Transcript METODE INTEGRASI

METODE INTEGRASI
Integral dari Bentuk Fungsi
Goniometri
Pembuktian Rumus-Rumus
sin x  cos x  1
2
2
Pitagoras =
;
;
a b  c
2
2
a
sin x 
c
b
cos x 
c
2
2
2
2
2
a
b
a

b
c
sin 2 x  cos2 x  2  2 
 2 1
2
c
c
c
c
2
Pembuktian Rumus-Rumus
1
sin x  1  cos 2 x 
2
2
Bukti :
cos 2 x  cos x  sin x → bukti cari diinternet
2

2

cos2 x  1  sin x  sin x  1  2 sin x
2
1
sin x  1  cos 2 x 
2
2
2
2
Latihan…….
• Buktikan bahwa
1
sin x cos x  sinx  y   sinx  y 
2
Jawab:
sinx  y   sin x cos y  cos x sin y
sinx  y   sin x cos y  cos x sin y
sinx  y   sinx  y   2 sin x cos y
+
Integral dari Bentuk :

m
n
sin x cos x dx
dimana m dan n bulat
a) m bulat positif dan ganjil → misal :
m  2k  1
sin x cos x  sin
m
n
2 k 1
x cos x  sin
n
2k
x cos x sin x
Jadi
sin m x cosn xdx  sin 2 k x cosn x sin xdx


 1  cos x cosn x d cos x 
2

k

  1  cos x cosn x d cos x 
2
k
n
Jika n bulat positif dan ganjil → misal :
n  2k  1
sin m x cosn x  sin m x cos2 k 1 x  sin m x cos2 k x cos x


k


k
 sin x cos x cos x  sin x 1  sin x cos x
m
2
Jadi :
m


k
sin x cos x dx  sin x 1  sin x cos x dx
m
n
m

2

 sin x 1  sin x d sin x 
m
2
k
2
Contoh soal
 sin
2
x cos x dx  ...
3
Cos x mempunyai pangkat ganjil → yaitu : n = 3 → jadi :



sin 2 x cos3 x dx  sin 2 x cos2 x d sin x   sin 2 x 1  sin 2 x d sin x 





1 3
1
sin x  sin x d sin x   sin x  sin 5 x  c
3
5
2
4
Contoh soal
 cos
4
2 x sin 2 x dx  ...
3
Sin 2x mempunyai pangkat ganjil → yaitu : m = 3 → jadi :

1

cos 2 x sin 2 x dx  cos 2 x sin 2 x sin 2 x  d 2 x 
2

4
3

4
2
1

cos 4 2 x sin 2 2 x d cos 2 x 
2
1

cos 4 2 x1  cos 2 2 x d cos 2 x 
2




1

cos 4 2 x  cos 6 2 x d cos 2 x 
2
1
1
7

cos 2 x  cos 5 2 x  c
14
10
Coba selesaikan integrasi berikut ini:
1.
2.
 sin
3
 sin
3 x cos 3 x dx  ...
5
5
x dx  ....
Jawabannya adalah:
1.
2.

1
1
cos 8 3 x  cos 6 3 x  c
24
18
  cos x 
2
1
cos 3 x  cos 5 x  c
3
5
Jika m dan n bulat positif dan genap
m
n
sin x cos x
diubah memakai rumus :
1
sin x  1  cos 2 x 
2
1
2
cos x  1  cos 2 x 
2
1
sin x cos x  sin 2 x
2
2
Contoh soal

cos 3 x sin 3 x dx 
2
4
 cos3 x sin 3 x
2
sin 2 3 x dx
2
1
 1
  sin 6 x 1  cos6 xdx
2
 2
1

sin 2 6 x  sin 2 6 x cos 6 x dx
8
1 1

2



1

cos
12
x

sin
6
x
cos
6
x

dx
8 2

1 1
1
1

2
  dx 
cos12x d 12x    sin 6 x d sin 6 x 

8 2
24
6





1 x 1
1

3

sin
12
x

sin
6
x
c


8  2 24
18


Coba selesaikan integrasi berikut ini:
 cos
4
x dx  .......
Jawabannya:

2


1
1



cos x dx   1  cos 2 x  dx 
1  2 cos 2 x  cos2 2 x dx
4
2

4

1 3
1

  x  sin 2 x  sin 4 x   c
4 2
8

Jika m dan n bulat negatif, misal : m = -k, n = -h
 sin
m
dx
k
h

cos
ec
x
sec
x dx
k
h
sin x cos x


  cos ec x sec x sec
x cos x dx 
n
k
h2
Ingat…
1
 sin x 
 1 


d tgx  d 

d
sin
x

sin
x
d



cos
x
cos
x
cos
x




cos x
1 


dx  sin x 
 sin x dx
2
cos x
 cos x 

sin 2 x 
 1 
2
 1 
dx

dx

sec
x dx
2 
2 

 cos x 
 cos x 
2
x dx

  cos ec
 cos ec k x sec h 2 x sec 2 x dx
k
x sec h 2 x d tgx
k
 1  2  cos
2
cos ec x  cos ec x   2   1 
2
sin
 sin x 

k
k

1  2  1  tg 2 x  2
 1  2   

2
 tg x 
 tg x 
k

2

k
2
x

x
k
2
sec
h2

x  sec x
2
Jadi
 1  tg x 
 

2
tg
x


2




1  tg x

2
k
h 2 

2
k
tg x
d tgx
k  h  1
1  tg x
k
tg x
h  2 
1  tg x 
2
k h
 1
2 2
2

 1  tg x
2
2
d tgx
2
2
d tgx
h 2 

2
Contoh soal

dx
2
4
2
2
2

cos
ec
2
x
sec
2
x
dx

cos
ec
2
x
sec
2
x
sec
2 x dx
2
4
sin 2 x cos 2 x





1
  1  cot g 2 2 x 1  tg 2 2 x d tg 2 x 
2
1 
1 
  1  2  1  tg 2 2 x d tg 2 x 
2  tg 2 x 

1 
1
2
  2  2  tg 2 x d tg 2 x 
2  tg 2 x



1
1
1 3
 (2tg 2 x 
 tg 2 x)  c
2
tg 2 x 3
Integral dalam bentuk


2
ctg x  cosec x  1
2
2
m
n
ctg x cos ec x dx
tg x  sec x  1
:
n
tg x sec x dx
m dan n bulat, positif
manipulasi dengan rumus :
2
m
Contoh soal
3
ctg
 2 x cos ec 2 x dx  .........
3
2
ctg
2
x
cos
ec
2
x
dx

ctg

 2 xctg 2 x cos ec 2 x dx 
Latihan soal
 tg x sec x dx  ......
 tg 3x sec 3x dx 
3
3
5
4
Integral dalam bentuk
 sin m xcos nx dx
 sin m xsin nx dx
 cos m xcos nx dx
Gunakan rumus
1:
sin mx cos nx  sinm  n x  sinm  n x 
2
1
sin mx sin nx  cos m  n x  cos m  n x 
2
1
cos mx cos nx  cos m  n x  cos m  n x 
2
Contoh soal
 sin 9 x sin x dx  ...........
 sin 9 x sin x dx 
1
cos 8 x  cos 10 xdx

2
1
1

sin 8 x 
sin 10 x  c
16
20
Latihan soal
1. sin 3 x cos 5 x dx  ..........
2. 1  cos5 x  2 dx  ......
3
INTEGRAL DENGAN
SUBSTITUSI

f x dx  ...
Susah diintegralkan
Ubah bentuk integrannya ke suatu bentuk dengan
jalan mengubah peubah x (diganti dengan peubah
baru misalnya u)
x   u 
dx  ' u du
 f x dx   f  u  ' u du   u  du
 F u   c
SUBSTITUSI FUNGSI ALJABAR
• jika integran memuat pangkat pecahan
dari bentuk a  bx
misal
a  bx
m
n
disubsitusi :
u  a  bx
sehingga :
a  bx 
n
m
n
 
 u
n
m
n
u
m
Contoh soal
x
2
 2  3x 
2
substitusi
dx  .....
3
u  2  3x
3
   d 2  3x
du
3
3u du  3dx
2
dx  u du
2

