Transcript 6. Pencocokan Kurva

6. Pencocokan Kurva
Regresi & Interpolasi
Pendahuluan



Data yang berasal dari hasil pengamatan
lapangan, pengukuran atau tabel yang diambil
dari buku-buku acuan.
Nilai antara, turunan, integral  mudah dicari
untuk fungsi polinom
Fungsi sulit perlu disederhanakan menjadi fungsi
polinom  f ( x)  p ( x)
n
pn ( x)  a0  a1x  a2 x2  ... an xn
Pendahuluan (Cont.)


Bantuan beberapa titik dicocokan dalam kurva pn(x).
Metode pencocokan titik dengan sebuah kurva ada 2
macam :
Y
Y
X
Regresi
X
Interpolasi
Regresi





Untuk data dengan berketelitian rendah
Kurva tidak perlu melewati semua titik yang tersedia
Kurva yang dibentuk merupakan kecenderungan
dari sekelompok data
Dipilih kurva yang memiliki selisih antara titik data
dengan kurva hampiran sekecil mungkin
Ketidaktelitian disebabkan oleh : kesalahan
mengukur, ketidaktelitian alat ukur atau kelakuan
sistem yang diukur.
Regresi (Cont.)

Prinsip penting yang harus diketahui dalam
pencocokan kurva untuk data hasil pengukuran :
–
–

Fungsi mengandung sesedikit mungkin parameter bebas
Deviasi fungsi dengan titik data dibuat minimum
Manfaat Pencocokan Kurva untuk data hasil
pengukuran :
–
–
Bagi ahli sains/rekayasa : mengembangkan formula empirik
untuk sistem yang diteliti
Bagi ahli ekonomi : menentukan kurva kecenderungan
ekonomi untuk meramalkan kecenderungan yang akan
datang
Regresi Linier



Persamaan kurva : f(x) = a + bx dari titik-titik
(xi,yi).
Karena (xi,yi) merupakan hasil pengukuran
yang mengandung galat, maka dapat ditulis :
g(xi) =yi + ei, i = 1,2,…,n
Deviasi persamaan kurva dengan nilai data :
ri = yi – f(xi) = yi – (a + bxi)
Regresi Linier (Cont.)

Total kuadrat deviasinya :
n
R   ri 2    yi  a  bxi 
2
i 1

Agar R minimum, maka haruslah :
R  2  y  a  bx   0 dan R  2 xi  yi  a  bxi   0
i
i
b
a

Kedua persamaan dibagi -2, menjadi :
n
n
n
n
i 1
i 1
  y  a  bx   0   y   a   bx  0
i
i 1
i
i
i 1
n
n
i
n
 x  y  a  bx   0   x y  ax   bx  0
i
i
i
i 1
i
i
i 1
i
i 1
i
Regresi Linier (Cont.)

Selanjutnya :
n
n
n
 a   bx   y
i 1
i
i 1
n
i 1
n
 ax   bx
i 1

i
i 1
i
2
atau
i
n
  xi yi
i 1
n
n
i 1
i 1
na  b xi   yi
n
n
i 1
i 1
a xi  b xi   xi yi
Dalam bentuk persamaan matrik :

 n
n
 x
i

i 1



a
xi      yi 

i 1
     ni 1  Solusinya :
n
2  
 xy
x


i b 
i i



i 1

 i 1
n
n
n
2
b
i 1
n
n
n
i 1
i 1
i 1
n  xi yi   xi  yi
 n 
2
n  xi    xi 
i 1
 i 1 
n
a  y  bx
2
Regresi Kuadratik



Persamaan kurva : f(x) = a + bx +cx2 dari
titik-titik (xi,yi).
Karena (xi,yi) merupakan hasil pengukuran
yang mengandung galat, maka dapat ditulis :
g(xi) =yi + ei, i = 1,2,…,n
Deviasi persamaan kurva dengan nilai data :
ri = yi – f(xi) = yi – (a + bxi+cxi2)
Regresi Kuadratik (Cont.)

Total kuadrat deviasinya :
n
R   ri   ( yi  a  bxi  cxi2 ) 2
2
i 1

Agar R minimum, maka haruslah :
R
R
a
 2 ( yi  a  bxi  cxi2 )  0
 2 xi  ( yi  a  bxi  cxi2 )  0
b
R  2 x 2 ( y  a  bx  cx2 )  0
i
i
i
i
c
Regresi Kuadratik (Cont.)

