Transcript Rentabilité d`un actif

Cours Corporate finance
Eléments de théorie du portefeuille
Le Medaf
 François Longin
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Plan
• Notions de rentabilité
 Définition
 Modélisation
• Eléments de théorie du portefeuille
 Portefeuille
 Diversification
• Le Medaf
 Le modèle de marché
 La relation du Medaf
 Le bêta
 Application : calcul du taux d’actualisation
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Rentabilité d’un actif (1)
• Définition de la rentabilité
 Notations :
Ri : rentabilité de l' actif i
Pt i : prix de l' actif i à la datet
Dti1,t : revenude l' actif i sur la période[t, t 1]

Calcul
Rti 

Pt i  Pt i1  Dti,t 1
Pt i1
Exercice : montrer la rentabilité correspond au TRI de la
séquence de flux d’investissement.
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Rentabilité d’un actif (2)
• Deux éléments dans la rentabilité
 Le rendement (yield en anglais) : dividende, intérêts, loyers,
etc.
Dti,t 1
Pt i1

La variation en capital (capital gain or loss en anglais) :
plus-value ou moins-value à la revente
Pt i  Pt i1
Pt i1
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Rentabilité d’un actif (3)
• Statistiques importantes (1)
 La moyenne des rentabilités

Espérance / anticipation de rentabilité pour le futur
T
1
~
R i   Rti
T t 1


Mesure de performance
La dispersion des rentabilités (autour de la moyenne)

La variance ou l’écart-type des rentabilités
 

T
1
~
~i
2
i
 R   Rt  R i
T t 1


2
 
~
 Ri 

1 T ~i
i
R

R
 t
T t 1

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Mesure sur risque (mesure globale)
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Rentabilité d’un actif (4)
• Statistiques importantes (2)
 Les quantiles de rentabilités

Probabilité d’observer une rentabilité en dessous d’un seuil donné

~i
PR x


Mesure du risque (mesure locale)
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Rentabilité d’un actif (5)
• Distribution historique des rentabilités – Histogramme
• Distribution paramétrique des rentabilités - Densité
 Exemple : la loi normale

Deux paramètres : la moyenne et la variance (les deux premiers
moments de la distribution)
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Modèle de Markowitz
• Qu’est-ce que c’est ?
 Modèle mathématique financier de construction de
portefeuilles de titres financiers (ou autres) reposant sur
l’optimisation du portefeuille en termes de rentabilité et
risque
 Portefeuilles optimaux


Portefeuille de rentabilité maximum pour un niveau de risque donné
Portefeuille de risque minimum pour un niveau de rentabilité donné
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Diversification du risque (1)
• Cas : portefeuille à deux actifs
 Actif 1: µ1 = 10% et σ1 = 20%
 Actif 2 : µ2 = 15% et σ2 = 30%
• Portefeuille : combinaison d’actifs
 x1 et x2 : poids de chaque actif dans le portefeuille
• Objectif : trouver le portefeuille qui minimise le risque pour
un niveau de rentabilité donné
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Diversification du risque (2)
• Portefeuille efficient
 Portefeuille qui, pour une rentabilité anticipée donnée (par
exemple 12%), minimise le risque.
 Portefeuille qui, pour un niveau de risque donné (par
exemple 20%), maximise la rentabilité anticipée.
 Portefeuille optimal au sens moyenne-variance
• Frontière efficiente
 Ensemble des portefeuilles efficients
• Exercice : utiliser l’outil de modélisation sur www.longin.fr
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Diversification du risque (3)
• Cas : n actifs risqués
 Caractérisation de la frontière efficiente
 Le portefeuille retenu par l’investisseur dépend de son
aversion au risque.
• Cas : 1 actif sans risque et n actifs risqués
 Caractérisation de la frontière efficiente
 Théorème de séparation : les portefeuilles optimaux sont
définis comme une combinaison de l’actif sans risque et du
portefeuille tangent (portefeuille de marché).
 Le portefeuille retenu par l’investisseur dépend de son
aversion au risque.
• Exercice : utiliser l’outil de modélisation sur www.longin.fr
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Diversification du risque (4)
• Cas : 1 actif sans risque et n actifs risqués
 Actif sans risque : µ0 = 5% et σ0 = 0%
 Portefeuille de marché M : µM = 10% et σM = 25%
 Portefeuille efficient P : µP et σP


Combinaison linéaire de l’actif sans risque (x) et du portefeuille de
marché (1-x) : µP = x·µ0 +(1-x)·µM et σP = (1-x)·σM
En remplaçant x par sa valeur il vient :
 M  0
 P  0 
 P
M


Il s’agit de l’équation de la frontière efficiente.
Interprétation économique : plus le risque est élevé, plus la
rentabilité exigée est élevée.
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Risque d’un actif
• Quel est le risque associé à un actif ?
 Portefeuille existant : µP et σP
 Projet ou actif risqué : µi et σi
• Comment prendre en compte le risque de cet actif au niveau
du taux d’actualisation ?
 Risque total de l’actif ? σi
 Contribution de l’actif au risque du portefeuille ?
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Le modèle de marché (1)
• Sources de risque
 Le risque sur chaque actif a deux origines :


Le risque systématique lié au marché : conjoncture affectant tous les
actifs
Le risque spécifique lié au titre considéré : événements propres à
l’actif (action, obligation, projet, etc.)
• Modélisation
 Rentabilité = Rentabilité anticipée + Erreur
 Par définition, l’erreur (le résidu) correspond à l’écart entre
la réalisation de la rentabilité et son anticipation.
 Cet écart est dû à un mouvement général du marché (risque
systématique) et à un mouvement propre à chaque actif
(risque spécifique).
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Le modèle de marché (2)
• Modélisation (suite)