1 3
x  u 2
3

Sehingga
x

2
 2  3 x 
2
3

2
1 3

u

2
3


 u 2 du  1
dx 
2
3 3
9
u
  
1

9
 u
6


u
3

2
2
2
u
du
2
u
 4u 3  4 du
1 1 7

4
u

u

4
u
c


9 7

7
4
1 
1 1
3
  2  3 x   2  3 x  3  42  3 x  3   c
9 7





1
2  3 x  13 2  3 x 2  7 2  3 x   28  c
63
SUBSTITUSI FUNGSI ALJABAR
• jika integran memuat pangkat pecahan
dari bentuk a  bx n
misal
a  bx 
disubsitusi :
n
1
m
u  a  bx
m
n
Contoh soal

x
2
a
x
2

3
2
dx  ...
u  x a
2
Misal :
2
x  u a
2
2
2u du  2 x dx
2
u du
u du
dx 

2
2
x
u a

x
2
a
x
2

3
2
dx 

u 
2
3
2
u a
2
u du
2
4
u du

 ...
2
2
u a
u2  a2





u 4  u 2u 2  u 2 u 2  a 2  a 2  u 2 u 2  a 2  u 2 a 2








 u 2 u 2  a2  a2 u 2  a2  a2  u 2 u 2  a2  a2 u 2  a2  a4
Jadi :

x
2
a
x
2

3
2




u 2 u 2  a2  a2 u 2  a2  a4
dx 
du
2
2
u a

4
 2

a
1 3
du
2
2
4
 u  a  2
du  u  a u  a
2 
2
2
3
u

a
u

a




SUBSTITUSI DENGAN
TRIGONOMETRI
Jika integran memuat bentuk :
a b x
2
2
2
a b x
2
b x a
2
2
2
2
2
→ substitusi :
a
x  sin u
b
→ substitusi :
a
x  tg u
b
→ substitusi :
a
x  sec u
b
Contoh soal
x
dx
2
25x 2  16
4
x  tg u
5
Misal :
x
dx
2
25x  16
2

4
4
2
  sec u du
5
2
2
2
  tg u 16tg u  16
5

5
16

dx 
4
sec 2 u du
5
cos2 u du
5 sec 2 u du
5


2
4 tg u 4 sec u 16 sin 2 u cosu
d sin u 
5 1


c
2
16 sin u
sin u


x
dx
2
25x 2  16
5 1

c
16 sin u
5
1
5 sec u
5

c  
c  
16 tg u cos u
16 tg u
16
25 2
x 1
5 16
1 1 25x 2  16

c  
c
5
16
44
x
x
4
25x 2  16

c
16x
tg 2 u  1
c
tg u
Integral dari fungsi pecah
rasional
Pendahuluan


x 4  x3  x 1 x x3  x 2  x3  x3  x 1
 x 1 

 x  3
3
2
3
2
2 
x x
x x
x x 
(i). Semua factor dari penyebut linier dan berlainan
Contoh Soal

2x  1
dx  ....
3
x 7x  6

2 x  1dx

x  1x  2 x  3
2x  1
A
B
C Ax  2x  3  Bx  1x  3  C x  1x  2




x  1x  2x  3 x  1 x  2 x  3
x  1x  2x  3
Jadi :
Ax  2x  3  Bx  1x  3  Cx  1x  2  2 x  1
A, B, C....???
Cara 1:
2x  1
3 dx
dx  1  dx
 x 3  7 x  6 dx   4  x  1   x  2    4  x  3
Cara 2:
Ax  2x  3  Bx  1x  3  Cx  1x  2  2 x  1
2x  1
3 dx
dx  1  dx
 x 3  7 x  6 dx   4  x  1   x  2    4  x  3
3
1
  lnx  1  ln x  2   ln x  3  c
4
4
(ii). Semua faktor dari penyebut linier, tetapi ada beberapa
yang sama (berulang)
Contoh Soal

