Transcript Wykład 03
Fale podłużne a fale
poprzeczne
zaburzenie, które się rozprzestrzenia się w czasie i przestrzeni.
poprzeczne :
podłużne :
kierunek drgań jest
prostopadły do kierunku
rozchodzenia się fali
(np. fala elektromagnetyczna)
drgania odbywają się w
kierunku równoległym do
kierunku jej rozchodzenia
(np. fala dźwiękowa, fale
gęstości, fale trzęsień Ziemi,
fale p)
Równanie falowe
Jednowymiarowe skalarne równanie falowe (wyprowadzimy je z
równań Maxwella) funkcji f:
2f
x2
1 2f
v2 t 2
0
Skalarne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu,
opisujące propagację różnorodnych fal (elektromagnetycznych,
dźwiękowych, fal powierzchniowych).
Fale elektromagnetyczne (w tym pole elektryczne E fali świetlnej)
w próżni są rozwiązaniem równania falowego z v = c.
Fala płaska: E0 exp[i(k r t )]
Jest to fala o stałej częstotliwości, której powierzchnie falowe
(powierzchne jednakowej fazy) tworzą równoległe do siebie
płaszczyzny. Wypełniają one całą przestrzeń.
Płaszczyzny frontów
falowych fal
elektromagnetycznych
wędrują w próżni z
prędkością światła.
Fala płaska niesie więc nieskończoną energię.
Fala taka nie istnieje realnie!
Prędkość grupowa
Dla fali harmonicznej o zmieniającej się (modulowanej) amplitudzie prędkość grupowa
jest prędkością obwiedni fali nośnej.
E (t ) E0 ( z v g t ) exp[ ik ( z v pt )]
Obwiednia rozchodzi się z prędkością grupową.
Fala nośna rozchodzi się z prędkością fazową.
vgg
vpp
vg d /dk
Czy można:
• zatrzymać światło?
• przyspieszyć światło?!?
Wykład 3
Równania Maxwella
a fale świetlne
• Równania Maxwella
• Wyprowadzenie równania falowego z równań Maxwella
• Dlaczego fale świetlne w próżni (powietrzu) są falami
poprzecznymi
• Gęstość energii fali świetlnej
• Wektor Poyntinga
• Irradiancja (natężenie światła)
• Irradiancja superpozycji fal świetlnych
• Skąd się bierze światło?
• Wielkości częstości oscylacji atomowych i
cząsteczkowych
Zadania
Wektorowe równanie falowe
Teraz mamy strzałkę nad E.
2
E
1
2
E 2
0
2
v t
2
2 E 2 E 2 E
E
1
2 2 2
0
2
2
v t
x
y
z
Są to trzy niezależne równania
falowe; każde z nich dotyczy
składowych x, y, i z wektora E.
posiada rozwiązanie w postaci:
E r , t A exp i k r t
lub:
E r , t E0 exp i k r t
zespolona amplituda
Wektorowe równanie falowe (3D)
Teraz mamy strzałkę nad E.
2
E
1
2
E 2
0
2
v t
2 E 2 E 2 E
2 E
2 2 2 0
2
x
y
z
t
posiada rozwiązanie w postaci:
E r , t A exp i k r t
lub:
E r , t E0 exp i k r t
zespolona amplituda
Fale wyrażone przez zespolone amplitudy
wektorowe
Pola zespolone, E a więc i ich amplitudy E0 są teraz wektorami:
E r , t E0 exp i k r t
Zespolone amplitudy zapisane są więc przy pomocy aż sześciu liczb,
które trzeba znać, by te amplitudy w pełni określić!!!
składowa x
składowa y
składowa z
E0 (Re{Ex } i Im{Ex }, Re{E y } i Im{E y }, Re{Ez } i Im{Ez })
Powtórzenie; operatory różniczkowe
Różniczkowy operator wektorowy nabla :
,
,
x
y
z
Gradient funkcji skalarnej f :
f
f
f
f
,
,
x
y
z
- jest wektorem, wskazuje kierunek, w jakim wzrost funkcji f jest
największy.
Dywergencja – operator różniczkowy, który funkcji wektorowej
przypisuje wielkość skalarną
f x f y f z
f
x y z
Powtórzenie; operatory różniczkowe
Laplacian: operator różniczkowy drugiego rzędu,który można zdefiniować za pomocą operatorów gradientu i dywergencji:
Laplacian funkcji skalarnej:
f
2
f
f
f
f
,
,
x
y
z
2 f
2 f
2 f
2
2
x
y
z 2
Laplacian funkcji wektorowej: (działa na każdą ze składowych
funkcji wektorowej)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
f
f
f
f
f
f
f
f
fz
y
y
y
2
x
x
x
z
z
f 2
2 ,
, 2
2
2
2
2
2
2
x
y
z
x
y
z
x
y
z
Laplacian mówi nam o zakrzywieniu funkcji wektorowej
Powtórzenie; operatory różniczkowe
Rotacja
wektorowej
The Curlfunkcji
of a vector
function f :
f
f z f y f x f z f y f x
,
,
y
dz
z
dx
x
dy
tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego.
The
curl
can be przy
treatpomocy
ed as a matrix
determinant :
Rotacja może
być
zapisana
wyznacznika:
x
f
x
f x
y
y
fy
z
z
f z
W notacji Einsteina:
Jeżeli rotacja danego pola wektorowego jest równa zero (wektorem zerowym), to pole to jest bezwirowe.