~
~
~
Ri  i  i  RM  M  Si
• Notations
~
Ri : rentabilité de l'actif i
~
i  E Ri : espérancede rentabilité de l'actif i
~
RM : rentabilité du portefeuille de marchéM
~
E RM : espérancede rentabilité du portefeuille de marchéM
 
 
i  sensibilité de rentabilité de l' actif i au marchéM ou encore
intensitéde la covariation entrela rentabiltié de l' actif i
et la rentabilité du marchéM
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Le modèle de marché (3)
• Raisonnons sur un portefeuille P contenant n titres
 Composition du portefeuille : x1, x2, x3, … xn
• Modélisation du portefeuille P


~
~
~
RP  P  P  RM  M  SP
• Notation
~
RP  x1  R1  x2  R2  x3  R3  .... xn  Rn
 
~
E RP  x1  ER1   x2  ER2   x3  ER3   .... xn  ERn 
P  x1  1  x2  2  x3  3  .... xn  n
SP  x1  S1  x2  S2  x3  S3  .... xn  Sn
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Le modèle de marché (4)
• Diversification des n risques spécifiques
 Les aléas S1, S2, S3, …, Sn sont des variables aléatoires
centrées et indépendantes.
 Pour un portefeuille diversifié (i.e. tous les poids xi sont
petits), le risque spécifique du portefeuille disparaît.

Application de la loi des grands nombres
• Approximation pour la rentabilité d’un portefeuille
diversifié
~
~
RP  P  P  RM  M

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
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Le modèle de marché (5)
• Analyse du risque d’un portefeuille diversifié
 
 
 
~
2
2 ~
2 ~
 RP   P  RM   SP
2
• Interprétation :
2 ~
 RP : mesuredu risque global du portefeuille P
~
P2  2 RM : mesuredu risque systématique (nondiversifiable)
2 ~
 SP : mesuredu risque spécifiquedu portefeuille (diversifiable)
 
 
 
• Approximation pour le risque d’un portefeuille diversifié
2 ~
2
2 ~
 RP   P  RM
 
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 
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Le modèle de marché (6)
• Contribution d’un actif i au risque du portefeuille P
 Décomposition du risque de l’actif i
~
~
~
 2 Ri  i2  2 RM   2 Si
 
 
 
~
S  de l’actif i n’apparaît pas dans le
Le risque spécifique  2 i
risque d’un portefeuille diversifié.
 Seul le bêta de l’actif i apparaît dans le risque d’un
portefeuille diversifié.
• La contribution d’un actif i au risque du portefeuille P est
mesurée par le bêta.

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Le modèle de marché (7)
• Détermination de la prime de risque de l’actif i
 Décomposition de la prime de risque sur l’actif i
i  r  pi


La prime de risque pi doit être proportionnelle au bêta de
l’actif i qui est le seul risque non diversifiable.
pi    i
Démonstration :
M  r     M  r  
  M  r
pi  i  M  r 
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Le Medaf (1)
• Terminologie
 Medaf : modèle d’évaluation des actifs financiers
 CAPM : capital asset pricing model
• Rentabilité anticipée de l’actif i
i  r  i  M  r 
• Relation du Medaf ou CAPM
 La rentabilité anticipée d’un actif est égale à la somme du
taux sans risque et du bêta de l’actif fois la prime de risque
du marché.
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Le Medaf (2)
• Trois éléments à estimer
 Le taux sans risque
 La prime de risque du marché
 Le bêta de l’actif
• Utilité du Medaf
 Gestion d’actifs


Construction de portefeuilles efficients
Décisions d’investissement

Calcul du coût du capital
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Calcul du coût du capital en pratique
• Les entreprises utilisent le Medaf pour calculer le coût du capital.
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Le beta (1)
• Définition
covRi , RM 
i 
varRM 
i  r
i 
 M  i
• Interprétation
 Le beta mesure l’élasticité de l’actif par rapport au
portefeuille de marché.




Si un actif a un beta de 1, alors en moyenne il varie dans les mêmes
proportions que le marché.
Un actif avec un beta inférieur à 1 (0,8 par exemple) varie moins que
le marché.
Un actif avec un beta supérieur à 1 (1,5 par exemple) amplifie les
variations du marché.
Le beta est donc aussi une mesure du risque d’un actif.
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Le bêta (2)
• Estimation du beta
 Estimation de la régression linéaire de la rentabilité du titre i
sur la rentabilité du marché M


~
~
~
Ri  i  i  RM  M  Si

Le bêta :


Coefficient de la régression linéaire associé à la rentabilité du
portefeuille de marché M (variable explicative)
Pente de la droite de la régression
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Limites du Medaf
• Qu’est-ce que le portefeuille de marché ?
 En théorie, le portefeuille de marché contient tous les actifs :
actions, obligations, matières premières, immobilier, objets
d’art, capital humain, etc.

Difficulté d’observer le portefeuille de marché et donc à estimer sa
rentabilité
• Qu’est-ce qu’un actif ?
 Historique de rentabilités pour un actif de marché
 Quid d’un nouveau projet d’entreprise ?

Difficulté de simuler de TRI sous différentes conditions de marché
pour calculer le bêta
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Application à l’investissement
• Le taux d’actualisation doit tenir compte du risque.
 Prime de risque
• La prime de risque du projet dépend du projet mais aussi
du portefeuille existant.
• Recherche d’actifs peu corrélés voir négativement corrélés
avec le portefeuille existant
 Super diversificateurs
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