Transcript Single-Peaked Präferenzen

Der Schild, den es nie gab:
Manipulation und Kontrolle in Wahlen mit
„single-peaked“ Präferenzen
Jörg Rothe
HHU Düsseldorf
Piotr Faliszewski, Edith Hemaspaandra, Lane A. Hemaspaandra, Jörg Rothe.
„The Shield that Never Was: Societies with Single-Peaked Preferences are More Open
to Manipulation and Control.“ Information and Computation 209(2): 89-107, 2011.
Einige Gebiete der Theoretischen Informatik
Computational Social Choice
 Bidirektionaler Transfer:
 Social-Choice-Theorie ➠ Informatik:
Anwendungen in Künstlicher Intelligenz




Wählen in Multi-Agenten-Systemen
Entscheidungsfindung mit mehreren Kriterien
Meta-Suchmaschinen
etc.
 Informatik ➠ Social-Choice-Theorie:
Anwendungen in Social-Choice-Theorie
 Berechnungsbarriere zur Verhinderung
von Wahlbetrug:



Kontrolle
Bestechung
Manipulation
SoftwareAgenten können
eine Wahl
systematisch
analysieren, um
das optimale
Verhalten zu
finden
Computational Social Choice
Mit der Kraft der NP-Härte haben
Vulkanier Komplexitätsschilde
erschaffen, die Wahlen gegen viele
Arten von Wahlmanipulation und
Wahlkontrolle schützen.
Computational Social Choice
Mit der Kraft der NP-Härte haben
Vulkanier Komplexitätsschilde
erschaffen, die Wahlen gegen viele
Arten von Wahlmanipulation und
Wahlkontrolle schützen.
Heute sehen wir:
Komplexitätsschilde können in
„single-peaked“
Gesellschaften „verdunsten“
Wahlen
 Eine Wahl ist gegeben durch ein Paar (C,V) mit

C ist die Menge der Kandidaten:

V ist die Liste der Wähler.
 Wähler werden durch ihre Präferenzen über C dargestellt:

entweder als eine lineare Ordnung:
>

>
>
>
oder als ein Approval-Vektor: (1,1,0,0,1)
 Wahlsystem: bestimmt aus den Präferenzen die Gewinner.
Wahlsysteme
 Approval (beliebig viele Kandidaten):
C
0
,
1
Jede Stimme ist ein Approval-Vektor aus
.
Alle Kandidaten mit den meisten Punkten sind Gewinner.
 Beispiel:
 
v1
1
1
0
0
1
v2
0
1
1
0
0
v3
1
1
0
0
1
v4
0
0
0
1
0
v5
1
0
0
1
1
v6
1
0
0
0
1
Wahlsysteme
 Approval (beliebig viele Kandidaten):
C
0
,
1
Jede Stimme ist ein Approval-Vektor aus
.
Alle Kandidaten mit den meisten Punkten sind Gewinner.
 Beispiel:
 
v1
1
1
0
0
1
v2
0
1
1
0
0
v3
1
1
0
0
1
v4
0
0
0
1
0
v5
1
0
0
1
1
v6
1
0
0
0
1
∑
4
3
1
2
4
Wahlsysteme
 Approval (beliebig viele Kandidaten):
C
0
,
1
Jede Stimme ist ein Approval-Vektor aus
.
Alle Kandidaten mit den meisten Punkten sind Gewinner.
 Beispiel:
 
v1
1
1
0
0
1
v2
0
1
1
0
0
v3
1
1
0
0
1
v4
0
0
0
1
0
v5
1
0
0
1
1
v6
1
0
0
0
1
∑
4
3
1
2
4
Gewinner:
Wahlsysteme
 Approval (beliebig viele Kandidaten):
C
0
,
1
Jede Stimme ist ein Approval-Vektor aus
.
Alle Kandidaten mit den meisten Punkten sind Gewinner.
 Scoring-Protokoll (für m Kandidaten):
Jede Stimme ist eine lineare Ordnung.
Scoring-Vektor   (1 ,  2 ,..., m ) mit 1   2  ...   m .
Jeder Wähler gibt dem i-ten Kandidaten  i Punkte.
 
