Transcript Wykład 03

Fale podłużne a fale
poprzeczne
zaburzenie, które się rozprzestrzenia się w czasie i przestrzeni.
poprzeczne :
podłużne :
kierunek drgań jest
prostopadły do kierunku
rozchodzenia się fali
(np. fala elektromagnetyczna)
drgania odbywają się w
kierunku równoległym do
kierunku jej rozchodzenia
(np. fala dźwiękowa, fale
gęstości, fale trzęsień Ziemi,
fale p)
Równanie falowe
Jednowymiarowe skalarne równanie falowe (wyprowadzimy je z
równań Maxwella) funkcji f:
2f
 x2

1 2f
v2  t 2
 0
Skalarne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu,
opisujące propagację różnorodnych fal (elektromagnetycznych,
dźwiękowych, fal powierzchniowych).
Fale elektromagnetyczne (w tym pole elektryczne E fali świetlnej)
w próżni są rozwiązaniem równania falowego z v = c.
Fala płaska: E0 exp[i(k  r  t )]
Jest to fala o stałej częstotliwości, której powierzchnie falowe
(powierzchne jednakowej fazy) tworzą równoległe do siebie
płaszczyzny. Wypełniają one całą przestrzeń.
Płaszczyzny frontów
falowych fal
elektromagnetycznych
wędrują w próżni z
prędkością światła.
Fala płaska niesie więc nieskończoną energię.
Fala taka nie istnieje realnie!
Prędkość grupowa
Dla fali harmonicznej o zmieniającej się (modulowanej) amplitudzie prędkość grupowa
jest prędkością obwiedni fali nośnej.
E (t )  E0 ( z  v g t ) exp[ ik ( z  v pt )]
Obwiednia rozchodzi się z prędkością grupową.
Fala nośna rozchodzi się z prędkością fazową.
vgg
vpp
vg  d /dk
Czy można:
• zatrzymać światło?
• przyspieszyć światło?!?
Wykład 3
Równania Maxwella
a fale świetlne
• Równania Maxwella
• Wyprowadzenie równania falowego z równań Maxwella
• Dlaczego fale świetlne w próżni (powietrzu) są falami
poprzecznymi
• Gęstość energii fali świetlnej
• Wektor Poyntinga
• Irradiancja (natężenie światła)
• Irradiancja superpozycji fal świetlnych
• Skąd się bierze światło?
• Wielkości częstości oscylacji atomowych i
cząsteczkowych
Zadania
Wektorowe równanie falowe
Teraz mamy strzałkę nad E.
2

E
1
2
 E  2
0
2
v t
2
2 E 2 E 2 E

E
1
 2  2  2
0
2
2
v t
x
y
z
Są to trzy niezależne równania
falowe; każde z nich dotyczy
składowych x, y, i z wektora E.
posiada rozwiązanie w postaci:


E  r , t   A exp i k  r  t   


lub:


E  r , t   E0 exp i k  r  t 


zespolona amplituda
Wektorowe równanie falowe (3D)
Teraz mamy strzałkę nad E.
2

E
1
2
 E  2
0
2
v t
2 E 2 E 2 E
2 E
 2  2   2  0
2
x
y
z
t
posiada rozwiązanie w postaci:


E  r , t   A exp i k  r  t   


lub:


E  r , t   E0 exp i k  r  t 


zespolona amplituda
Fale wyrażone przez zespolone amplitudy
wektorowe
Pola zespolone, E a więc i ich amplitudy E0 są teraz wektorami:


E  r , t   E0 exp i k  r  t 


Zespolone amplitudy zapisane są więc przy pomocy aż sześciu liczb,
które trzeba znać, by te amplitudy w pełni określić!!!
składowa x
składowa y
składowa z
E0  (Re{Ex }  i Im{Ex }, Re{E y }  i Im{E y }, Re{Ez }  i Im{Ez })
Powtórzenie; operatory różniczkowe
Różniczkowy operator wektorowy nabla :
 


  
,
,


x

y

z


Gradient funkcji skalarnej f :
 f
f
f 
f  
,
,


x

y

z


- jest wektorem, wskazuje kierunek, w jakim wzrost funkcji f jest
największy.
Dywergencja – operator różniczkowy, który funkcji wektorowej
przypisuje wielkość skalarną
f x f y f z
 f 


x y z
Powtórzenie; operatory różniczkowe
Laplacian: operator różniczkowy drugiego rzędu,który można zdefiniować za pomocą operatorów gradientu i dywergencji:
Laplacian funkcji skalarnej:
 f
2
  f
 f
f
f 
  
,
,


x

y

z


2 f
2 f
2 f



2
2
x
y
z 2
Laplacian funkcji wektorowej: (działa na każdą ze składowych
funkcji wektorowej)
2
2
2
2
2
2
2
2
2


f

f

f

f

f

f

f

f

fz 
y
y
y
2
x
x
x
z
z
 f   2 
 2 ,


, 2 
 2 
2
2
2
2
2
 x
y
z
x
y
z
x
y
z 

Laplacian mówi nam o zakrzywieniu funkcji wektorowej
Powtórzenie; operatory różniczkowe
Rotacja
wektorowej
The Curlfunkcji
of a vector
function f :
 f
 f z f y f x f z f y f x 
 