3x
2

 22x  19 dx
x  2x  3
 ...
2
3 x 2  22x  19
x  2x  3
2
A
B
C



x  2 x  3 x  32

3x

 22x  19 dx
3
4

dx  
dx
2
2
x2
x  2x  3
x  3
4
 3 lnx  2 
c
x  3
2
(iii) Beberapa faktor penyebut adalah kwadratis dan tak
berulang
Untuk tiap-tiap factor yang berbentuk → nyatakan sebagai pecahan
parsiil :
Ax  B
ax 2  bx  c
Contoh Soal

dx
 ...
3
x x


1
1
A Bx  C A x 2  1  Bx2  Cx

  2

3
2
x x 1
x  x x x 1
x x2  1





dx
x 
1
   2
dx
3

x x
 x x  1



1 d x2  1
1
2
 ln x 

ln
x

ln
x
1 c
2
2
2
x 1

 x 
 ln 
c

2
 x 1


(iv). Beberapa faktor penyebut adalah kwadratis
dan berulang
Untuk faktor kwadratis dengan bentuk yang berulang n kali dalam
penyebut pada pecahan rasional yang proper → ditulis sebagai
jumlahan dari n pecahan parsiil dalam bentuk :
A1 x  B1
A2 x  B2

ax2  bx  c ax2  bx  c

Contoh Soal
2x3  x  3
 x
2
2

2
dx  ...

2
 ... 
An x  Bn
ax
2
 bx  c

n
2x3  x  3
x
2
2

2





Ax  B Cx  D
Ax  B  x 2  2  Cx  D
 2


2
2
2
2
x 2
x 2
x 2


Ax3  Bx2  2 Ax  2B  Cx  D  Ax3  Bx2  2 A  C x  2B  D  2 x 3  x  3
B0
D  2B  3
2x3  x  3
 x
C  3
2A  C  1  4  C
A2
2
2

2
D3
2 xdx
dx 

2
x 2

 3 x  3dx
 x
2
2

2



2 xdx
d x2  2
2


ln
x
2 c
2
2
x 2
x 2


 3x  3dx  3 x  1
 x
2
2
 x

2
2x3  x  3
 x
2
2

2
2
2


dx  3
 x
xdx
2
2

2
3
 x
dx
2
2
  3    3 x   3 8 2 arctg 
2 x 2 4 x 2


dx  ln x 2  2 
2
2

2
x 
c
2
3x  2 3 2
 x 
 ln x  2 

arctg
c
2
8
4 x 2
 2

2
 

Integral dari fungsi irrasional
(i). Integral dari bentuk :

p


q
 ax  b  

F x ,
 dx dimana p dan q bilangan bulat.
  ax  b  


ax  b
 uq
Substitusi :
ax  b
Contoh Soal

1
x
x4
dx  ...
x1
u2  4
x
1 u2
x4
1 x4
Substitusi
:
 u2
dx

...
 x x1
x1




 2u

u2  4

dx  

 2u  du
2
2
1 u2
 1  u

1  u 2  u 2  4 
6 u du
 2u 
 du  
2 2
2 2
1

u
1

u



1
x



 1  u 2   6 u du
x4
u 2 du
u 2 du
dx   2
u
 6
6

2
2
2
2
2
2
x 1
u

4
1

u
u

4
u

1
u
4
1

u


1
1
1 
 1


 6

 u  1
u  2 
6
3
3
6 



du

ln

2
ln
c





 u  1
u  2 
u  1 u  1 u  2 u  2 












Contoh Soal
 x  2 
dx
x  4x  1
2
 ...
  x  2
dx
x  4x  1
2


 du
u2
1  1  3u 2

u  u2



1
2


 du
1  3u
2
 ...
Contoh Soal
Fungsi rasional dari sin x dan cos x
Integrasi fungsi hiperbolik
Rumus Dasar
e u  e u
sinh u 
2
e u  e u
ctghu  u
e  e u
e u  e u
coshu 
2
2
sec h u  u
e  e u
e u  e u
tgh u  u
e  e u
cos ech u 
2
e u  e u