Pole bezwirowe
posiada potencjał
(i odwrotnie:
potencjał
polem bezwirowym).
Functions
that tend
to cupole
rl arposiadające
ound have
large jest
curls
Równania Maxwell’a
Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności
pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami.
W próżni (w powietrzu):
Można z nich wyprowadzić znane dawniej prawa empiryczne takie, jak
prawo Faradaya czy prawo Ampera.
Po odpowiednim ich przekształceniu otrzymujemy równanie falowe, a
prędkość opisywanej przez nie fali równa jest prędkości światła w
próżni:
Równania Maxwell’a
Równania Maxwella opisują również fale elektromagnetyczne, których nie
widzimy.
•telefony komórkowe,
• radio,
•telewizja,
•łączność satelitarna,
• nawigacja morska i
lotnicza,
•systemy radiolokacji
•…
Równania Maxwell’a
Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności
pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami.
W próżni (w powietrzu):
zmienne
zmienne
E
H
H
E - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ],
2
B - indukcja magnetyczna, [T = Vs /m ],
0 - przenikalność elektryczna próżni,
0 - przenikalność magnetyczna,
- operator dywergencji, [1/m],
- operator rotacji, [1/m].
Z równań Maxwella można wyprowadzić równanie falowe fali
elektromagnetycznej.
E
Równania Maxwell’a
Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności
pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami.
W próżni (w powietrzu):
H
E - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ],
2
B - indukcja magnetyczna, [T = Vs /m ],
0 - przenikalność elektryczna próżni,
0 - przenikalność magnetyczna,
- operator dywergencji, [1/m],
- operator rotacji, [1/m].
E
H
E
H
E
H
Wyprowadzenie równania falowego
z równań Maxwella
B
E
t
Weźmy :
(RM)
[ E ] [
B
]
t
Zmieńmy kolejność różniczkowania zgodnie z regułą RHS:
[ E ] [ B]
t
Podstawiając za:
mamy:
0 i 0 są stałe w czasie:
[ E ]
E
B 0 0
t
E
[
] , lub:
00
t
t
2 E
[ E ]
00
t 2
(RM)
Wyprowadzenie równania falowego
z równań Maxwella
B
E
t
Weźmy :
(RM)
[ E ] [
B
]
t
Zmieńmy kolejność różniczkowania zgodnie z regułą RHS:
[ E ] [ B]
t
Podstawiając za:
mamy:
0 i 0 są stałe w czasie:
[ E ]
E
B 0 0
t
E
[
] , lub:
00
t
t
2 E
[ E ]
00
t 2
(RM)
Wyprowadzenie równania falowego
z równań Maxwella
B
E
t
Weźmy :
(RM)
[ E ] [
B
]
t
Zmieńmy kolejność różniczkowania zgodnie z regułą RHS:
[ E ] [ B]
t
Podstawiając za:
mamy:
0 i 0 są stałe w czasie:
[ E ]
B
0
E
0t
E
[
] , lub:
00
t
t
2 E
[ E ]
00
t 2
(RM)
Wyprowadzenie równania falowego
z równań Maxwella
B
E
t
Weźmy :
(RM)
[ E ] [
B
]
t
Zmieńmy kolejność różniczkowania zgodnie z regułą RHS:
[ E ] [ B]
t
Podstawiając za:
mamy:
0 i 0 są stałe w czasie:
[ E ]
E
B 0 0
t
E
[
] , lub:
00
t
t
2 E
[ E ]
00
t 2
(RM)
Wyprowadzenie równania falowego
z równań Maxwella
Skorzystamy teraz z lematu (do wykazania w domu):
[ f ] ( f ) 2 f
2 E
[ E ] 2
t
Wówczas:
2
E
2
(. E ) E
0 0
t 2
Ponieważ nigdzie nie mamy żadnej gęstości ładunku (próżnia), = 0,
(RM)
E 0
otrzymaliśmy równanie falowe,
o ile : 1/v2 =
2
E
2
E
0 0
t 2
Fala elektromagnetyczna propaguje się w próżni z
prędkością v = c:
Wyprowadzenie równania falowego
z równań Maxwella
Skorzystamy teraz z lematu (do wykazania w domu):
[ f ] ( f ) 2 f
2 E
[ E ]
0 0
t 2
Wówczas:
2
E
2
(. E ) E
0 0
t 2
Ponieważ nigdzie nie mamy żadnej gęstości ładunku (próżnia), = 0,
(RM)
E 0
otrzymaliśmy równanie falowe,
o ile : 1/v2 =
2
E
2
E
0 0
t 2
Fala elektromagnetyczna propaguje się w próżni z
prędkością v = c:
Wyprowadzenie równania falowego
z równań Maxwella
Skorzystamy teraz z lematu (do wykazania w domu):
[ f ] ( f ) 2 f
2 E
[ E ]
0 0
t 2
Wówczas:
2
E
2
(. E ) E
0 0
t 2
Ponieważ nigdzie nie mamy żadnej gęstości ładunku (próżnia), = 0,
(RM)
E 0
otrzymaliśmy równanie falowe,
o ile : 1/v2 =
2
E
2
E
0 0
t 2
Fala elektromagnetyczna propaguje się w próżni z
prędkością v = c:
Wyprowadzenie równania falowego
z równań Maxwella
Skorzystamy teraz z lematu (do wykazania w domu):
[ f ] ( f ) 2 f
2 E
[ E ]
0 0
t 2
Wówczas:
2
E
2
(. E ) E
0 0
t 2
Ponieważ nigdzie nie mamy żadnej gęstości ładunku (próżnia), = 0,
(RM)
E 0
otrzymaliśmy równanie falowe,
o ile : 1/v2 =
2
E
2
E
0 0
t 2
Fala elektromagnetyczna propaguje się w próżni z
prędkością v = c:
Wyprowadzenie równania falowego
z równań Maxwella
Skorzystamy teraz z lematu (do wykazania w domu):
[ f ] ( f ) 2 f
2 E
[ E ]
0 0
t 2
Wówczas:
2
E
2
(. E ) E
0 0
t 2
Ponieważ nigdzie nie mamy żadnej gęstości ładunku (próżnia), = 0,
(RM)
E 0
otrzymaliśmy równanie falowe,
o ile: :
0 0
1
v2
2
E
2
E
0 0
t 2
Fala elektromagnetyczna propaguje się w próżni z
prędkością v = c:
Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna
w próżni jest falą poprzeczną?
Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x. Pole fali jest wówczas funkcją x i t,
tak więc wszystkie pochodne względem y i z są równe zero:
Ey
Ez By Bz
0
y
z
y
z
W ośrodku bez ładunków swobodnych:
a więc:
Ex Ey Ez
0
x
y
z
Tak więc mamy:
Ex
0
x
E 0 i
B 0
Bx By Bz
0
x
y
z
i
and
Bx
0
x
Tak więc nie ma propagujących się fal podłużnych.
(RM)
Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna
w próżni jest falą poprzeczną?
Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x. Pole fali jest wówczas funkcją x i t,
tak więc wszystkie pochodne względem y i z są równe zero:
Ey
Ez By Bz
0
y
z
y
z
W ośrodku bez ładunków swobodnych:
a więc:
Ex Ey Ez
0
x
y
z
Tak więc mamy:
Ex
0
x
E 0 i
B 0
Bx By Bz
0
x
y
z
i
and
Bx
0
x
Tak więc nie ma propagujących się fal podłużnych.
(RM)
Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna
w próżni jest falą poprzeczną?
Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x. Pole fali jest wówczas funkcja
x i t, tak więc wszystkie pochodne względem y i z są równe zero:
Ey
Ez By Bz
0
y
z
y
z
W ośrodku bez ładunków swobodnych:
a więc:
Ex Ey Ez
0
x
y
z
Tak więc mamy:
Ex
0
x
E 0 i
B 0
Bx By Bz
0
x
y
z
i
and
Bx
0
x
Tak więc w próżni 3D nie ma propagujących się fal podłużnych.
(RM)
Jaki jest kierunek pola magnetycznego
(indukcji magnetycznej)?
Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne skierowane
jest wzdłuż osi y [tak więc Ex = Ez= 0 i Ey = Ey(x,t)].
(RM)
Tak więc:
Ez E y Ex Ez E y Ex
B
E
,
,
t
y
z
z
x
x
y
E y
B
0, 0,
t
x
(istnieje tylko składowa z
obu wektorów)
Bz E y
t
x
EB k
Czyli pole magnetyczne wskazuje kierunek z.
Pole indukcji magnetycznej
jest prostopadłe do pola elektrycznego.
Wektory E , B, k tworzą układ prawoskrętny.
k
E
B
Jaki jest kierunek pola magnetycznego
(indukcji magnetycznej)?
Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne skierowane
jest wzdłuż osi y [tak więc Ex = Ez= 0 i Ey = Ey(x,t)].
(RM)
Tak więc:
Ez E y Ex Ez E y Ex
B
E
,
,
t
y
z
z
x
x
y
E y
B
0, 0,
t
x
(istnieje tylko składowa z
obu wektorów)
Bz E y
t
x
EB k
Czyli pole magnetyczne wskazuje kierunek z.
Pole indukcji magnetycznej
jest prostopadłe do pola elektrycznego.
Wektory E , B, k tworzą układ prawoskrętny.
k
E
B
Jaki jest kierunek pola magnetycznego
(indukcji magnetycznej)?
Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne skierowane
jest wzdłuż osi y [tak więc Ex = Ez= 0 i Ey = Ey(x,t)].
Jaki jest kierunek pola magnetycznego (indukcji magnetycznej)?
(RM)
Tak więc:
Ez E y Ex Ez E y Ex
B
E
,
,
t
y
z
z
x
x
y
E y
B
0, 0,
t
x
oraz:
Bz E y
t
x
- istnieje tylko składowa
„z”
wektora B
Czyli pole magnetyczne wskazuje kierunek z.
k
Pole indukcji magnetycznej jest prostopadłe do pola elektrycznego.
Wektory
tworzą układ prawoskrętny.
EB
E
B
Jaki jest kierunek pola magnetycznego
(indukcji magnetycznej)?
Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne skierowane
jest wzdłuż osi y [tak więc Ex = Ez= 0 i Ey = Ey(x,t)].
Jaki jest kierunek pola magnetycznego (indukcji magnetycznej)?
(RM)
Tak więc:
Ez E y Ex Ez E y Ex
B
E
,
,
t
y
z
z
x
x
y
E y
B
0, 0,
t
x
oraz:
Bz E y
t
x
- istnieje tylko składowa
„z”
wektora B
Czyli pole magnetyczne wskazuje kierunek z.
k
Pole indukcji magnetycznej jest prostopadłe do pola elektrycznego.
Wektory
tworzą układ prawoskrętny.
EB
E
B
Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna
w próżni jest falą poprzeczną?