,

,



y
dz

z
dx

x
dy


tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego.
The
curl
can be przy
treatpomocy
ed as a matrix
determinant :
Rotacja może
być
zapisana
wyznacznika:
x


 f  
 x

 f x
y

y
fy
z 


z 

f z 
W notacji Einsteina:
Jeżeli rotacja danego pola wektorowego jest równa zero (wektorem zerowym), to pole to jest bezwirowe.
Pole bezwirowe
posiada potencjał
(i odwrotnie:
potencjał
polem bezwirowym).
Functions
that tend
to cupole
rl arposiadające
ound have
large jest
curls
Równania Maxwell’a
Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności
pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami.
W próżni (w powietrzu):
Można z nich wyprowadzić znane dawniej prawa empiryczne takie, jak
prawo Faradaya czy prawo Ampera.
Po odpowiednim ich przekształceniu otrzymujemy równanie falowe, a
prędkość opisywanej przez nie fali równa jest prędkości światła w
próżni:
Równania Maxwell’a
Równania Maxwella opisują również fale elektromagnetyczne, których nie
widzimy.
•telefony komórkowe,
• radio,
•telewizja,
•łączność satelitarna,
• nawigacja morska i
lotnicza,
•systemy radiolokacji
•…
Równania Maxwell’a
Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności
pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami.
W próżni (w powietrzu):
zmienne
zmienne
E
H
H
E - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ],
2
B - indukcja magnetyczna, [T = Vs /m ],
0 - przenikalność elektryczna próżni,
0 - przenikalność magnetyczna,
 - operator dywergencji, [1/m],
 - operator rotacji, [1/m].
Z równań Maxwella można wyprowadzić równanie falowe fali
elektromagnetycznej.
E
Równania Maxwell’a
Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności
pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami.
W próżni (w powietrzu):
H
E - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ],
2
B - indukcja magnetyczna, [T = Vs /m ],
0 - przenikalność elektryczna próżni,
0 - przenikalność magnetyczna,
 - operator dywergencji, [1/m],
 - operator rotacji, [1/m].
E
H
E
H
E
H
Wyprowadzenie równania falowego
z równań Maxwella
B
 E  
t
Weźmy :
(RM)
 [ E ]   [
B
]
t
Zmieńmy kolejność różniczkowania zgodnie z regułą RHS:

  [  E ]   [  B]
t
Podstawiając za:
mamy:
0 i 0 są stałe w czasie:
  [  E ]  
E
 B  0 0
t

E
[ 
] , lub:
00
t
t
2 E
  [  E ]   
00
t 2
(RM)
Wyprowadzenie równania falowego
z równań Maxwella
B
 E  
t
Weźmy :
(RM)
 [ E ]   [
B
]
t
Zmieńmy kolejność różniczkowania zgodnie z regułą RHS:

  [  E ]   [  B]
t
Podstawiając za:
mamy:
0 i 0 są stałe w czasie:
  [  E ]  
E
 B  0 0
t

E
[ 
] , lub:
00
t
t
2 E
  [  E ]   
00
t 2
(RM)
Wyprowadzenie równania falowego
z równań Maxwella
B
 E  
t
Weźmy :
(RM)
 [ E ]   [
B
]
t
Zmieńmy kolejność różniczkowania zgodnie z regułą RHS:

  [  E ]   [  B]
t
Podstawiając za:
mamy:
0 i 0 są stałe w czasie:
  [  E ]  
 B  
0
E
0t

E
[ 
] , lub:
00
t
t
2 E
  [  E ]   
00
t 2
(RM)
Wyprowadzenie równania falowego
z równań Maxwella
B
 E  
t
Weźmy :
(RM)
 [ E ]   [
B
]
t
Zmieńmy kolejność różniczkowania zgodnie z regułą RHS:

  [  E ]   [  B]
t
Podstawiając za:
mamy:
0 i 0 są stałe w czasie:
  [  E ]  
E
 B  0 0
t

E
[ 
] , lub:
00
t
t
2 E
  [  E ]   
00
t 2
(RM)
Wyprowadzenie równania falowego
z równań Maxwella
Skorzystamy teraz z lematu (do wykazania w domu):
  [  f ]  (  f )   2 f
2 E
  [  E ]    2
t

Wówczas:
2

E
2
(.  E )   E   
0 0
t 2
Ponieważ nigdzie nie mamy żadnej gęstości ładunku (próżnia),  = 0,
(RM)
E  0
otrzymaliśmy równanie falowe,
o ile : 1/v2 =
2

E
2
 E  
0 0
t 2
Fala elektromagnetyczna propaguje się w próżni z
prędkością v = c:
Wyprowadzenie równania falowego
z równań Maxwella
Skorzystamy teraz z lematu (do wykazania w domu):
  [  f ]  (  f )   2 f
2 E
  [  E ]   
0 0
t 2

Wówczas:
2

E
2
(.  E )   E   
0 0
t 2
Ponieważ nigdzie nie mamy żadnej gęstości ładunku (próżnia),  = 0,
(RM)
E  0
otrzymaliśmy równanie falowe,
o ile : 1/v2 =
2

E
2
 E  
0 0
t 2
Fala elektromagnetyczna propaguje się w próżni z
prędkością v = c:
Wyprowadzenie równania falowego
z równań Maxwella
Skorzystamy teraz z lematu (do wykazania w domu):
  [  f ]  (  f )   2 f
2 E
  [  E ]   
0 0
t 2

Wówczas:
2

E
2
(.  E )   E   
0 0
t 2
Ponieważ nigdzie nie mamy żadnej gęstości ładunku (próżnia),  = 0,
(RM)
E  0
otrzymaliśmy równanie falowe,
o ile : 1/v2 =
2

E
2
 E  
0 0
t 2
Fala elektromagnetyczna propaguje się w próżni z
prędkością v = c:
Wyprowadzenie równania falowego
z równań Maxwella
Skorzystamy teraz z lematu (do wykazania w domu):
  [  f ]  (  f )   2 f
2 E
  [  E ]   
0 0
t 2

