 )
2
Exemple #4 : Trouver les zéros de h(x) = sin (x + 1) + 0,5
0 = sin (x + 1) + 0,5
-1
= sin (x + 1)
2
sin-1 ( -1 ) = (x + 1)
Quel est l’angle
dont la valeur en
« y » est -1 ?
2
2
(x + 1) = 7
et
(x + 1) = 11
6
6
x + 1 = 7
x + 1 = 11
6
6
x+1 = 7
x+1 =
11
6
6
x1 = 1
x2 = 5
6
6
Période
P =
2
P =
|b|
2
||
= 2
Réponse :
x   1 + 2n , 5 + 2n  où n  
6
6
Exemple #5 : Trouver les zéros de f(x) = 2 cos x + 2
0 = 2 cos x + 2
- 2 = cos x
2
cos-1 ( - 2 ) = x
2
Quel est l’angle
dont la valeur en
« x » est - 2 ?
2
y
P(  ) = ( 0 , 1 )
P( 2 ) = ( - 1 ,
3
2
P( 3 ) = ( - 2 ,
2
4
1
3 )
2
2
P(  ) = ( 1 ,
3
2
P(  ) = (
3 )
2
2 ,
2 )
2
2
4
P(  ) = ( 3 , 1
2
6
2
2 )
2
P( 5 ) = ( - 3 , 1 )
2
2
6
P(  ) = ( - 1 , 0 )
)
P( 0 ) = ( 1 , 0 )
1 P(x2 ) = ( 1 , 0 )
-1
P( 11 ) = (
P( 7 ) = ( - 3 , - 1 )
2
2
6
P( 5 ) = ( - 2 , - 2 )
2
2
4
P( 4 ) = ( - 1 , - 3 )
2
2
3
-1
3 , -1 )
2
2
6
P( 7 ) = ( 2 , - 2 )
2
2
4
P( 5 ) = ( 1 , - 3 )
2
2
3
P( 3 ) = ( 0 , - 1 )
2
Exemple #5 : Trouver les zéros de f(x) = 2 cos x + 2
0 = 2 cos x + 2
- 2 = cos x
2
Quel est l’angle
dont la valeur en
« x » est - 2 ?
cos-1 ( - 2 ) = x
2
2
x = 3
et
x = 5
4
x =
3
4
x1 = 3
4
4
x =
5
4
x2 = 5
4
Période
P =
2
P =
|b|
2
||
= 2
Réponse :
x   3 + 2n , 5 + 2n  où n  
4
4
Exemple #6 : Trouver les zéros de j(x) = -45 sin (x – 0,25) + 15
0 = -45 sin (x – 0,25) + 15
1 = sin (x – 0,25)
3
sin-1 (
1 ) = (x – 0,25)
3
Quel est l’angle
dont la valeur en
« y » est 1 ?
3
Il ne fait pas partie des
16 coordonnées
remarquables !
y
1
P( 2 ) = (
, 1 )
1
3
3
P( 1 ) = (
2
1
1
3
1
-1
-1
, 1 )
x
Exemple #6 : Trouver les zéros de j(x) = -45 sin (x – 0,25) + 15
0 = -45 sin (x – 0,25) + 15
1 = sin (x – 0,25)
3
sin-1 (
1 ) = (x – 0,25)
3
0,34 = (x – 0,25)
Quel est l’angle
dont la valeur en
« y » est 1 ?
3
et
 – 0,34 = (x – 0,25)
Il ne fait pas partie des
16 coordonnées
remarquables !
y
1
P( 2 ) = (
1
, 1 )
3
 -1
3
- 0,34
P( 1 ) = (
2
1
3
0,34
1
-1
, 1 )
x
Exemple #6 : Trouver les zéros de j(x) = -45 sin (x – 0,25) + 15
0 = -45 sin (x – 0,25) + 15
1 = sin (x – 0,25)
3
sin-1 (
Quel est l’angle
dont la valeur en
« y » est 1 ?
1 ) = (x – 0,25)
3
3
0,34 = (x – 0,25)
et
 – 0,34 = (x – 0,25)
2,8 = (x – 0,25)
0,3582 = x1
1,1413 = x2
Période
P =
2
|b|
P =
2
||
= 2
Réponse :
x   0,3582 + 2n , 1,1413 + 2n  où n  
Il ne fait pas partie des
16 coordonnées
remarquables !
Exemple #7 : Résoudre 7 = 5 cos (0,5x – 2) + 5
7 = 5 cos (0,5x – 2) + 5
2 = 5 cos (0,5x – 2)
0,4 = cos (0,5x – 2)
cos-1 (
0,4 ) = 0,5x – 2
Quel est l’angle
dont la valeur en
« x » est 0,4 ?
Il ne fait pas partie des
16 coordonnées
remarquables !
y
1
P( 1 ) = ( 0,4 ,
)
1
2
1
0,4
-1
-1
1
P( 2 ) = ( 0,4 ,
x
)
Exemple #7 : Résoudre 7 = 5 cos (0,5x – 2) + 5
7 = 5 cos (0,5x – 2) + 5
2 = 5 cos (0,5x – 2)
0,4 = cos (0,5x – 2)
cos-1 (
Quel est l’angle
dont la valeur en
« x » est 0,4 ?
0,4 ) = 0,5x – 2
1,16 = 0,5x – 2
et
2 – 1,16 = 0,5x – 2
Il ne fait pas partie des
16 coordonnées
remarquables !
y
1
P( 1 ) = ( 0,4 ,
)
1,16
2
1
0,4
-1
1
x
2
- 1,16
-1
P( 2 ) = ( 0,4 ,
)
Exemple #7 : Résoudre 7 = 5 cos (0,5x – 2) + 5
7 = 5 cos (0,5x – 2) + 5
2 = 5 cos (0,5x – 2)
0,4 = cos (0,5x – 2)
cos-1 (
Quel est l’angle
dont la valeur en
« x » est 0,4 ?
0,4 ) = 0,5x – 2
1,16 = 0,5x – 2
et
2 – 1,16 = 0,5x – 2
5,123 = 0,5x – 2
6,32 = x1
14,25 = x2
Période
P =
2
|b|
P =
2
= 4
| 0,5 |
Réponse :
x   6,32 + 4n , 14,25 + 4n  où n  
Il ne fait pas partie des
16 coordonnées
remarquables !
Mathématiques SN
- Les fonctions SINUSOÏDALES Résolutions d’inéquations
Exemple : Résoudre 2 sin 2 (x + ) ≥ 0
4
3
+1P +1P
2
1
-7
2
-3
-5
2
-2
-3
2
-
-

