Transcript 數學師資教育研究與數學概念發展的後續研究

數學師資教育研究
與
數學概念發展的後續研究
哈特博士專題演講
金鈐整理
報告者︰林立斌
壹、數學師資教育研究
一、觀察教師教學
二、教學理論與實際的差異
三、發展式的教學與反覆練習式的教學
四、教師的期望
五、評量
六、教師教學的準備工作
一、觀察教師教學
CSMS (1975-1980)
 SESM (1980-1983)
 CMF (1983-1985)
 1984年擔任英國皇家督學
 1986年推動那飛爾中學數學課程時
觀察教師如何利用具體教具教授由具體到形
式的數學。
從事數學教育研究工作者是很需要去傾聽和
觀察教師的教學。

二、教學理論與實際的差異(1)
二、教學理論與實際的差異(2)
二、教學理論與實際的差異(3)
三、發展式的教學與反覆練習式的教學(1)
發展式和練習式教學時間的分配。
 師資教育者應鼓勵教師將自已的教學過程錄
影、錄音下來，課後分析，並提出建議。
 在發展式和練習式教學時間的分配中，較重
要的是發展式的教學活動是如何進行的。
 例子︰減法運算、計數

三、發展式的教學與反覆練習式的教學(2)
減法運算中有所謂「拿走型」和「差」，
例如用數學積木來教學生學習代數方程式
2x + 11 = 4x + 3
x
x
x
x
11
x
x
3
對學生說「對照」比說「拿走」要有意義
相同的運算對學生而言，會具有不同的意義
三、發展式的教學與反覆練習式的教學(3)
如果小孩能用點算來做低層次的問題，那麼
千萬不要用屬於高層次，但卻又可以點算的
問題給他做，以免他仍然用點算來做。
三、發展式的教學與反覆練習式的教學(3)
研究結果顯示︰同年齡層的學生，解
題的表現不一定相同，其中存有相當
大的個別差異。所以教師在教室教學
中的角色應是幫助、教育和提供資訊
給學生。
四、教師的期望
教師的期望和學生的表現是有相當關
連的，例如 Rosenshine 的研究。
 教師的期望和學生實際的表現之間存
在著很大的差異。

五、評量 (1)

評量學生的學習表現是為了要︰
1.
2.
3.