Wówczas:
2

E
2
(.  E )   E   
0 0
t 2
Ponieważ nigdzie nie mamy żadnej gęstości ładunku (próżnia),  = 0,
(RM)
E  0
otrzymaliśmy równanie falowe,
o ile : 1/v2 =
2

E
2
 E  
0 0
t 2
Fala elektromagnetyczna propaguje się w próżni z
prędkością v = c:
Wyprowadzenie równania falowego
z równań Maxwella
Skorzystamy teraz z lematu (do wykazania w domu):
  [  f ]  (  f )   2 f
2 E
  [  E ]   
0 0
t 2

Wówczas:
2

E
2
(.  E )   E   
0 0
t 2
Ponieważ nigdzie nie mamy żadnej gęstości ładunku (próżnia),  = 0,
(RM)
E  0
otrzymaliśmy równanie falowe,
o ile: :
 0 0 
1
v2
2

E
2
 E  
0 0
t 2
Fala elektromagnetyczna propaguje się w próżni z
prędkością v = c:
Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna
w próżni jest falą poprzeczną?
Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x. Pole fali jest wówczas funkcją x i t,
tak więc wszystkie pochodne względem y i z są równe zero:
Ey
Ez By Bz



0
y
z
y
z
W ośrodku bez ładunków swobodnych:
a więc:
Ex Ey Ez


0
x
y
z
Tak więc mamy:
Ex
0
x
E  0 i
B  0
Bx By Bz


0
x
y
z
i
and
Bx
0
x
Tak więc nie ma propagujących się fal podłużnych.
(RM)
Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna
w próżni jest falą poprzeczną?
Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x. Pole fali jest wówczas funkcją x i t,
tak więc wszystkie pochodne względem y i z są równe zero:
Ey
Ez By Bz



0
y
z
y
z
W ośrodku bez ładunków swobodnych:
a więc:
Ex Ey Ez


0
x
y
z
Tak więc mamy:
Ex
0
x
E  0 i
B  0
Bx By Bz


0
x
y
z
i
and
Bx
0
x
Tak więc nie ma propagujących się fal podłużnych.
(RM)
Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna
w próżni jest falą poprzeczną?
Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x. Pole fali jest wówczas funkcja
x i t, tak więc wszystkie pochodne względem y i z są równe zero:
Ey
Ez By Bz



0
y
z
y
z
W ośrodku bez ładunków swobodnych:
a więc:
Ex Ey Ez


0
x
y
z
Tak więc mamy:
Ex
0
x
E  0 i
B  0
Bx By Bz


0
x
y
z
i
and
Bx
0
x
Tak więc w próżni 3D nie ma propagujących się fal podłużnych.
(RM)
Jaki jest kierunek pola magnetycznego
(indukcji magnetycznej)?
Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne skierowane
jest wzdłuż osi y [tak więc Ex = Ez= 0 i Ey = Ey(x,t)].
(RM)
Tak więc:
 Ez E y Ex Ez E y Ex 
B

  E  

,

,


t

y

z

z

x

x

y


E y 
B 

  0, 0,

t 
x 
(istnieje tylko składowa z
obu wektorów)
Bz E y


t
x
EB  k
Czyli pole magnetyczne wskazuje kierunek z.
Pole indukcji magnetycznej
jest prostopadłe do pola elektrycznego.
 
Wektory E , B, k tworzą układ prawoskrętny.

k

E

B
Jaki jest kierunek pola magnetycznego
(indukcji magnetycznej)?
Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne skierowane
jest wzdłuż osi y [tak więc Ex = Ez= 0 i Ey = Ey(x,t)].
(RM)
Tak więc:
 Ez E y Ex Ez E y Ex 
B

  E  

,

,


t

y

z

z

x

x

y


E y 
B 

  0, 0,

t 
x 
(istnieje tylko składowa z
obu wektorów)
Bz E y


t
x
EB  k
Czyli pole magnetyczne wskazuje kierunek z.
Pole indukcji magnetycznej
jest prostopadłe do pola elektrycznego.
 
Wektory E , B, k tworzą układ prawoskrętny.

k

E

B
Jaki jest kierunek pola magnetycznego
(indukcji magnetycznej)?
Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne skierowane
jest wzdłuż osi y [tak więc Ex = Ez= 0 i Ey = Ey(x,t)].
Jaki jest kierunek pola magnetycznego (indukcji magnetycznej)?
(RM)
Tak więc:
 Ez E y Ex Ez E y Ex 
B

  E  

,

,


t

y

z

z

x

x

y


E y 
B 

  0, 0,

t 
x 
oraz:
Bz E y


t
x

- istnieje tylko składowa
„z”
wektora B
Czyli pole magnetyczne wskazuje kierunek z.

k
Pole indukcji magnetycznej jest prostopadłe do pola elektrycznego.
Wektory
tworzą układ prawoskrętny.
 
EB

E

B
Jaki jest kierunek pola magnetycznego
(indukcji magnetycznej)?
Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne skierowane
jest wzdłuż osi y [tak więc Ex = Ez= 0 i Ey = Ey(x,t)].
Jaki jest kierunek pola magnetycznego (indukcji magnetycznej)?
(RM)
Tak więc:
 Ez E y Ex Ez E y Ex 
B

  E  

,

,


t

y

z

z

x

x

y


E y 
B 

  0, 0,

t 
x 
oraz:
Bz E y


t
x

- istnieje tylko składowa
„z”
wektora B
Czyli pole magnetyczne wskazuje kierunek z.

k
Pole indukcji magnetycznej jest prostopadłe do pola elektrycznego.
Wektory
tworzą układ prawoskrętny.
 
