Transcript 1. Le lissage exponentiel simple

Chapitre 5
Prévisions
Les méthodes de lissage
TENDANCE
Non
SAISONNALITE
Non
Oui
Oui
Non
Oui
METHODE
Lissage exponentiel simple
Lissage exponentiel double,
Lissage de Holt
Lissage de Winters
1. Le lissage exponentiel simple
(LES)
C’est une technique très simple de prévision à
t + 1. Elle s’applique à des SC sans tendance.
Le principe consiste à donner plus d’importance
aux dernières observations.
On ne prolonge pas une série comme on le ferait
avec une régression simple (Mco) mais on
cherche à obtenir une valeur lissée en t pour la
reporter tout simplement en t + 1.
Elle est plus réactive que les Moyennes Mobiles
ou les modèles utilisant la régression car elle
prend rapidement en compte une modification
de tendance.
1. Le lissage exponentiel simple
(LES)
On note la formule de la façon suivante
La présentation de cette formule est déstabilisante puisque t est le
moment où la prévision a été faite et non celui où elle doit se
réaliser.
Le coefficient α, compris entre 0 et 1, s’applique à la dernière
réalisation. α s’appelle la constante de lissage (ou coefficient
de lissage). Évidemment, si elle est égale à 1, on ne fait que
reporter en t + 1 l’observation de la période t.
Le coefficient (1 – α) s’applique quant à lui à la prévision
précédente.
1. Le lissage exponentiel simple
(LES)
La formule peut se réécrire :
En choisissant α = 0,3, la dernière observation est donc pondérée
à 30 %, la précédente à 0,3 × 0,7 = 21 %, celle d’avant à 14,7 %
et ainsi de suite jusqu’au début de la série
L'un des avantages de cette présentation est de comprendre
pourquoi on appelle ce lissage EXPONENTIEL (décroissance
exponentielle des pondérations lorsqu'on remonte dans le
temps).
Enfin, La prévision n'a pour horizon que t + 1. Toutes les
prévisions à horizon plus lointain seraient exactement les
mêmes.
1. Le lissage exponentiel simple
(LES)
La prévision initiale
En raison de la formule récurrente du LES, on est
obligé de CHOISIR une valeur à partir de
laquelle les prévisions seront effectuées. Cette
valeur n’a que peu d’importance si la série est
longue.
On prend souvent la moyenne des deux ou trois
premières observations mais ce choix est
arbitraire. On peut également prendre la
première valeur.
1. Le lissage exponentiel simple
(LES)
Le choix de la constante de lissage
On peut confronter les observations avec ce
qu’aurait donné un LES utilisant une
constante de lissage de 0,1 puis 0,2 puis
0,3 et ainsi de suite.
On se donne un indicateur d’écart pour
comparer les séries (On va prendre la
somme des carrés des erreurs).
1. Le lissage exponentiel simple
(LES)
La valeur lissée initiale est la moyenne entre les deux
premières observations (520). On remarque que, des
trois constantes étudiées, la plus adaptée est α = 0,7.
Janvier
Février
Mars
Avril
Mai
Juin
Juillet
Août
Septembre
Octobre
Novembre
Décembre
Janvier
Février
Mars
Avril
Mai
Ventes
515
525
536
549
568
550
622
587
561
549
550
562
569
574
590
612
621
Alpha=0,3
SCE
Alpha=0,5
SCE
Alpha=0,7
SCE
520
521,5
525,9
532,8
543,4
545,3
568,3
573,9
570,1
563,7
559,6
560,3
562,9
566,3
573,4
585,0
595,8
210,3
535,9
1239,4
44,1
5875,3
348,0
167,5
443,5
188,8
5,7
75,1
122,5
563,9
1491,7
1298,6
12610,3
520
522,5
528,8
537,4
550,4
546,7
583,7
577,7
567,5
559,5
556,9
560,8
564,7
568,5
578,1
592,7
603,0
182,3
410,1
934,8
0,2
5673,4
11,1
278,0
341,2
90,8
26,3
67,1
87,1
463,7
1147,4
801,5
10514,8
520,0
523,5
532,3
544,0
560,8
553,2
601,4
591,3
570,1
555,3
551,6
558,9
566,0
571,6
584,5
603,7
615,8
156,3
280,6
577,2
116,5
4728,2
206,5
918,8
444,9
28,4
108,2
102,4
64,6
339,0
757,5
297,8
9126,9
1. Le lissage exponentiel simple
(LES)
Exemple :
La série a été initialisée à 27, moyenne des deux premières observations.