Równania opisujące falę harmoniczną:
B
B
są rozwiązaniami równań Maxwella o ile:
k
2
2
c2
RELACJA DYSPERSJI
Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna
w próżni jest falą poprzeczną?
Równania opisujące falę harmoniczną:
B
B
są rozwiązaniami równań Maxwella o ile:
k
2
2
c2
RELACJA DYSPERSJI
k B 0 0 E
k E B
k B 0
k E 0
W ogólności:
Równania Maxwella
poddane transformacie Fouriera
zgodnie z regułą:
Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna
w próżni jest falą poprzeczną?
Równania opisujące falę harmoniczną:
B
B
są rozwiązaniami równań Maxwella o ile:
k
2
2
c2
RELACJA DYSPERSJI
k B 0 0 E
k E B
k B 0
k E 0
„Zdjęcie”
w czasie t:
( E B) k
E
k
B
Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna
w próżni jest falą poprzeczną?
Równania opisujące falę harmoniczną:
B
B
są rozwiązaniami równań Maxwella o ile:
k
2
2
c2
RELACJA DYSPERSJI
k B 0 0 E
k E B
k B 0
k E 0
Wektory E , B, k
tworzą układ prawoskrętny.
( E B) k
E
k
B
Wielkość pola magnetycznego fali świetlnej
Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne
skierowane jest wzdłuż osi y.
Start
with: z:
Startujemy
Bz E y
t
x
i
E y r , t E0 exp i kx t
t
Bz ( x, t ) Bz ( x,0)
We
can integrate:
Całkujemy:
Przyjmijmy Bz(x,0) = 0
Otrzymujemy:
Ponieważ
x
0
ik
Bz ( x, t )
E0 exp i (kx t )
i
/ k = c:
E y
1
Bz ( x, t ) E y ( x, t )
c
dt
Wielkość pola magnetycznego fali świetlnej
Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne
skierowane jest wzdłuż osi y.
Start
with: z:
Startujemy
Bz E y
t
x
i
E y r , t E0 exp i kx t
t
Bz ( x, t ) Bz ( x,0)
We
can integrate:
Całkujemy:
Przyjmijmy Bz(x,0) = 0
Otrzymujemy:
Ponieważ
x
0
ik
Bz ( x, t )
E0 exp i (kx t )
i
/ k = c:
E y
1
Bz ( x, t ) E y ( x, t )
c
dt
Wielkość pola magnetycznego fali świetlnej
Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne
skierowane jest wzdłuż osi y.
Start
with: z:
Startujemy
Bz E y
t
x
i
E y r , t E0 exp i kx t
t
Bz ( x, t ) Bz ( x,0)
We
can integrate:
Całkujemy:
Przyjmijmy Bz(x,0) = 0
Otrzymujemy:
Ponieważ
E y
x
0
ik
Bz ( x, t )
E0 exp i (kx t )
i
/ k = c:
dt
1
Bz ( x, t ) E y ( x, t )
c
Całkowanie Ey wzgledem x
daje ik, a całkowanie
względem t daje 1/(-i.
Wielkość pola magnetycznego fali świetlnej
Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne
skierowane jest wzdłuż osi y.
Start
with: z:
Startujemy
Bz E y
t
x
i
E y r , t E0 exp i kx t
t
Bz ( x, t ) Bz ( x,0)
We
can integrate:
Całkujemy:
Przyjmijmy Bz(x,0) = 0
Otrzymujemy:
Ponieważ
E y
x
0
ik
Bz ( x, t )
E0 exp i (kx t )
i
/ k = c:
dt
1
Bz ( x, t ) E y ( x, t )
c
Całkowanie Ey wzgledem x
daje ik, a całkowanie
względem t daje 1/(-i.
Siła działająca na ładunek
w polu fali świetlnej
Felectrical Fmagnetic
Siła Lorentza działajaca na
ładunek q:
F qE q v B
Porównajmy obie siły;
ich stosunek wynosi:
Ponieważ B = E/c:
Fmagnetic
Felectrical
Fmagnetic
Felectrical
qvB
qE
gdzie v jest
prędkością ładunku
v B vB sin
vB
v
c
Tak więc tak długo, jak prędkość ładunku jest dużo mniejsza niż prędkość
światła, część magnetyczna siły Lorentza jest dużo mniejsza niż część
elektryczna i można ją zaniedbać.
Siła działająca na ładunek
w polu fali świetlnej
Felectrical Fmagnetic
Siła Lorentza działajaca na
ładunek q:
F qE q v B
Porównajmy obie siły:
Fmagnetic
Felectrical
Ponieważ B = E/c:
Fmagnetic
Felectrical
qvB
qE
gdzie v jest
prędkością ładunku
gdyż:
v B vB sin
vB
v
c
Tak więc tak długo, jak prędkość ładunku jest dużo mniejsza niż prędkość
światła, część magnetyczna siły Lorentza jest dużo mniejsza niż część
elektryczna i można ją zaniedbać.
Siła działająca na ładunek
w polu fali świetlnej
Felectrical Fmagnetic
Siła Lorentza działajaca na
ładunek q:
F qE q v B
Porównajmy obie siły:
Fmagnetic
Felectrical
Ponieważ B = E/c:
Fmagnetic
Felectrical
qvB
qE
gdzie v jest
prędkością ładunku
gdyż:
v B vB sin
vB
v
c
Tak więc tak długo, jak prędkość ładunku jest dużo mniejsza niż prędkość
światła, część magnetyczna siły Lorentza jest dużo mniejsza niż część
elektryczna i można ją zaniedbać.