EB

E

B
Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna
w próżni jest falą poprzeczną?
Równania opisujące falę harmoniczną:

B

B
są rozwiązaniami równań Maxwella o ile:
k 
2
2
c2
RELACJA DYSPERSJI
Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna
w próżni jest falą poprzeczną?
Równania opisujące falę harmoniczną:

B

B
są rozwiązaniami równań Maxwella o ile:
k 
2
2
c2
RELACJA DYSPERSJI
 

 k  B    0 0 E
 

k E B
 
k B  0
 
k E  0
W ogólności:
Równania Maxwella
poddane transformacie Fouriera
zgodnie z regułą:
Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna
w próżni jest falą poprzeczną?
Równania opisujące falę harmoniczną:

B

B
są rozwiązaniami równań Maxwella o ile:
k 
2
2
c2
RELACJA DYSPERSJI
 

 k  B    0 0 E
 

k E B
 
k B  0
 
k E  0
„Zdjęcie”
w czasie t:
 

( E  B)  k

E

k

B
Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna
w próżni jest falą poprzeczną?
Równania opisujące falę harmoniczną:

B

B
są rozwiązaniami równań Maxwella o ile:
k 
2
2
c2
RELACJA DYSPERSJI
 

 k  B    0 0 E
 

k E B
 
k B  0
 
k E  0
  
Wektory E , B, k
tworzą układ prawoskrętny.
 

( E  B)  k

E

k

B
Wielkość pola magnetycznego fali świetlnej
Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne
skierowane jest wzdłuż osi y.
Start
with: z:
Startujemy
Bz E y


t
x
i
E y  r , t   E0 exp i  kx   t  
t
Bz ( x, t )  Bz ( x,0) 
We
can integrate:
Całkujemy:
Przyjmijmy Bz(x,0) = 0
Otrzymujemy:
Ponieważ
 x
0
ik
Bz ( x, t )  
E0 exp i (kx   t ) 
i
/ k = c:
E y
1
Bz ( x, t )  E y ( x, t )
c
dt
Wielkość pola magnetycznego fali świetlnej
Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne
skierowane jest wzdłuż osi y.
Start
with: z:
Startujemy
Bz E y


t
x
i
E y  r , t   E0 exp i  kx   t  
t
Bz ( x, t )  Bz ( x,0) 
We
can integrate:
Całkujemy:
Przyjmijmy Bz(x,0) = 0
Otrzymujemy:
Ponieważ
 x
0
ik
Bz ( x, t )  
E0 exp i (kx   t ) 
i
/ k = c:
E y
1
Bz ( x, t )  E y ( x, t )
c
dt
Wielkość pola magnetycznego fali świetlnej
Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne
skierowane jest wzdłuż osi y.
Start
with: z:
Startujemy
Bz E y


t
x
i
E y  r , t   E0 exp i  kx   t  
t
Bz ( x, t )  Bz ( x,0) 
We
can integrate:
Całkujemy:
Przyjmijmy Bz(x,0) = 0
Otrzymujemy:
Ponieważ
E y
 x
0
ik
Bz ( x, t )  
E0 exp i (kx   t ) 
i
/ k = c:
dt
1
Bz ( x, t )  E y ( x, t )
c
Całkowanie Ey wzgledem x
daje ik, a całkowanie
względem t daje 1/(-i.
Wielkość pola magnetycznego fali świetlnej
Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne
skierowane jest wzdłuż osi y.
Start
with: z:
Startujemy
Bz E y


t
x
i
E y  r , t   E0 exp i  kx   t  
t
Bz ( x, t )  Bz ( x,0) 
We
can integrate:
Całkujemy:
Przyjmijmy Bz(x,0) = 0
Otrzymujemy:
Ponieważ
E y
 x
0
ik
Bz ( x, t )  
E0 exp i (kx   t ) 
i
/ k = c:
dt
1
Bz ( x, t )  E y ( x, t )
c
Całkowanie Ey wzgledem x
daje ik, a całkowanie
względem t daje 1/(-i.
Siła działająca na ładunek
w polu fali świetlnej
Felectrical Fmagnetic
Siła Lorentza działajaca na
ładunek q:
F  qE  q v  B
Porównajmy obie siły;
ich stosunek wynosi:
Ponieważ B = E/c:
Fmagnetic
Felectrical
Fmagnetic
Felectrical
qvB

qE
gdzie v jest
prędkością ładunku
v  B  vB sin 
 vB
v

c
Tak więc tak długo, jak prędkość ładunku jest dużo mniejsza niż prędkość
światła, część magnetyczna siły Lorentza jest dużo mniejsza niż część
elektryczna i można ją zaniedbać.
Siła działająca na ładunek
w polu fali świetlnej
Felectrical Fmagnetic
Siła Lorentza działajaca na
ładunek q:
F  qE  q v  B
Porównajmy obie siły:
Fmagnetic
Felectrical
Ponieważ B = E/c:
Fmagnetic
Felectrical
qvB

qE
gdzie v jest
prędkością ładunku
gdyż:
v  B  vB sin 
 vB
v

c
Tak więc tak długo, jak prędkość ładunku jest dużo mniejsza niż prędkość
światła, część magnetyczna siły Lorentza jest dużo mniejsza niż część
elektryczna i można ją zaniedbać.
Siła działająca na ładunek
w polu fali świetlnej
Felectrical Fmagnetic
Siła Lorentza działajaca na
ładunek q:
F  qE  q v  B
Porównajmy obie siły:
Fmagnetic
Felectrical
Ponieważ B = E/c:
Fmagnetic
Felectrical
qvB