了解學生們是否已經準備好，可以繼續
學習其他的數學內容？
了解教師的教學成效如何？
了解班上那些學生學得最好？
評量之後該做些什麼？
1.
2.
3.
重新教授某些部分。
診斷與改正學生的錯誤。
將學生的表現依照好壞的順序來排列。
五、評量 (2)
以評量學生的思考技能(Thinking Skills)
來取代只評量學生答案的對或錯。
例題︰一位園丁有391株水仙花，想要種
在23個不同的花圃之中，每個花圃中要有
相同數量的水仙花，那麼你將如何算出每
個花圃中要種幾株水仙花？
391 - 23
23 ÷ 391
23 - 391
391 × 23
391 + 23
23 + 23
23 × 17
391 ÷ 23
五、評量 (3)
試著發現學生是否能自己提出假設，
看出規律，以嘗試錯誤來解題
例題︰要求學生自己想出故事來說明
「9 x 3」和「84 – 28」的意義
84-28
9÷3
84÷28
9x3
84x28
10-11(147人)
86％
65％
44％
37％
18％
11-12(1092人)
78％
58％
41％
42％
31％
12-13(295人)
77％
64％
58％
55％
35％
年齡(人數)
五、評量 (4)
學生會做一些題目並不代表他們懂了
例題︰
James
Forge
William
課後
3
─
6
6
─
10
5
─
6
3個月後
4
─
6
9
─
10
6
─
6
六、教師教學的準備工作(1)
鼓勵教師分析教學的數學內容、教學
目標，以及想一想教學前有那些準備
工作？如果在教學之前先仔細地分析
此單元的內容和學生所需的先備知識，
那教學的成功率會高一點。
下面是體積教學的面談資料
I︰表示面測者，S︰表示學生
六、教師教學的準備工作(2)
Ｓ: 3 + 4 + 3 ，我想這好像不太對………
Ｉ:噢！你在計算 3 + 4 + 3 嗎？
Ｓ:我不覺得它是7，因為1,2,3,……,12，我已經有12啦
Ｉ:那什麼地方錯了呢？
Ｓ:啊！是20,21,…,因為它那兒有3個3都有7,所以是3x7=21
Ｉ:真的每邊有7 個嗎？
Ｓ:不對，這邊是12,……,30,36,是36。
Ｉ:好，我們看看是否有其他的方法來湊 4, 3, 3
Ｓ:不對，不對！應該是相乘才是。
Ｉ:你要試試看嗎？怎麼試呢？
Ｓ:3 x 4 x 3
Ｉ:這是什麼意思？
Ｓ:你是說 3 x 4 x 3
Ｉ:你會做 3 x 4 嗎？要不要紙和筆？(學生很久沒有反應)
Ｉ:你真的不知道如何乘這三個數字嗎？
Ｓ:我常常忘記如何乘三個數字，我只會乘兩個數字，不會三個數
字相乘的
貳、數學概念發展的後續研究
一、後續研究的建議
二、需要研究證據來支持的幾個方向
三、最後的期望
一、後續研究的建議 (1)
1.
2.
3.
再檢驗和確認各年齡群在各層次試題中
的表現，例如 Ø值、H值。
試著找出跨越單元的任何可能的共同的、
一般的特徵。
設計一些合於這些共同特徵的問題，再
測試一下，並與原來各單元中屬於同一
層次的問題作比較，看看這些問題是否
確實地反應出這些共同的特徵。
一、後續研究的建議 (2)
4.
5.
檢驗看看這些特徵是否真是各個不同
單元的共同特徵。
根據上述特徵所發展的不同單元中的
題目，讓一些學生同時測試兩個或兩
個以上的單元，看看他們在不同單元
中的表現是否一致。
一、後續研究的建議 (3)
6.
7.
嘗試依據這些一般的或共同的特徵，
針對一個新的單元來設計一份測驗試
題，再看看這份試題是否能夠形成一
個合適的尺度(scale)。
填補某些單元中層次之間的差距，並
將每一單元的層次對不同年齡群的學
生作縱向(向上、向下)的擴展。
二、需要研究證據支持的方向(1)
1.
2.
3.
發展式的教學活動和練習式的教學活
動在各個不同單元中時間分配的情形。
教師在了解之後，他們教學改變的情
形又是如何？
教師如何分析自己的教學活動？對他
自己往後的教學有何影響？
有關證明(Proof)、邏輯(Logic)、和
估測(Estimation)的教學研究。
二、需要研究證據支持的方向(2)
4.
5.
6.
7.
對成功教師的教學分析。例如︰時間
的分配、課前準備的情形、學生參與
的狀況等。
解題技能的研究。
解題過程的評量。
經過怎樣的教學過程，可能幫助學生
由較低層次的理解達到一些更高層次
的理解？
三、最後的期望
希望大家一同努力找出不同國籍的學
生之間一些共同的表現和特徵。至於
那一國的學生比那一國的學生表現得
好？或好在那裡？並不是我所關心的，
而是希望找出某些一般的、共同的特
質，希望它能適用於全世界。

由英國倫敦大學喬西學院主持的著名的
CSMS(Concept in Secondary Mathematics
and Science)研究小組試圖建立一個一般的標
準來解釋、揭示學習者在數學學習中遇到的各種
困難，通過考察學校數學課程中的主要概念及學
生理解這些概念反映的行為和遇到的困難，建立
一個學生對這些重要概念的理解層次，並試圖把
這些理解層次與皮亞傑的認知發展階段進行對比，
建立某種聯繫。通過艱巨的工作，研究小組得出
了令人驚訝的結論，同年齡的學生，在數學概念
的理解水平上，存在七年的差異。

CSMS數學的部分主要在探討11-16歲
學生的數學概念發展，共分成10個領域，
透過發展層次，每一領域都有一個成長
模式(每一主題有3至6個層次)，這些架
構部分來自大量學生晤談的結果，部分
來自調查的資料(有11-16歲的橫斷性資
料以及跨兩年的縱貫性資料。)結果顯示
在每一個主題之中，任一年齡成就範圍
的層次分布非常廣，在比較跨兩年時距
學生理解的成長速率時尤其明顯。