Siła działająca na ładunek
w polu fali świetlnej
Felectrical Fmagnetic
Siła Lorentza działajaca na
ładunek q:
F qE q v B
Porównajmy obie siły;
ich stosunek wynosi:
Ponieważ B = E/c:
Fmagnetic
Felectrical
Fmagnetic
Felectrical
qvB
qE
gdzie v jest
prędkością ładunku
v B vB sin
vB
v
c
Tak więc tak długo, jak prędkość ładunku jest dużo mniejsza niż prędkość
światła, część magnetyczna siły Lorentza jest dużo mniejsza niż część
elektryczna i można ją zaniedbać.
Gęstość energii fali świetlnej
(Gęstość energii pola: energia pola w jednostce objętości)
Gęstość energii pola elektrycznego:
Gęstość energii pola magnetycznego:
, a więc:
Dla fali: B = E/c, i
1 2
UE E
2
11 2
UB
B
2
B E
Mamy więc:
11 2
1 2
UB
E E U E
2
2
Całkowita gęstość energii:
U UE UB E2
Tak więc gęstość energii pola elektrycznego i magnetycznego fali
świetlnej są równe.
W poszukiwaniu wielkości, które dają się zmierzyć, czy też tych, na które reaguje nasze oko
Gęstość energii fali świetlnej
(Gęstość energii pola: energia pola w jednostce objętości)
Gęstość energii pola elektrycznego:
Gęstość energii pola magnetycznego:
Dla fali:
, a więc:
B = E/c, i
1 2
UE E
2
11 2
UB
B
2
0 0
B E
Mamy więc:
11 2
1 E22
UB
E
0E U E
0 0
2
2
Całkowita gęstość energii:
22
E
U U E U B E
0
Tak więc gęstość energii pola elektrycznego i magnetycznego fali
świetlnej są równe.
Gęstość energii fali świetlnej
(Gęstość energii pola: energia pola w jednostce objętości)
Gęstość energii pola elektrycznego:
Gęstość energii pola magnetycznego:
, a więc:
Dla fali: B = E/c, i
1 2
UE E
2
11 2
UB
B
2
B E
0 0
Mamy więc:
11 2
1 22
UB
E
0EE U E
0 0
2
2
Całkowita gęstość energii:
2
U U E U B E0 E2
Tak więc udział gęstości energii pola elektrycznego i magnetycznego
fali EM w całkowitej gęstości energii pola EM jest taki sam.
U – gęstość energii pola
Wektor Poyntinga:
A
[
-
strumień energii przenoszonej przez wiązkę
światła (moc przepływająca przez jednostkę
powierzchni)
]
c Dt
gęstość strumienia energii = gęstość energii x prędkość jej transportu
Energia przepływająca przez powierzchnię A w czasie Dt:
=
U V
=
U A c Dt
Energia przepływająca w jednostkowym czasie przez jednostkę
powierzchni:
= U V / ( A Dt ) = U c = c 0 E2
= c2 0 E B
W poszukiwaniu wielkości, które dają się zmierzyć, czy też tych, na które reaguje nasze oko
U – gęstość energii pola
Wektor Poyntinga:
A
[
-
strumień energii przenoszonej przez wiązkę
światła (moc przepływająca przez jednostkę
powierzchni)
]
c Dt
gęstość strumienia energii = gęstość energii x prędkość jej transportu
Energia przepływająca przez powierzchnię A w czasie Dt:
=
U V
=
U A c Dt
Energia przepływająca w jednostkowym czasie przez jednostkę
powierzchni:
= U V / ( A Dt ) = U c = c 0 E2
= c2 0 E B
W poszukiwaniu wielkości, które dają się zmierzyć, czy też tych, na które reaguje nasze oko
U – gęstość energii pola
Wektor Poyntinga:
A
[
-
strumień energii przenoszonej przez wiązkę
światła (moc przepływająca przez jednostkę
powierzchni)
]
V
c Dt
gęstość strumienia energii = gęstość energii x prędkość jej transportu
Energia przepływająca przez powierzchnię A w czasie Dt:
=
U V
=
U A c Dt
Energia przepływająca w jednostkowym czasie przez jednostkę
powierzchni:
= U V / ( A Dt ) = U c = c 0 E2
= c2 0 E B
W poszukiwaniu wielkości, które dają się zmierzyć, czy też tych, na które reaguje nasze oko
U – gęstość energii pola
Wektor Poyntinga:
A
[
-
strumień energii przenoszonej przez wiązkę
światła (moc przepływająca przez jednostkę
powierzchni)
]
V
c Dt
gęstość strumienia energii = gęstość energii x prędkość jej transportu
Energia przepływająca przez powierzchnię A w czasie Dt:
=
U V
=
U A c Dt
Energia przepływająca w jednostkowym czasie przez jednostkę
powierzchni:
= U V / ( A Dt ) = U c = c 0 E2
= c2 0 E B
W poszukiwaniu wielkości, które dają się zmierzyć, czy też tych, na które reaguje nasze oko
U – gęstość energii pola
Wektor Poyntinga:
A
[
-
strumień energii przenoszonej przez wiązkę
światła (moc przepływająca przez jednostkę
powierzchni)
]
c Dt
gęstość strumienia energii = gęstość energii x prędkość jej transportu
Energia przepływająca przez powierzchnię A w czasie Dt:
=
U V
=
U A c Dt
Energia przepływająca w jednostkowym czasie przez jednostkę
powierzchni:
= U V / ( A Dt ) = U c = c 0 E2
= c2 0 E B
U – gęstość energii pola
Wektor Poyntinga:
2
S c ε0 E B
-
A
[
strumień energii przenoszonej przez wiązkę
światła (moc przepływająca przez jednostkę
powierzchni)
]
c Dt
gęstość strumienia energii = gęstość energii x prędkość jej transportu
Energia przepływająca przez powierzchnię A w czasie Dt:
=
U V
=
U A c Dt
Energia przepływająca w jednostkowym czasie przez jednostkę
powierzchni:
= U V / ( A Dt ) = U c = c 0 E2
= c2 0 E B
Wektor Poyntinga:
2
S c ε0 E B
Podstawiając:
i
E(r ,t) E0 cos [(k r – ωt ) – θ ]
H(r ,t) H 0 cos [(k r – ωt ) – θ ]
do wyrażenia na wektor Poyntinga:
S (r , t ) c2 E0 B0 cos2 (k r t )
wielkość szybkozmienna w czasie!