qE
gdzie v jest
prędkością ładunku
gdyż:
v  B  vB sin 
 vB
v

c
Tak więc tak długo, jak prędkość ładunku jest dużo mniejsza niż prędkość
światła, część magnetyczna siły Lorentza jest dużo mniejsza niż część
elektryczna i można ją zaniedbać.
Siła działająca na ładunek
w polu fali świetlnej
Felectrical Fmagnetic
Siła Lorentza działajaca na
ładunek q:
F  qE  q v  B
Porównajmy obie siły;
ich stosunek wynosi:
Ponieważ B = E/c:
Fmagnetic
Felectrical
Fmagnetic
Felectrical
qvB

qE
gdzie v jest
prędkością ładunku
v  B  vB sin 
 vB
v

c
Tak więc tak długo, jak prędkość ładunku jest dużo mniejsza niż prędkość
światła, część magnetyczna siły Lorentza jest dużo mniejsza niż część
elektryczna i można ją zaniedbać.
Gęstość energii fali świetlnej
(Gęstość energii pola: energia pola w jednostce objętości)
Gęstość energii pola elektrycznego:
Gęstość energii pola magnetycznego:
, a więc:
Dla fali: B = E/c, i
1 2
UE   E
2
11 2
UB 
B
2
B  E 
Mamy więc:
11 2
1 2
UB 
E     E  U E

2
2
Całkowita gęstość energii:
U  UE UB   E2
Tak więc gęstość energii pola elektrycznego i magnetycznego fali
świetlnej są równe.
W poszukiwaniu wielkości, które dają się zmierzyć, czy też tych, na które reaguje nasze oko
Gęstość energii fali świetlnej
(Gęstość energii pola: energia pola w jednostce objętości)
Gęstość energii pola elektrycznego:
Gęstość energii pola magnetycznego:
Dla fali:
, a więc:
B = E/c, i
1 2
UE   E
2
11 2
UB 
B
2
 0 0
B  E 
Mamy więc:
11 2
1  E22
UB 
E 
0E  U E

0 0 
2
2
Całkowita gęstość energii:
22
E
U  U E  U B   E
0
Tak więc gęstość energii pola elektrycznego i magnetycznego fali
świetlnej są równe.
Gęstość energii fali świetlnej
(Gęstość energii pola: energia pola w jednostce objętości)
Gęstość energii pola elektrycznego:
Gęstość energii pola magnetycznego:
, a więc:
Dla fali: B = E/c, i
1 2
UE   E
2
11 2
UB 
B
2
B  E 
 0 0
Mamy więc:
11 2
1 22


UB 
E 
 0EE  U E

0 0 
2
2
Całkowita gęstość energii:
2
U  U E  U B  E0 E2
Tak więc udział gęstości energii pola elektrycznego i magnetycznego
fali EM w całkowitej gęstości energii pola EM jest taki sam.
U – gęstość energii pola
Wektor Poyntinga:
A
[
-
strumień energii przenoszonej przez wiązkę
światła (moc przepływająca przez jednostkę
powierzchni)
]
c Dt
gęstość strumienia energii = gęstość energii x prędkość jej transportu
Energia przepływająca przez powierzchnię A w czasie Dt:
=
U V
=
U A c Dt
Energia przepływająca w jednostkowym czasie przez jednostkę
powierzchni:
= U V / ( A Dt ) = U c = c 0 E2
= c2 0 E B
W poszukiwaniu wielkości, które dają się zmierzyć, czy też tych, na które reaguje nasze oko
U – gęstość energii pola
Wektor Poyntinga:
A
[
-
strumień energii przenoszonej przez wiązkę
światła (moc przepływająca przez jednostkę
powierzchni)
]
c Dt
gęstość strumienia energii = gęstość energii x prędkość jej transportu
Energia przepływająca przez powierzchnię A w czasie Dt:
=
U V
=
U A c Dt
Energia przepływająca w jednostkowym czasie przez jednostkę
powierzchni:
= U V / ( A Dt ) = U c = c 0 E2
= c2 0 E B
W poszukiwaniu wielkości, które dają się zmierzyć, czy też tych, na które reaguje nasze oko
U – gęstość energii pola
Wektor Poyntinga:
A
[
-
strumień energii przenoszonej przez wiązkę
światła (moc przepływająca przez jednostkę
powierzchni)
]
V
c Dt
gęstość strumienia energii = gęstość energii x prędkość jej transportu
Energia przepływająca przez powierzchnię A w czasie Dt:
=
U V
=
U A c Dt
Energia przepływająca w jednostkowym czasie przez jednostkę
powierzchni:
= U V / ( A Dt ) = U c = c 0 E2
= c2 0 E B
W poszukiwaniu wielkości, które dają się zmierzyć, czy też tych, na które reaguje nasze oko
U – gęstość energii pola
Wektor Poyntinga:
A
[
-
strumień energii przenoszonej przez wiązkę
światła (moc przepływająca przez jednostkę
powierzchni)
]
V
c Dt
gęstość strumienia energii = gęstość energii x prędkość jej transportu
Energia przepływająca przez powierzchnię A w czasie Dt:
=
U V
=
U A c Dt
Energia przepływająca w jednostkowym czasie przez jednostkę
powierzchni:
= U V / ( A Dt ) = U c = c 0 E2
= c2 0 E B
W poszukiwaniu wielkości, które dają się zmierzyć, czy też tych, na które reaguje nasze oko
U – gęstość energii pola
Wektor Poyntinga:
A
[
-
strumień energii przenoszonej przez wiązkę
światła (moc przepływająca przez jednostkę
powierzchni)
]
c Dt
gęstość strumienia energii = gęstość energii x prędkość jej transportu
Energia przepływająca przez powierzchnię A w czasie Dt:
=
U V
=
U A c Dt
Energia przepływająca w jednostkowym czasie przez jednostkę
powierzchni:
= U V / ( A Dt ) = U c = c 0 E2
= c2 0 E B
U – gęstość energii pola
Wektor Poyntinga:
 2  
S  c ε0 E  B
-
A
[
strumień energii przenoszonej przez wiązkę
światła (moc przepływająca przez jednostkę
powierzchni)
]
c Dt
gęstość strumienia energii = gęstość energii x prędkość jej transportu
Energia przepływająca przez powierzchnię A w czasie Dt:
=
U V
=
U A c Dt
Energia przepływająca w jednostkowym czasie przez jednostkę
powierzchni:
= U V / ( A Dt ) = U c = c 0 E2
= c2 0 E B
Wektor Poyntinga:
 2  
S  c ε0 E  B
Podstawiając:
i