2
2

3
2
2
5
2
3
7
2
Exemple : Résoudre 2 sin 2 ( x +  ) ≥ 0
2 sin 2 (x + ) ≥ 0
sin 2 (x + ) ≥ 0
2 (x + ) ≥
sin-1 (
0)
Quel est l’angle
dont la valeur en
« y » est 0 ?
y
P(  ) = ( 0 , 1 )
P( 2 ) = ( - 1 ,
3
2
P( 3 ) = ( - 2 ,
2
4
1
3 )
2
2
P(  ) = ( 1 ,
3
2
P(  ) = (
3 )
2
2 ,
2 )
2
2
4
P(  ) = ( 3 , 1
2
6
2
2 )
2
P( 5 ) = ( - 3 , 1 )
2
2
6
P(  ) = ( - 1 , 0 )
)
P( 0 ) = ( 1 , 0 )
1 P(x2 ) = ( 1 , 0 )
-1
P( 11 ) = (
P( 7 ) = ( - 3 , - 1 )
2
2
6
P( 5 ) = ( - 2 , - 2 )
2
2
4
P( 4 ) = ( - 1 , - 3 )
2
2
3
-1
3 , -1 )
2
2
6
P( 7 ) = ( 2 , - 2 )
2
2
4
P( 5 ) = ( 1 , - 3 )
2
2
3
P( 3 ) = ( 0 , - 1 )
2
Exemple : Résoudre 2 sin 2 ( x +  ) ≥ 0
2 sin 2 (x + ) = 0
sin 2 (x + ) = 0
2 (x + ) =
2 (x + ) = 0
sin-1 (
et
Quel est l’angle
dont la valeur en
« y » est 0 ?
0)
2 (x + ) = 
x2 = - 
x1 = - 
2
Période
P =
2
P =
|b|
2
=

|2|
Réponse :
x  [ -  + n , -  + n ] où n  
2