Kedua persamaan dibagi -2, menjadi :
 (y  a  bx  cx )   y   a   bx   cx
 x ( y  a  bx  cx )   x y   ax   bx   cx
 x ( y  a  bx  cx )   x y   ax   bx   cx
i
i
i
2
i
2
i
i
i
2
i
i
i
i
2
i
i
i
2
i
 a   bx   cx   y
 ax   bx   cx   x y
 ax   bx   cx   x y
2
i
i
i
i
2
i
3
i
3
i
4
i
2
i
i
i
2
i
i

 n

  xi
 xi2

x x
x x
x x
i
2
i
3
i
2
i
3
i
4
i
2
i
i

i
2
i
i
  a    yi 
  

b

x
y

i
i
  

2
  c   xi yi 



2
i
3
i
3
i
4
i
Linearisasi


Regresi linier hanya cocok untuk data yang
memiliki hubungan linier antara variabel
bebas dengan variabel terikatnya.
Penggambaran grafik dan pemeriksaan data
secara visual untuk memastikan apakah
berlaku suatu model linier
Linearisasi Pangkat Sederhana

Mencocokkan data dengan fungsi y = Cxb
y  Cx b
ln(y)  ln(C )  b ln(x)
Y  a  bX
Sistem persamaan linier :
 1.2447 a 12.7139
 7
 1.2447 6.2522  b    1.0659

  

Solusinya adalah : a = 1.8515, b = 0.1981
C  e a  e1.8515  6.369366
Jadi kurva yang dipakai :
y  6.369366x0.1981
Linearisasi Fungsi Eksponensial

Mencocokkan data dengan fungsi y = Cebx
y  Ce bx
ln( y)  ln(C )  bx ln(e)
ln( y)  ln(C )  bx
Sistem persamaan linier :
8.26  a 12.7139
 7
8.26 14.416 b    16.007 

  

Solusinya adalah : a = ….., b =……..
Y  a  bX
C  ea  ea  .......
Jadi kurva yang dipakai :
y  Cebx
Interpolasi






(n+1) buah titik berbeda (x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn).
Menentukan polinom pn(x) yang menginterpolasi semua titiktitik tersebut sedemikian rupa sehingga :
yi = pn(xi) untuk i=0,1,2,..,n
Selanjutnya p(x) dapat digunakan untuk menghitung hampiran
y(x).
Jika x0<xk<xn, maka p(xk) disebut nilai interpolasi.
Jika xk<x0 atau xk>xn, maka p(xk) disebut nilai ekstrapolasi.
Interpolasi bermanfaat untuk mencari nilai hampiran sebagai
pengisi kaitan data yang hilang.
Interpolasi Linier



Interpolasi dua buah titik
dengan sebuah garis lurus.
Misal (x0,y0) dan (x1,y1).
Persamaan garis lurus yang
terbentuk :
p1(x) = a0 + a1x
a0 dan a1 dicari dengan cara
berikut :
y0  a0  a1 x0
y1  a0  a1 x1
a1 
y1  y0
x1  x0
a0 
x1 y0  x0 y1
x1  x0
Setelah disubtitusi dalam
persamaan dan dilakukan sedikit
otak-atik aljabar didapatkan :
(y  y )
p1 ( x)  y0  1 0 ( x  x0 )
( x1 x0 )

Y
(x1,y1)
Dengan proses eliminasi dan
subtitusi didapatkan :

(x0,y0)
X
Interpolasi Kuadratik



Interpolasi tiga buah titik dengan sebuah persamaan polinom kuadrat.
Misal (x0,y0), (x1,y1) dan (x2,y2).
Persamaan polinom kuadrat yang terbentuk :
p2(x) = a0 + a1x + a2x2
Persamaan dari 3 titik dengan a0, a1 dan a2 adalah sebagai berikut :
a0  a1 x 0  a2 x02  y0
a0  a1 x1  a2 x12  y1
a0  a1 x2  a2 x22  y2

Dengan metode eliminasi Gauss, didapatkan nilai a0,a1 dan a2.
Y
(x1,y1)
(x2,y2)
(x0,y0)
X
Interpolasi Kubik