 

E(r ,t)  E0 cos [(k r – ωt ) – θ ]

 

H(r ,t)  H 0 cos [(k r – ωt ) – θ ]
do wyrażenia na wektor Poyntinga:
S (r , t )  c2  E0  B0 cos2 (k  r   t  )
wielkość szybkozmienna w czasie!
Średnia z cos2 jest równa 1/2:
 I (r , t )  S (r , t ) 
 c 2  E0  B0 (1/ 2)
Irradiancja (lub nieprawidłowo, choć często używane:
natężenie) wiązki światła
średni strumień energii
Podstawiając: 
i



E(r ,t)  E0 cos [(k r – ωt ) – θ ]

 

H(r ,t)  H 0 cos [(k r – ωt ) – θ ]
do wyrażenia na wektor Poyntinga:
S (r , t )  c2  E0  B0 cos2 (k  r   t  )
wielkość szybkozmienna w czasie!
Średnia z cos2 jest równa 1/2:
 I (r , t )  S (r , t ) 
 c 2  E0  B0 (1/ 2)
Irradiancja (lub nieprawidłowo, choć często używane:
natężenie) wiązki światła
Ponieważ pola elektryczne i magnetyczne fali są wzajemnie
prostopadłe, oraz B0 = E0 / c, oraz E  B  k , w kierunku propagacji
irradiancja I (natężenie) fali wyraża się:

1
I | S  t | c 0
2
czyli:
2
gdzie:
[W/m2]
I~
E0  E0 x E0*x  E0 y E0* y  E0 z E0*z
Irradiancja (lub nieprawidłowo, choć często używane:
natężenie) wiązki światła
Ponieważ pola elektryczne i magnetyczne fali są wzajemnie
prostopadłe, oraz B0 = E0 / c, oraz E  B  k , w kierunku propagacji
irradiancja I (natężenie) fali wyraża się:

1
I | S  t | c 0
2
czyli:
[W/m2]
I~
2
gdzie:
E0  E0 x E0*x  E0 y E0* y  E0 z E0*z
Pamiętajmy: rozważania nasze są poprawne dla fali harmonicznej
rozchodzącej się w próżni. Falę opisaliśmy:


E  r , t   Re E0 exp i k  r   t 


Irradiancja (lub nieprawidłowo, choć często używane:
natężenie) wiązki światła

1
I | S  t | c 0
2
[W/m2]
?
 S  (na pow. Ziemi) =1400 W/m2

laserem osiągalne  S   1020 W/m2  E 109 V/m
 pola wewnątrz atomów
Irradiancja (lub nieprawidłowo, choć często używane:
natężenie) wiązki światła

1
I | S  t | c 0
2
[W/m2]
?
 S  (na pow. Ziemi) =1400 W/m2

laserem osiągalne  S   1020 W/m2  E 109 V/m
 pola wewnątrz atomów
Irradiancja (lub nieprawidłowo, choć często używane:
natężenie) wiązki światła

1
I | S  t | c 0
2
[W/m2]
 S  (na pow. Ziemi) =1400 W/m2

laserem osiągalne  S   1020 W/m2  E 109 V/m
 pola wewnątrz atomów
?
Zwierciadło Archimedesa
Giulio Parigi (1571-1635)
Galleria degli Uffizi (Florencja)
Światło jako broń (?)
Wcześni historycy
greccy i rzymscy
donoszą, że
Archimedes wyposażył
setki ludzi w metalowe
zwierciadła by
zogniskować światło
słoneczne na
rzymskich statkach
wojennych w bitwie
pod Syrakuzami (213 211 BCE).
Jest to historia apokryficzna
Podsumowanie:
 

 k  B    0 0 E
 

k E B
 
k B  0
 
k E  0
E cB
•
•
•
•
•
 
Wektory E i B są wzajemnie prostopadłe.
Wektory E i B drgają w zgodnej fazie.

E

k
Fala EM jest falą poprzeczną
W próżni (w ośrodku izotropowym) fala elektromagnetyczna
transportuje energię prostopadle do swojego czoła.
Fala elektromagnetyczna w próżni (powietrzu) rozchodzi się z
prędkością c0  1
 0 0

B
Sumowanie pól:
elektromagnetyzm jest teorią liniową,
zasada superpozycji obowiązuje.
Jeśli E1(x,t) and E2(x,t) są rozwiązaniami równania
falowego,
wówczas E (x,t) + E (x,t) jest
jego
 2 (też
E1  E2 )  2 E1  2 E2
 2 ( E1  E2 )  2 E1 1  2 E2 2




2
2
2
2
2
rozwiązaniem.
t
t
 t2
x
x
x
• 2Oznacza to, że
wiązki światła
mogą
przechodzić
jedna
2
2
2
2
 przez
( E1  E2drugą.
) 1  ( E1  E2 )   E1 1  E1    E2 1  2 E2 
 2
 2  2