Le nombre de commandes prévu pour le second mois de février est
estimé à :
25,8 = (0,4 × 25) + (0,6 × 26,37)
Janvier
Février
Mars
Avril
Mai
Juin
Juillet
Août
Septembre
Octobre
Novembre
Décembre
Janvier
Février
Ventes
25
29
24
21
26
23
27
25
21
24
26
29
25
?
Alpha=0,4
27
27,8
26,3
24,2
24,9
24,1
25,3
25,2
23,5
23,7
24,6
26,4
25,8
2. Le lissage exponentiel double
(LED)
Le LES permet d’établir une prévision à t + 1 lorsqu’il
n’existe pas de tendance. Lorsqu’il y en a une, on
peut effectuer un LED.
Lorsqu’on souhaite établir une prévision par lissage
sur une série avec tendance, on doit alors établir les
paramètres d'une tendance linéaire y = at + b.
Celle-ci ne résume pas les valeurs d'une SC de façon
indifférenciée comme le fait les MCO.
Selon le principe du lissage exponentiel, les dernières
valeurs ont un poids plus important que les plus
anciennes. Du coup, la prévision est recalculée pour
chaque observation supplémentaire.
2. Le lissage exponentiel double
(LED)
La prévision en h :
Le LED nécessite une constante de lissage
α, comprise entre 0 et 1, qui permet de
plus ou moins pondérer la dernière
observation par rapport aux précédentes.
2. Le lissage exponentiel double
(LED)
Comment déterminer les paramètres a et b ?
1. L’estimation de la « constante » b est égale à deux fois
la première valeur lissée moins une fois la seconde
valeur lissée.
2. Le coefficient a est égal à la différence entre les deux
valeurs lissées (la première moins la seconde),
multipliée par un coefficient α / (1 – α).
Ces paramètres sont déterminés par minimisation des
carrés des erreurs
Pour initialiser le lissage double, on utilise les deux
premières valeurs.
2. Le lissage exponentiel double
(LED)
Exemple :
63,4=0,4*65+0,6*62,4.
61,8=0,4*63,4+0,6*60,7.
1,08=(0,4/0,6)*(63,4-61,8)
65,1=(2*63,4)-61,8 ; 65,2=64,1+1,11; 66,1=65,1+1,08, etc.
Janvier
Février
Mars
Avril
Mai
Juin
Juillet
Août
Septembre
Octobre
Novembre
Décembre
Janvier
Février
Ventes
52
50
54
55
58
57
60
61
64
62
64
65
1er lissage
52
50
51,6
53,0
55,0
55,8
57,5
58,9
60,9
61,4
62,4
63,4
2nd lissage
52
51,2
51,4
52,0
53,2
54,2
55,5
56,9
58,5
59,6
60,7
61,8
a
b
-0,80
0,16
0,64
1,19
1,04
1,30
1,34
1,62
1,15
1,11
1,08
48,8
51,8
53,9
56,8
57,3
59,4
60,9
63,4
63,1
64,1
65,1
prev
48,0
52,0
54,6
58,0
58,4
60,7
62,2
65,0
64,2
65,2
66,1
67,2
68,3
69,4
3. Lissage de Holt
Tout comme le LED, le lissage de Holt
permet d’établir une fonction de
prévision linéaire
Avec
Avec
3. Lissage de Holt
Exemple :α=0,4 et γ=0,6
B (dec): 238,2=0,4*239+0,6*(236,7+1,0)
A (dec) :1,3=0,6*(238,2-236,7)+0,4*1,0
La prévision est la somme de a et b le mois précédent
Janvier
Février
Mars
Avril
Mai
Juin
Juillet
Août
Septembre
Octobre
Novembre
Décembre
Janvier
Ventes
220
224
226
225
230
232
228
232
236
236
235
239
b
220
221,6
223,9
225,4
228,2
231,1
231,5
232,5
234,5
236,1
236,7
238,2
a
0
1,0
1,8
1,6
2,3
2,7
1,3
1,1
1,7
1,6
1,0
1,3
prev
220,0
222,6
225,7
227,0
230,5
233,8
232,8
233,6
236,2
237,8
237,6
239,5
4. Lissage de Winters
Le lissage de Winters a l’avantage d’intégrer la
saisonnalité
On établit une fonction localement linéaire
dont la pente et le niveau sont tous deux
estimés à partir de réalisations passées et de
prévisions. Ces dernières sont établies à
l’aide de constantes de lissage alpha et
gamma (comme précédemment)
On rajoute simplement une troisième
constante de lissage pour tenir compte de la
saisonnalité (delta)
4. Lissage de Winters
La formule est la suivante
La pente et le niveau sont calculés de la même façon qu’avec un lissage de
Holt mais le niveau est appliqué à une donnée CVS.