Interpolasi empat buah titik dengan sebuah persamaan polinom kubik.
Misal (x0,y0), (x1,y1), (x2,y2), dan (x3,y3).
Persamaan polinom kuadrat yang terbentuk :
p3(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3
Persamaan dari 4 titik dengan a0, a1, a2 dan a3 adalah sebagai berikut :
a0  a1 x 0  a2 x02  a3 x03  y0
a0  a1 x1  a2 x12  a3 x13  y1
a0  a1 x2  a2 x22  a3 x23  y2

a0  a1 x2  a2 x32  a3 x33  y3
Dengan metode eliminasi Gauss, didapatkan nilai a0,a1 dan a2.
Y
(x1,y1)
(x3,y3)
(x0,y0)
(x2,y2)
X
Resume
Interpolasi linier, kuadratik, kubik dan
seterusnya relatif kurang disukai disebabkan
persamaan yang diperoleh (terutama yang
berderajat tinggi) akan berkondisi buruk.
Interpolasi Lagrange


Nama diambil dari penemunya Joseph Louis Lagrange (Perancis)
Bentuk umum derajat <n untuk (n+1) titik berbeda :
n
pn ( x)   yi Li ( x)  y0 L0 ( x)  y1 L1 ( x)  ...  yn Ln ( x)
i 0
n
(x  x j )
j 0
j i
( xi  x j )
Li ( x)  


( x  x0 )(x  x1 )...(x  xi 1 )(x  xi 1 )...(x  xn )
( xi  x0 )(xi  x1 )...(xi  xi 1 )(xi  xi 1 )...(xi  xn )
Contoh Kasus :
Diberikan fungsi y = f(x) dengan 3 buah titik data dalam tabel berikut :
X
1
4
6
Y
1.5709
1.5727
1.5751
tentukan nilai f(3.5)!
Interpolasi Lagrange
function Lagrange (x:real; n: integer):
real;
var
i, j : integer;
pi, L : real;
begin
L = 0;
for i:=0 to n do
begin
pi :=1;
for j:=0 to n do
if i<>j then
pi:=pi*(x-x(j))/(x(i)-x(j));
endfor
L:=L+y(i)*pi;
endfor;
Lagrange :=L;
end.
Kurang disukai karena :
–
–
Jumlah komputasi yang
dibutuhkan untuk satu kali
interpolasi besar.
Hasil komputasi pada derajat
yang lebih rendah tidak bisa
digunakan untuk menghitung
derajat yang lebih tinggi.
Interpolasi Newton
Bentuk umum :

(i)
Rekurens :
pn(x) = pn-1(x)+an(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)
(ii)
Basis :
p0(x) = f(x0) = y0
a0  f ( x0 )
a1  f [ x1 , x0 ]
a2  f [ x2 , x1 , x0 ]
...
an  f [ xn , xn 1 ,..., x1 , x0 ]
f [ xi , x j ] 
f ( xi )  f ( x j )
f [ xi , x j , xk ] 
xi  x j
f [ xi , x j ]  f [ x j  xk ]
...
f [ xn , xn 1 ,..., x1 , x0 ] 

xi  xk
f [ xn , xn 1 ,..., x1 )  f [ xn 1 , xn 2 ,..., x0 )
xn  x0
Bentuk umum juga dapat ditulis :
pn ( x)  f ( x0 )  ( x  x0 ) f [ x1 , x0 ]  ( x  x0 )(x  x1 ) f [ x2 , x1 , x0 ]  ... 
( x  x0 )(x  x1 )...(x  xn1 ) f [ xn , xn1 ,...,x1 , x0 ]
Tabel Selisih Terbagi Newton
i
xi yi=f(xi)
ST-1
ST-2
…
ST-3
0
x0 f(x0)
f[x1,x0]
f[x2,x1,x0]
f[x3,x2,x1,x0]
1
x1 f(x1)
f[x2,x1]
f[x3,x2,x1]
…
2
x2 f(x2)
f[x3,x2]
…
3
x3 f(x3)
…
…
… … …
ST : Selisih Terbagi
Contoh Kasus :
Diberikan data pada tabel dibawah ini, taksirlah nilai fungsi di x = 2.5! Dengan
polinom newton orde 3.
xi
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
f(xi)
1.0000
0.5403
-0.4161
-0.9900
-0.6536
Interpolasi Spline
Tidak semua kasus semakin tinggi derajat kurva akan semakin bagus.
Misal untuk kasus dimana terdapat perubahan kecekungan yang
sangat mendadak  fungsi tangga.
Solusi : dibuat polinom per-potong yang berderajat rendah.



(xk,yk)
(x1,y1)
(xn,yn)
(x3,y3)
(x2,y2)
(x0,y0)

(xk+1,yk+1)
y = Sk(x) dan y = Sk+1(x) masing-masing terletak
Spline Linier

Setiap pasang titik