Wahlsysteme
 Approval (beliebig viele Kandidaten):
C
0
,
1
Jede Stimme ist ein Approval-Vektor aus
.
Alle Kandidaten mit den meisten Punkten sind Gewinner.
 Scoring-Protokoll (für m Kandidaten):
Jede Stimme ist eine lineare Ordnung.
Scoring-Vektor   (1 ,  2 ,..., m ) mit 1   2  ...   m .
Jeder Wähler gibt dem i-ten Kandidaten  i Punkte.
 Pluralitätsregel (für m Kandidaten):   (1, 0,...,0)
 
 j-Approval alias
(m-j)-Veto (für m Kandidaten):



m1
  (1
,...,
1,0
,...,
0)




j
 Borda (für m Kandidaten):
m j
  (m 1, m  2,...,0)
Wahlsysteme
 Approval (beliebig viele Kandidaten):
C
0
,
1
Jede Stimme ist ein Approval-Vektor aus
.
Alle Kandidaten mit den meisten Punkten sind Gewinner.
 Scoring-Protokoll (für m Kandidaten):
Jede Stimme ist eine lineare Ordnung.
Scoring-Vektor   (1 ,  2 ,..., m ) mit 1   2  ...   m .
Jeder Wähler gibt dem i-ten Kandidaten  i Punkte.
 Pluralitätsregel (für m Kandidaten):   (1, 0,...,0)
 
 j-Approval alias
(m-j)-Veto (für m Kandidaten):



m1
  (1
,...,
1,0
,...,
0)




j
m j
 Borda (für m Kandidaten):
  (m 1, m  2,...,0)
 Pluralitätsregel (bel. Kandidatenzahl):   (1,0,...,0)
  (1,...,1,0)
 Veto (beliebige Kandidatenzahl):
Kontrolle und Manipulation in Wahlen

Mr. Smith möchte jemandem zum Sieg verhelfen (konstruktiv)
oder jemandes Sieg verhindern (destruktiv).
 Mr. Smith kennt die Stimmen aller Wähler.

In Kontrollszenarien modifiziert Mr. Smith die Wahlstruktur:





Hinzufügen/Löschen von Kandidaten
Partitionieren von Kandidaten mit/ohne Stichwahl
Hinzufügen/Löschen von Wählern
Partitionieren von Wählern
In Manipulationsszenarien stimmt eine
Koalition von Agenten „strategisch“ ab.