 2
0
2
2
2 
2
2 
x
c
t
x
c t    x
c t 
• Oznacza to również, że mogą one konstruktywnie
lub
destruktywnie interferować:
Irradiancja sumy dwóch fal:
Jeśli obie są proporcjonalne do: exp i (k  r   t ) , irradiancja wynosi:


I  12 c E0  E0*  12 c  E0 x E0 x*  E0 y E0 y*  E0 z E0 z * 



E0 x  E10 E2 0
Irradiancja sumy dwóch fal:
Jeśli obie są proporcjonalne do: exp i (k  r   t ) , irradiancja wynosi:


I  12 c E0  E0*  12 c  E0 x E0 x*  E0 y E0 y*  E0 z E0 z * 



E0 x  E10 E2 0
Dla różnych polaryzacji: (np. w kierunku x i y):
I  12 c  E0 x  E0 x*  E0 y  E0 y*   I x  I y
natężenia dodają się
Dla takich samych polaryzacji np. w kierunku x: E0 x  E1  E2
I  12 c  E1  E1*  2 Re E1  E2*  E2  E2* 
Tak więc:
I  I1  c Re  E1  E2*   I 2
Wyraz krzyżowy !
Wyrażenie krzyżowe związane jest z interferencją!
Irradiancja sumy dwóch fal:
Jeśli obie są proporcjonalne do: exp i (k  r   t ) , irradiancja wynosi:


I  12 c E0  E0*  12 c  E0 x E0 x*  E0 y E0 y*  E0 z E0 z * 



E0 x  E10 E2 0
Dla różnych polaryzacji: (np. w kierunku x i y):
I  12 c  E0 x  E0 x*  E0 y  E0 y*   I x  I y
1
2
natężenia dodają się
Dla takich samych polaryzacji np. w kierunku x: E0 x  E1 0 E2 0
I  12 c  E1 0 E1*0  2 Re E10 E20*  E20 E2*0 
Tak więc:
I  I1  c Re  E1  E2*   I 2
Wyraz krzyżowy !
Wyrażenie krzyżowe związane jest z interferencją!
Irradiancja sumy dwóch fal:
Jeśli obie są proporcjonalne do: exp i (k  r   t ) , irradiancja wynosi:


I  12 c E0  E0*  12 c  E0 x E0 x*  E0 y E0 y*  E0 z E0 z * 



E0 x  E10 E2 0
Dla różnych polaryzacji: (np. w kierunku x i y):
I  12 c  E0 x  E0 x*  E0 y  E0 y*   I x  I y
1
2
natężenia dodają się
Dla takich samych polaryzacji np. w kierunku x: E0 x  E1 0 E2 0
I  12 c  E1 0 E1*0  2 Re E10 E20*  E20 E2*0 
Tak więc:
I  I1  c Re  E10 E2*0  I 2
Wyraz krzyżowy !
Wyrażenie krzyżowe związane jest z interferencją!
Zadanie:
Zapisz pole E i B płaskiej fali monochromatycznej o częstotliwości ,
która porusza się:
a) w kierunku ujemnym osi x i jest spolaryzowana* w kierunku osi z,
b) porusza się w kierunku wyznaczonym przez początek układu
współrzędnych i punkt (1,1,1) i jest spolaryzowana* równolegle do
płaszczyzny xz.
*)
Fala elektromagnetyczna jest spolaryzowana w danym kierunku
(lub w danej płaszczyźnie) gdy jej wektor elektryczny oscyluje
zgodnie z tym kierunkiem (lub w tej płaszczyźnie).
Równania Maxwella
Widzieliśmy, że w pustej przestrzeni równania Maxwella (równanie
falowe) opisuje propagację światła.
H
E
H
E
H
E
H
Ale skąd się pochodzi światło, co jest jego pierwotnym źródłem?
Musi nim być materia.
Równania Maxwell’a
Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności
pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami.
W ośrodkach liniowych:
sformułowanie „makroskopowe”
E - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ],
B - indukcja magnetyczna, [T = Vs /m2 ],
- indukcja elektryczna, [ C / m2]



- natężenie pola magnetycznego, [ A / m ] D  0 0 E  0 P
r - przenikalność elektryczna ośrodka, (wzgledna)
r - przenikalność magnetyczna ośrodka, (wzgledna)
- gęstość prądu swobodnego, [A/m2],
 - gęstość ładunku swobodnego, [ C / m3]
 - operator dywergencji, [1/m],
 - operator rotacji, [1/m].
Równania Maxwell’a
Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności
pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami.
W ośrodkach liniowych:
E - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ],
B - indukcja magnetyczna, [ T = Vs /m2],
- indukcja elektryczna, [ C / m2]



- natężenie pola magnetycznego, [ A / m ]
D  0 0 E  0 P
r - przenikalność elektryczna ośrodka (względna),
r - przenikalność magnetyczna ośrodka (względna),
- gęstość prądu, [A/m2],
 - gęstość ładunku, [ C / m3]
 - operator dywergencji, [1/m],
 - operator rotacji, [1/m].
Równania Maxwell’a
Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności
pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami.
W ośrodkach liniowych:
E - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ],
B - indukcja magnetyczna, [ T = Vs /m2],
- indukcja elektryczna, [ C / m2]
- natężenie pola magnetycznego, [ A / m ]
r - funkcja dielektryczna r = r(),
r - przenikalność magnetyczna ośrodka,
- gęstość prądu swobodnego, [A/m2],
 - gęstość ładunku swobodnego, [ C / m3]
 - operator dywergencji, [1/m],
 - operator rotacji, [1/m].