Średnia z cos2 jest równa 1/2:
I (r , t ) S (r , t )
c 2 E0 B0 (1/ 2)
Irradiancja (lub nieprawidłowo, choć często używane:
natężenie) wiązki światła
średni strumień energii
Podstawiając:
i
E(r ,t) E0 cos [(k r – ωt ) – θ ]
H(r ,t) H 0 cos [(k r – ωt ) – θ ]
do wyrażenia na wektor Poyntinga:
S (r , t ) c2 E0 B0 cos2 (k r t )
wielkość szybkozmienna w czasie!
Średnia z cos2 jest równa 1/2:
I (r , t ) S (r , t )
c 2 E0 B0 (1/ 2)
Irradiancja (lub nieprawidłowo, choć często używane:
natężenie) wiązki światła
Ponieważ pola elektryczne i magnetyczne fali są wzajemnie
prostopadłe, oraz B0 = E0 / c, oraz E B k , w kierunku propagacji
irradiancja I (natężenie) fali wyraża się:
1
I | S t | c 0
2
czyli:
2
gdzie:
[W/m2]
I~
E0 E0 x E0*x E0 y E0* y E0 z E0*z
Irradiancja (lub nieprawidłowo, choć często używane:
natężenie) wiązki światła
Ponieważ pola elektryczne i magnetyczne fali są wzajemnie
prostopadłe, oraz B0 = E0 / c, oraz E B k , w kierunku propagacji
irradiancja I (natężenie) fali wyraża się:
1
I | S t | c 0
2
czyli:
[W/m2]
I~
2
gdzie:
E0 E0 x E0*x E0 y E0* y E0 z E0*z
Pamiętajmy: rozważania nasze są poprawne dla fali harmonicznej
rozchodzącej się w próżni. Falę opisaliśmy:
E r , t Re E0 exp i k r t
Irradiancja (lub nieprawidłowo, choć często używane:
natężenie) wiązki światła
1
I | S t | c 0
2
[W/m2]
?
S (na pow. Ziemi) =1400 W/m2
laserem osiągalne S 1020 W/m2 E 109 V/m
pola wewnątrz atomów
Irradiancja (lub nieprawidłowo, choć często używane:
natężenie) wiązki światła
1
I | S t | c 0
2
[W/m2]
?
S (na pow. Ziemi) =1400 W/m2
laserem osiągalne S 1020 W/m2 E 109 V/m
pola wewnątrz atomów
Irradiancja (lub nieprawidłowo, choć często używane:
natężenie) wiązki światła
1
I | S t | c 0
2
[W/m2]
S (na pow. Ziemi) =1400 W/m2
laserem osiągalne S 1020 W/m2 E 109 V/m
pola wewnątrz atomów
?
Zwierciadło Archimedesa
Giulio Parigi (1571-1635)
Galleria degli Uffizi (Florencja)
Światło jako broń (?)
Wcześni historycy
greccy i rzymscy
donoszą, że
Archimedes wyposażył
setki ludzi w metalowe
zwierciadła by
zogniskować światło
słoneczne na
rzymskich statkach
wojennych w bitwie
pod Syrakuzami (213 211 BCE).
Jest to historia apokryficzna
Podsumowanie:
k B 0 0 E
k E B
k B 0
k E 0
E cB
•
•
•
•
•
Wektory E i B są wzajemnie prostopadłe.
Wektory E i B drgają w zgodnej fazie.
E
k
Fala EM jest falą poprzeczną
W próżni (w ośrodku izotropowym) fala elektromagnetyczna
transportuje energię prostopadle do swojego czoła.
Fala elektromagnetyczna w próżni (powietrzu) rozchodzi się z
prędkością c0 1
0 0
B
Sumowanie pól:
elektromagnetyzm jest teorią liniową,
zasada superpozycji obowiązuje.
Jeśli E1(x,t) and E2(x,t) są rozwiązaniami równania
falowego,
wówczas E (x,t) + E (x,t) jest
jego
2 (też
E1 E2 ) 2 E1 2 E2
2 ( E1 E2 ) 2 E1 1 2 E2 2
2
2
2
2
2
rozwiązaniem.
t
t
t2
x
x
x
• 2Oznacza to, że
wiązki światła
mogą
przechodzić
jedna
2
2
2
2
przez
( E1 E2drugą.