Nichtmanipulatoren und Manipulatoren können gewichtet sein.
Single-peaked Präferenzen: sowohl Nichtmanipulatoren als auch
Manipulatoren sind single-peaked bzgl. derselben Ordnung L.
Manipulationsresultate in Wahlen
Kontrollresultate in Wahlen
„Single-Peaked“ Präferenzen
 Eine Liste V von Wählern heißt „single-peaked“,
falls es eine lineare Ordnung L über C gibt, so dass die
„Präferenzkurve“ eines jeden Wählers in V zu einem Gipfel
steigt und dann fällt (oder nur steigt oder nur fällt).
„Single-Peaked“ Präferenzen
 Eine Liste V von Wählern heißt „single-peaked“,
falls es eine lineare Ordnung L über C gibt, so dass die
„Präferenzkurve“ eines jeden Wählers in V zu einem Gipfel
steigt und dann fällt (oder nur steigt oder nur fällt).
Präferenzkurve
eines Wählers
bezüglich
galaktischer
Steuern
niedrige galaktische Steuern
hohe galaktische Steuern
„Single-Peaked“ Präferenzen
 Eine Liste V von Wählern heißt „single-peaked“,
falls es eine lineare Ordnung L über C gibt, so dass die
„Präferenzkurve“ eines jeden Wählers in V zu einem Gipfel
steigt und dann fällt (oder nur steigt oder nur fällt).
Präferenzkurve
eines Wählers
bezüglich
galaktischer
Steuern
niedrige galaktische Steuern
>
>
>
Single-peaked Präferenz ist
konsistent mit linearer
Ordnung der Kandidaten
hohe galaktische Steuern
„Single-Peaked“ Präferenzen
 Eine Liste V von Wählern heißt „single-peaked“,
falls es eine lineare Ordnung L über C gibt, so dass die
„Präferenzkurve“ eines jeden Wählers in V zu einem Gipfel
steigt und dann fällt (oder nur steigt oder nur fällt).
Präferenzkurve
eines Wählers
bezüglich
galaktischer
Steuern
niedrige galaktische Steuern
>
>
>
Diese Präferenz ist
inkonsistent zur linearen
Ordnung der Kandidaten
hohe galaktische Steuern
Single-Peaked Lineare Ordnungen
 Eine Liste V von Wählern heißt „single-peaked“,
falls es eine lineare Ordnung L über C gibt, so dass die
„Präferenzkurve“ eines jeden Wählers in V zu einem Gipfel
steigt und dann fällt (oder nur steigt oder nur fällt).
 Hat jeder Wähler vi in V eine lineare Ordnung >i über C,
so heißt das: Für je drei Kandidaten c, d und e gilt
(c L d L e oder e L d L c) impliziert für jedes i:
c >i d  d >i e.
Single-Peaked Lineare Ordnungen
 Eine Liste V von Wählern heißt „single-peaked“,
falls es eine lineare Ordnung L über C gibt, so dass die
„Präferenzkurve“ eines jeden Wählers in V zu einem Gipfel
steigt und dann fällt (oder nur steigt oder nur fällt).
 Hat jeder Wähler vi in V eine lineare Ordnung >i über C,
so heißt das: Für je drei Kandidaten c, d und e gilt
(c L d L e oder e L d L c) impliziert für jedes i:
c >i d  d >i e.
 Für eine gegebene Liste V linearer Ordnungen über C
kann in Polynomialzeit entweder


eine lineare Ordnung L erzeugt werden,
die bezeugt, dass V single-peaked ist, oder
bestimmt werden, dass V nicht single-peaked ist.
Single-Peaked Approval-Vektoren
 Eine Liste V von Wählern heißt „single-peaked“,
falls es eine lineare Ordnung L über C gibt, so dass die
„Präferenzkurve“ eines jeden Wählers in V zu einem Gipfel
steigt und dann fällt (oder nur steigt oder nur fällt).
Single-peaked
bzgl.
 Ist jede Stimme vi in V ein Approval-Vektor
über C,
dieser
Ordnung?
so heißt das: Für je drei Kandidaten c,
d und
e gilt
v1
1
1 c L0d L e0 impliziert
1
nein
für jedes
i:
v2
0
1
0
ja so auch d.
Wenn
v1i die Kandidaten
c 0und e bestätigt,
v3
1
1
0
0
1
nein
 Für eine gegebene Liste V von Approval-Vektoren über C
v4
0
0
1
0
ja
kann 0in Polynomialzeit
entweder
v5
v6

1 lineare
0 Ordnung
0
1
1 werden,
nein
eine
L erzeugt
die
dass
ist, oder nein
1 bezeugt,
0
0 V single-peaked
0
1
bestimmt werden, dass V nicht single-peaked ist.
Kontrollresultate: Approval-Wahlen
 Satz 1: Im Fall von single-peaked Präferenzen sind
Approval-Wahlen verletzbar durch konstruktive
Kontrolle durch
 Hinzufügen von Wählern und
 Löschen von Wählern.
Kontrollresultate: Approval-Wahlen
 Satz 1: Im Fall von single-peaked Präferenzen sind
Approval-Wahlen verletzbar durch konstruktive
Kontrolle durch
 Hinzufügen von Wählern und
 Löschen von Wählern.
 Zum Vergleich: Unter allen Kontrolltypen durch
Hinzufügen/Löschen von Kandidaten/Wählern gilt
im allgemeinen Fall:


allein für die beiden Szenarien oben Resistenz
(d.h., das Kontrollproblem ist NP-hart ),
sonst stets Verletzbarkeit (Kontrollproblem ist in P).
Kontrollresultate: Approval-Wahlen
 Satz 1: Im Fall von single-peaked Präferenzen sind
Approval-Wahlen verletzbar durch konstruktive
Kontrolle durch
 Hinzufügen von Wählern und
 Löschen von Wählern.
 Zum Vergleich:
Approval-Wahlen (allgemeiner Fall)
konstruktiv
destruktiv
Hinzufügen von Kandidaten
Verletzbar
Verletzbar
Löschen von Kandidaten
Verletzbar
Verletzbar
Hinzufügen von Wählern
Resistent
Verletzbar
Löschen von Wählern
Resistent
Verletzbar
Kontrollresultate: Pluralitätswahlen
 Satz 2: Im Fall von single-peaked Präferenzen sind
Pluralitätswahlen verletzbar durch konstruktive und
destruktive Kontrolle durch
 Hinzufügen von Kandidaten und
 Löschen von Kandidaten.
Kontrollresultate: Pluralitätswahlen
 Satz 2: Im Fall von single-peaked Präferenzen sind
Pluralitätswahlen verletzbar durch konstruktive und
destruktive Kontrolle durch
 Hinzufügen von Kandidaten und
 Löschen von Kandidaten.
 Zum Vergleich:
Pluralitätswahlen (allgemeiner Fall)
konstruktiv
destruktiv
Hinzufügen von Kandidaten
Resistent
Resistent
Löschen von Kandidaten
Resistent
Resistent
Hinzufügen von Wählern
Verletzbar
Verletzbar
Löschen von Wählern
Verletzbar
Verletzbar
Manipulation: NP-Härte-Schilde entfernen
 Satz 3: Im Fall von single-peaked Präferenzen ist das
Constructive Coalition Weighted Manipulation Problem (CCWMP)
für jedes der folgenden Wahlsysteme in P:
 Das Scoring-Protokoll   ( 2,1,0) ,
also Borda für 3 Kandidaten.
 Jedes Scoring-Protokoll   (1,...,1,0,...,0) , i  j .


 
 Veto.
i
j
Manipulation: NP-Härte-Schilde entfernen
 Satz 3: Im Fall von single-peaked Präferenzen ist das
Constructive Coalition Weighted Manipulation Problem (CCWMP)
für jedes der folgenden Wahlsysteme in P:
 Das Scoring-Protokoll   ( 2,1,0) ,
also Borda für 3 Kandidaten.
 Jedes Scoring-Protokoll   (1,...,1,0,...,0) , i  j .


 
i
 Veto.
j
 Zum Vergleich:
 Borda für 3 Kandidaten, Veto und die „ i  2  j  1“-Fälle
von   (1,...,1,0,...,0), i  j , sind NP-vollständig,


 
i
j
 die übrigen Fälle sind in P.
Manipulation: NP-Härte-Schilde entfernen
 Satz 4: Im Fall von single-peaked Präferenzen
ist das CCWMP für 3-Veto mit m Kandidaten:
 in P, falls m in {3, 4, 6, 7, 8, …}, und
 NP-vollständig, falls m = 5.
Manipulation: NP-Härte-Schilde entfernen
 Satz 4: Im Fall von single-peaked Präferenzen
ist das CCWMP für 3-Veto mit m Kandidaten:
 in P, falls m in {3, 4, 6, 7, 8, …}, und
 NP-vollständig, falls m = 5.
 Zum Vergleich: Im allgemeinen Fall ist das CCWMP:
 für 3-Veto mit 3 oder 4 Kandidaten in P und
 NP-vollständig für 5 oder mehr Kandidaten.
Manipulation: NP-Härte-Schilde bleiben
 Satz 5: Im Fall von single-peaked Präferenzen
ist das CCWMP ist NP-vollständig für:
 das Scoring-Protokoll
  (3,1,0) und
  (3,2,1,0),
 das Scoring-Protokoll
also Borda für 4 Kandidaten.
 Zum Vergleich: Im allgemeinen Fall ist das
CCWMP in diesen Fällen NP-vollständig.
Manipulation: NP-Härte-Schilde aufstellen