Avec
bt   yt  St  p  (1   )(bt 1  at 1 )
Avec
Avec
St    yt  bt   1   St  p 
4. Lissage de Winters
Exemple (première étape) : données trim, α = 0,4, γ = 0,2 et δ = 0,5
Initialisation : b (moyenne des obs de la première année) ; a =0 ; la
saisonnalité : obs-la valeur de b; prev=a+b+s du trim (-1,475)
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
obs
61,5
63,2
55,8
71,4
70
71,4
63,9
78,9
78,3
78,6
71,9
87
86,2
87,5
80,1
92,5
b
b
62,975
0
s
-1,475
0,225
-7,175
8,425
prev
61,5
4. Lissage de Winters
Exemple (deuxième étape) : α = 0,4, γ = 0,2 et δ = 0,5
Calcul de b : 66,375=0,4*(70-(-1,475))+0,6*(62,975+0)
Calcul de a : 0,68=0,2*(66,375-62,975)+0,8*0
Calcul de s : 1,075=0,5*(70-66,375)+0,5*(-1,475)
Prev : 67,28=66,375+0,68+0,225
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
obs
61,5
63,2
55,8
71,4
70
71,4
63,9
78,9
78,3
78,6
71,9
87
86,2
87,5
80,1
92,5
b
a
62,975
66,375
0
0,68
s
-1,475
0,225
-7,175
8,425
1,075
prev
61,5
67,28
4. Lissage de Winters
Exemple (troisième étape) :
Prev(17) : 92,0=86,9+1,6+3,399
Prev(18) : 92,6=86,9+(2*1,6)+2,455
Prev (19) :85,4= 86,9+(3*1,6)-6,455, etc.
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
obs
61,5
63,2
55,8
71,4
70
71,4
63,9
78,9
78,3
78,6
71,9
87
86,2
87,5
80,1
92,5
b
a
62,975
66,4
68,7
70,3
71,0
74,1
76,2
78,1
79,4
82,0
84,5
86,5
86,9
0
0,7
1,0
1,1
1,0
1,5
1,6
1,7
1,6
1,8
1,9
1,9
1,6
s
-1,475
0,225
-7,175
8,425
1,075
1,461
-6,766
8,155
2,624
1,927
-6,504
7,870
3,399
2,455
-6,455
6,725
prev
61,5
67,3
62,5
79,8
73,1
77,0
71,0
87,9
83,6
85,7
79,9
96,3
92,0
92,6
85,4
100,2
4. Lissage de Winters
Le graphique associé
Exercice 1 : lissage exponentiel
simple
COURS
1293
1209
1205
1273
1220
1290
JOUR
1
2
3
4
5
6
JOUR
7
8
9
10
11
COURS JOUR COURS
1343
12
1243
1364
13
1203
1330
14
1390
1377
15
1360
1332
16
1353
6
8
1500
1400
1300
COURS
1200
1100
1
2
JOUR
3
4
5
7
9
10
11
12
13
14
15
16
Exercice 1
Résultats
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Y
1293
1209
1205
1273
1220
1290
1243
1203
1390
1360
1353
1343
1364
1330
1337
1332
Alpha=0,4
1251,0
1231,7
1219,4
1244,1
1233,0
1259,2
1251,8
1229,3
1303,2
1329,3
1340,2
1341,5
1351,9
1341,8
1339,6
1336,1
Exercice 2 : prévoir les obs pour 2007
1.
2.
Quelle méthode ?
α=0,3 ; γ=0,6 ; δ=0,5 .
t1
1
1
5
2004
2005
2006
t2
2
3
6
t3
7
11
10
t4
9
12
12
14
12
10
8
Série1
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Résultats
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Y
1
2
7
9
1
3
11
12
5
6
10
12
b
a
4,75
4,8
5,1
6,3
7,3
8,4
9,1
8,9
8,7
0
0,0
0,2
0,8
0,9
1,0
0,8
0,2
-0,1
s
-3,75
-2,75
2,25
4,25
-3,75
-2,40
3,48
4,48
-3,57
-2,75
2,28
3,91
prev
1
2,0
7,5
11,3
4,5
7,0
13,4
13,6
5,0
5,8
10,7
12,3