) 1 ( E1 E2 ) E1 1 E1 E2 1 2 E2
2
2 2
2
0
2
2
2
2
2
x
c
t
x
c t x
c t
• Oznacza to również, że mogą one konstruktywnie
lub
destruktywnie interferować:
Irradiancja sumy dwóch fal:
Jeśli obie są proporcjonalne do: exp i (k r t ) , irradiancja wynosi:
I 12 c E0 E0* 12 c E0 x E0 x* E0 y E0 y* E0 z E0 z *
E0 x E10 E2 0
Irradiancja sumy dwóch fal:
Jeśli obie są proporcjonalne do: exp i (k r t ) , irradiancja wynosi:
I 12 c E0 E0* 12 c E0 x E0 x* E0 y E0 y* E0 z E0 z *
E0 x E10 E2 0
Dla różnych polaryzacji: (np. w kierunku x i y):
I 12 c E0 x E0 x* E0 y E0 y* I x I y
natężenia dodają się
Dla takich samych polaryzacji np. w kierunku x: E0 x E1 E2
I 12 c E1 E1* 2 Re E1 E2* E2 E2*
Tak więc:
I I1 c Re E1 E2* I 2
Wyraz krzyżowy !
Wyrażenie krzyżowe związane jest z interferencją!
Irradiancja sumy dwóch fal:
Jeśli obie są proporcjonalne do: exp i (k r t ) , irradiancja wynosi:
I 12 c E0 E0* 12 c E0 x E0 x* E0 y E0 y* E0 z E0 z *
E0 x E10 E2 0
Dla różnych polaryzacji: (np. w kierunku x i y):
I 12 c E0 x E0 x* E0 y E0 y* I x I y
1
2
natężenia dodają się
Dla takich samych polaryzacji np. w kierunku x: E0 x E1 0 E2 0
I 12 c E1 0 E1*0 2 Re E10 E20* E20 E2*0
Tak więc:
I I1 c Re E1 E2* I 2
Wyraz krzyżowy !
Wyrażenie krzyżowe związane jest z interferencją!
Irradiancja sumy dwóch fal:
Jeśli obie są proporcjonalne do: exp i (k r t ) , irradiancja wynosi:
I 12 c E0 E0* 12 c E0 x E0 x* E0 y E0 y* E0 z E0 z *
E0 x E10 E2 0
Dla różnych polaryzacji: (np. w kierunku x i y):
I 12 c E0 x E0 x* E0 y E0 y* I x I y
1
2
natężenia dodają się
Dla takich samych polaryzacji np. w kierunku x: E0 x E1 0 E2 0
I 12 c E1 0 E1*0 2 Re E10 E20* E20 E2*0
Tak więc:
I I1 c Re E10 E2*0 I 2
Wyraz krzyżowy !
Wyrażenie krzyżowe związane jest z interferencją!
Zadanie:
Zapisz pole E i B płaskiej fali monochromatycznej o częstotliwości ,
która porusza się:
a) w kierunku ujemnym osi x i jest spolaryzowana* w kierunku osi z,
b) porusza się w kierunku wyznaczonym przez początek układu
współrzędnych i punkt (1,1,1) i jest spolaryzowana* równolegle do
płaszczyzny xz.
*)
Fala elektromagnetyczna jest spolaryzowana w danym kierunku
(lub w danej płaszczyźnie) gdy jej wektor elektryczny oscyluje
zgodnie z tym kierunkiem (lub w tej płaszczyźnie).
Równania Maxwella
Widzieliśmy, że w pustej przestrzeni równania Maxwella (równanie
falowe) opisuje propagację światła.
H
E
H
E
H
E
H
Ale skąd się pochodzi światło, co jest jego pierwotnym źródłem?
Musi nim być materia.
Równania Maxwell’a
Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności
pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami.
W ośrodkach liniowych:
sformułowanie „makroskopowe”
E - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ],
B - indukcja magnetyczna, [T = Vs /m2 ],
- indukcja elektryczna, [ C / m2]
- natężenie pola magnetycznego, [ A / m ] D 0 0 E 0 P
r - przenikalność elektryczna ośrodka, (wzgledna)
r - przenikalność magnetyczna ośrodka, (wzgledna)
- gęstość prądu swobodnego, [A/m2],
- gęstość ładunku swobodnego, [ C / m3]
- operator dywergencji, [1/m],
- operator rotacji, [1/m].
Równania Maxwell’a
Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności
pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami.
W ośrodkach liniowych:
E - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ],
B - indukcja magnetyczna, [ T = Vs /m2],
- indukcja elektryczna, [ C / m2]
- natężenie pola magnetycznego, [ A / m ]
D 0 0 E 0 P
r - przenikalność elektryczna ośrodka (względna),
r - przenikalność magnetyczna ośrodka (względna),
- gęstość prądu, [A/m2],
- gęstość ładunku, [ C / m3]
- operator dywergencji, [1/m],
- operator rotacji, [1/m].
Równania Maxwell’a
Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności
pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami.
W ośrodkach liniowych:
E - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ],
B - indukcja magnetyczna, [ T = Vs /m2],
- indukcja elektryczna, [ C / m2]
- natężenie pola magnetycznego, [ A / m ]
r - funkcja dielektryczna r = r(),
r - przenikalność magnetyczna ośrodka,
- gęstość prądu swobodnego, [A/m2],
- gęstość ładunku swobodnego, [ C / m3]
- operator dywergencji, [1/m],
- operator rotacji, [1/m].
D 0E P
Źródła światła
przyspieszane ładunki niezwiazane
Liniowo przyspieszane
ładunki
Promeniowanie
synchrotronowe promieniowanie emitowane
przez naładowane cząstki
przyspieszane po
krzywoliniowych torach np.. w
polu magnetycznym
Promieniowanie hamowania (niem.