Kann die Einschränkung auf single-peaked Präferenzen
jemals ein Komplexitätsschild aufstellen?
Allgemeiner
Fall
Single-peaked
Fall
Manipulation: NP-Härte-Schilde aufstellen

Kann die Einschränkung auf single-peaked Präferenzen
jemals ein Komplexitätsschild aufstellen?
Allgemeiner
Fall
Single-peaked
Fall
 Satz 6: Es gibt ein Wahlsystem, dessen Wähler durch
Approval-Vektoren dargestellt sind, für das das
Constructive Size-3-Coalition Unweighted Manipulation
Problem:
 im allgemeinen Fall in P ist, aber
 im Fall von single-peaked Präferenzen NP-vollständig.
Manipulation: Ein Dichotomie-Resultat
 Satz 7: Betrachte ein Scoring-Protokoll mit 3 Kandidaten:
  (1 ,  2 , 3 ), 1   2  3.
Im Fall von single-peaked Präferenzen ist das CCWMP:
 NP-vollständig, falls
1  3  2 2  3   0
gilt,
 aber sonst in P.
Beweis von Satz 1: Kontrolle in Approval
 Satz 1: Im Fall von single-peaked Präferenzen sind
Approval-Wahlen verletzbar durch konstruktive
Kontrolle durch
 Hinzufügen von Wählern und
 Löschen von Wählern.
 Wir zeigen dies für:



Konstruktive Kontrolle durch Hinzufügen von Wählern.
Im „unique-winner“-Modell dieses Kontrollszenarios.
Im „succinct input“-Modell.
Beweis von Satz 1: Kontrolle in Approval
 Satz 1: Im Fall von single-peaked Präferenzen sind
Approval-Wahlen verletzbar durch konstruktive
Kontrolle durch
 Hinzufügen von Wählern und
 Löschen von Wählern.
 Ziel: Ein Polynomialzeit-Algorithmus, der für die Eingabe:



Listen V und W von Stimmen über der Kandidatenmenge C,
die alle single-peaked bzgl. der linearen Ordnung L sind,
Kandidat p in C und
Anzahl K der Wähler aus W, die hinzugefügt werden dürfen,
entscheidet, ob p durch Hinzufügen von höchstens K Wählern
aus W zum eindeutigen Gewinner gemacht werden kann.
Beweis von Satz 1: Kontrolle in Approval
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Anzahl der
Approvals von
Wählern in V
Kandidaten sind:
dangerous
to be ignored

F E D C B A p a b c d e f g h i j k
1
Wähler in W,
2
4 die hinzugefügt
werden dürfen
7
(mit Anzahlen
3
des jeweiligen
1
Wählertyps)
9
5
Beweis von Satz 1: Kontrolle in Approval
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Anzahl der
Approvals von
Wählern in V
Kandidaten sind:
dangerous
to be ignored

F E D C B A p a b c d e f g h i j k
1
Wähler in W,
2
4 die hinzugefügt
werden dürfen
7
(mit Anzahlen
3
des jeweiligen
1
Wählertyps)
9
5
Welche Typen
von Wählern aus
W sollten wir
hinzufügen? Vor
allem, wenn sie
unvergleichbar
sind?
Beweis von Satz 1: Kontrolle in Approval
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Anzahl der
Approvals von
Wählern in V
Kandidaten sind:
dangerous
to be ignored

F E D C B A p a b c d e f g h i j k
1
Wähler in W,
2
4 die hinzugefügt
werden dürfen
7
(mit Anzahlen
3
des jeweiligen
1
Wählertyps)
9
5
Diese Frage
behandeln wir
mit einem
„schlauen“
GreedyAlgorithmus.
Beweis von Satz 1: Kontrolle in Approval
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Anzahl der
Approvals von
Wählern in V
Kandidaten sind:
dangerous
to be ignored