 
D  0E  P
Źródła światła
przyspieszane ładunki niezwiazane
Liniowo przyspieszane
ładunki
Promeniowanie
synchrotronowe promieniowanie emitowane
przez naładowane cząstki
przyspieszane po
krzywoliniowych torach np.. w
polu magnetycznym
Promieniowanie hamowania (niem.
Bremsstrahlung) - promieniowanie
powstające podczas hamowania cząstki
obdarzonej ładunkiem elektrycznym
(np. w trakcie hamowania w zderzeniu z
inną czastką naładowaną).
B
Źródła światła: polaryzacja
Ośrodek spolaryzowany
(obojętny elektrycznie jako całość):
Gdy drgania ładunków (elektronów)
są skorelowane, ośrodek jest
spolaryzowany.
Polaryzacja ośrodka może się
zmieniać harmonicznie w czasie.
Ośrodek spolaryzowany:
Gdy drgania ładunków (elektronów)
są skorelowane, ośrodek jest
spolaryzowany.
Polaryzacja ośrodka może się
zmieniać harmonicznie w czasie.
E  0
B
 E  
t
B  0
E
P
 B  0 0
 0
t
t
Indukowana polaryzacja ośrodka
jest zawarta w równaniach
Maxwell’a (przyjęto, że r=1):
Rzędy wielkości częstości oscylacji
atomowych i cząsteczkowych:
Oscylacje elektronów wynikające z ich ruchu
wokół jader atomowych:
Duża częstość: ~1014 - 1017 cykli na sekundę.
Oscylacje jąder cząsteczek
względem siebie:
Pośrednie częstości:
~1011 - 1013 cykli na sekundę.
Rotacja jąder cząsteczek:
Niskie częstości: ~109 - 1010 cykli na sekundę.
Energiom związanym z oscylacjami przypisać można poziomy energetyczne
Oscylacje atomowe i cząsteczkowe obrazu
klasycznego odpowiadają przejściom między
poziomami energetycznymi w opisie
kwantowym.

Energia
Stan wzbudzony
DE = hn
Stan podstawowy
Atom oscylujący z
czestością n.
Atom oscylujący między stanem
wzbudzonym i podstawowym.
Wzbudzone atomy spontanicznie
emitują fotony.
Kiedy atom wraca do stanu o niższym poziomie energii, emituje foton.
Energia
Stan wzbudzony
Stan podstawowy
Cząsteczki na ogół pozostają dłużej wzbudzone ( ~ kilka nsek).
Emisja fotonu: fluorescencja lub, dla dłuższych czasów życia:
fosforescencja.
Cząsteczki posiadają znacznie bardziej
zróżnicowane poziomy energetyczne niż atomy.
Przykład poziomów energetycznych cząsteczki:
E = Eel + Evib + Erot
1szy wzbudzony
stan elektronowy
Energia
2gi wzbudzony
stan elektronowy
Wzbudzony poziom
rotacyjno-oscyalcyjny
Przejście między stanami elektronowymi
Podstawowy
stan elektronowy
Dodatkowo widmo
komplikuje się wskutek
sprzężenia spin-orbita,
obecności spinu
jądrowego etc.
Tak więc cząsteczki mają zwykle dość złożone widma.
Dziękuję za uwagę
Lemma:
  [  f ]  (  f )   2 f
Proof: Look first at the LHS of the above formula:
Taking the 2nd
 f z f y f x f z f y f x 
 [ f ]   

,

,


yields:

y

z

z

x

x

y


x-component:
y-component:
z-component:

 2 f y 2 fx
 

 xy y 2

  2 fx 2 fz 
   2 


z

x

z

 
 2 fx 2 fz
 
 2
 xz x
2
  2 fz  f y 


  
2
zy 
  y
 2 fz 2 f y
 

 zy z 2

  2 f y 2 fx 

  

2
xy 
  x
Lemma (cont’d):
  [  f ]  (  f )   2 f
Proof (cont’d):
Now, look at the RHS:
(  f )   2 f
f x f y f z
(  f )   (


)
x y z
2
2 fx  f y 2 fz
( 2 

,
x
xy xz
2
2 fx  f y 2 fz
 2 
,
xy y
yz
2
2 fx  f y 2 fz

 2 )
xz zy z
2
2
2
2
2
2

f

f

fy

f

f

f
y
y
2
x
x
x
 f  (  2  2  2 ,  2  2  2 ,
x
y
z
x
y
z
2 fz 2 fz 2 fz
 2  2  2 )
x
y
z
Sumowanie pól:
elektromagnetyzm jest teorią liniową,
zasada superpozycji obowiązuje.
Jeśli E1(x,t) and E2(x,t) są rozwiązaniami równania falowego, wówczas
E1(x,t) + E2(x,t) jest też jego rozwiązaniem
 2 ( E1  E2 )  2 E1  2 E2


2
2
x
x
 x2
 2 ( E1  E2 )  2 E1  2 E2


2
2
t
t
 t2
 2 ( E1  E2 ) 1  2 ( E1  E2 )   2 E1 1  2 E1    2 E2 1  2 E2 
 2
 2  2

 2
0
2
2
2 
2
2 
x
c
t
c t    x
c t 
x
Oznacza to, że wiązki światła mogą przechodzić jedna przez drugą.
Oznacza to również, że mogą one konstruktywnie lub destruktywnie
interferować:
1. Proof that f (x ± vt) solves the
wave equation (z wykładu 02 Fale)
Write f (x ± vt) as f (u), where u = x ± vt. So  u  1 and
x
Now, use the chain rule:
f f u

 x u  x
2
f f

f 2f


So

and
2
 x u
x
 u2
 f  f u

t u t
2
2f

f
f
f
2
v

v

t
u
 t2
 u2
Substituting into the wave equation:
2f
1 2f
 2
2
x
v  t2
u
v
t
2f
1  22f 

 2 v
 0
2
2 
u
v  u 