Bremsstrahlung) - promieniowanie
powstające podczas hamowania cząstki
obdarzonej ładunkiem elektrycznym
(np. w trakcie hamowania w zderzeniu z
inną czastką naładowaną).
B
Źródła światła: polaryzacja
Ośrodek spolaryzowany
(obojętny elektrycznie jako całość):
Gdy drgania ładunków (elektronów)
są skorelowane, ośrodek jest
spolaryzowany.
Polaryzacja ośrodka może się
zmieniać harmonicznie w czasie.
Ośrodek spolaryzowany:
Gdy drgania ładunków (elektronów)
są skorelowane, ośrodek jest
spolaryzowany.
Polaryzacja ośrodka może się
zmieniać harmonicznie w czasie.
E 0
B
E
t
B 0
E
P
B 0 0
0
t
t
Indukowana polaryzacja ośrodka
jest zawarta w równaniach
Maxwell’a (przyjęto, że r=1):
Rzędy wielkości częstości oscylacji
atomowych i cząsteczkowych:
Oscylacje elektronów wynikające z ich ruchu
wokół jader atomowych:
Duża częstość: ~1014 - 1017 cykli na sekundę.
Oscylacje jąder cząsteczek
względem siebie:
Pośrednie częstości:
~1011 - 1013 cykli na sekundę.
Rotacja jąder cząsteczek:
Niskie częstości: ~109 - 1010 cykli na sekundę.
Energiom związanym z oscylacjami przypisać można poziomy energetyczne
Oscylacje atomowe i cząsteczkowe obrazu
klasycznego odpowiadają przejściom między
poziomami energetycznymi w opisie
kwantowym.
Energia
Stan wzbudzony
DE = hn
Stan podstawowy
Atom oscylujący z
czestością n.
Atom oscylujący między stanem
wzbudzonym i podstawowym.
Wzbudzone atomy spontanicznie
emitują fotony.
Kiedy atom wraca do stanu o niższym poziomie energii, emituje foton.
Energia
Stan wzbudzony
Stan podstawowy
Cząsteczki na ogół pozostają dłużej wzbudzone ( ~ kilka nsek).
Emisja fotonu: fluorescencja lub, dla dłuższych czasów życia:
fosforescencja.
Cząsteczki posiadają znacznie bardziej
zróżnicowane poziomy energetyczne niż atomy.
Przykład poziomów energetycznych cząsteczki:
E = Eel + Evib + Erot
1szy wzbudzony
stan elektronowy
Energia
2gi wzbudzony
stan elektronowy
Wzbudzony poziom
rotacyjno-oscyalcyjny
Przejście między stanami elektronowymi
Podstawowy
stan elektronowy
Dodatkowo widmo
komplikuje się wskutek
sprzężenia spin-orbita,
obecności spinu
jądrowego etc.
Tak więc cząsteczki mają zwykle dość złożone widma.
Dziękuję za uwagę
Lemma:
[ f ] ( f ) 2 f
Proof: Look first at the LHS of the above formula:
Taking the 2nd
f z f y f x f z f y f x
[ f ]
,
,
yields:
y
z
z
x
x
y
x-component:
y-component:
z-component:
2 f y 2 fx
xy y 2
2 fx 2 fz
2
z
x
z
2 fx 2 fz
2
xz x
2
2 fz f y
2
zy
y
2 fz 2 f y
zy z 2
2 f y 2 fx
2
xy
x
Lemma (cont’d):
[ f ] ( f ) 2 f
Proof (cont’d):
Now, look at the RHS:
( f ) 2 f
f x f y f z
( f ) (
)
x y z
2
2 fx f y 2 fz
( 2
,
x
xy xz
2
2 fx f y 2 fz
2
,
xy y
yz
2
2 fx f y 2 fz
2 )
xz zy z
2
2
2
2
2
2
f
f
fy
f
f
f
y
y
2
x
x
x
f ( 2 2 2 , 2 2 2 ,
x
y
z
x
y
z
2 fz 2 fz 2 fz
2 2 2 )
x
y
z
Sumowanie pól:
elektromagnetyzm jest teorią liniową,
zasada superpozycji obowiązuje.
Jeśli E1(x,t) and E2(x,t) są rozwiązaniami równania falowego, wówczas
E1(x,t) + E2(x,t) jest też jego rozwiązaniem
2 ( E1 E2 ) 2 E1 2 E2
2
2
x
x
x2
2 ( E1 E2 ) 2 E1 2 E2
2
2
t
t
t2
2 ( E1 E2 ) 1 2 ( E1 E2 ) 2 E1 1 2 E1 2 E2 1 2 E2
2
2 2
2
0
2
2
2
2
2
x
c
t
c t x
c t
x
Oznacza to, że wiązki światła mogą przechodzić jedna przez drugą.
Oznacza to również, że mogą one konstruktywnie lub destruktywnie
interferować:
1. Proof that f (x ± vt) solves the
wave equation (z wykładu 02 Fale)
Write f (x ± vt) as f (u), where u = x ± vt. So u 1 and
x
Now, use the chain rule:
f f u
x u x
2
f f
f 2f
So
and
2
x u
x
u2
f f u
t u t
2
2f
f
f
f
2
v
v
t
u
t2
u2
Substituting into the wave equation:
2f
1 2f
2
2
x
v t2
u
v
t
2f
1 22f
2 v
0
2
2
u
v u