F E D C B A p a b c d e f g h i j k
1
Wähler in W,
2
4 die hinzugefügt
werden dürfen
7
(mit Anzahlen
3
des jeweiligen
1
Wählertyps)
9
5
Warum sind F, C,
B, c, f und j
gefährlich, aber
die übrigen
Kandidaten
können ignoriert
werden?
Beweis von Satz 1: Kontrolle in Approval
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Anzahl der
Approvals von
Wählern in V
Kandidaten sind:
dangerous
to be ignored

F E D C B A p a b c d e f g h i j k
1
Jede hinzugefügte
Wähler in W,
2
Stimme wird ein
die
hinzugefügt
4
Intervall mit p sein.
werden dürfen
7
Alle anderen
(mit Anzahlen
3
des jeweiligen
können also wir
1
Wählertyps)
wegwerfen.
9
5
Beweis von Satz 1: Kontrolle in Approval
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Anzahl der
Approvals von
Wählern in V
Kandidaten sind:
dangerous
to be ignored

F E D C B A p a b c d e f g h i j k
1
Wähler in W,
2
4 die hinzugefügt
werden dürfen
7
(mit Anzahlen
3
des jeweiligen
1
Wählertyps)
Schlägt durch
Hinzufügen von
Stimmen aus W
p nun c, dann
muss p auch a
und b schlagen.
Beweis von Satz 1: Kontrolle in Approval
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Anzahl der
Approvals von
Wählern in V
Kandidaten sind:
dangerous
to be ignored

F E D C B A p a b c d e f g h i j k
1
Also ist c ein
Wähler in W,
2
gefährlicher
4 die hinzugefügt Rivale für p, aber
werden dürfen
7
(mit Anzahlen
a und b können
3
des jeweiligen
gefahrlos
1
Wählertyps)
ignoriert werden.
Beweis von Satz 1: Kontrolle in Approval
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Anzahl der
Approvals von
Wählern in V
Kandidaten sind:
dangerous
to be ignored

F E D C B A p a b c d e f g h i j k
1
Wähler in W,
2
4 die hinzugefügt
werden dürfen
7
(mit Anzahlen
3
des jeweiligen
1
Wählertyps)
Ebenso ist f
gefährlich, aber
d und e können
gefahrlos
ignoriert
werden.
Beweis von Satz 1: Kontrolle in Approval
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Anzahl der
Approvals von
Wählern in V
Kandidaten sind:
dangerous
to be ignored

F E D C B A p a b c d e f g h i j k
1
Ebenso ist j
Wähler in W,
2
gefährlich, aber
4 die hinzugefügt g, h und i können
werden dürfen
7
(mit Anzahlen
gefahrlos
3
des jeweiligen
ignoriert werden.
1
Wählertyps)
Beweis von Satz 1: Kontrolle in Approval
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Anzahl der
Approvals von
Wählern in V
Kandidaten sind:
dangerous
to be ignored

F E D C B A p a b c d e f g h i j k
1
Wähler in W,
2
4 die hinzugefügt
werden dürfen
7
(mit Anzahlen
3
des jeweiligen
1
Wählertyps)
Hey, warum
machst du das
Schritt für Schritt?
Sag‘ doch einfach,
j ist gefährlich und
ignoriere a, …, i.
Beweis von Satz 1: Kontrolle in Approval
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Anzahl der
Approvals von
Wählern in V
Kandidaten sind:
dangerous
to be ignored

F E D C B A p a b c d e f g h i j k
1
Wähler in W,
2
4 die hinzugefügt
werden dürfen
7
(mit Anzahlen
3
des jeweiligen
1
Wählertyps)
Nein!
Schau nur, was
passiert, wenn
wir 6 Stimmen
des Typs mit
Anzahl 7
hinzufügen!
Beweis von Satz 1: Kontrolle in Approval
1
2
1
1
3
4

Wähler in W,
die hinzugefügt
werden dürfen
(mit Anzahlen
des jeweiligen
Wählertyps)
Nein! Schau
nur, was
passiert, wenn
wir 6 Stimmen
des Typs mit
Anzahl 7
hinzufügen!
Beweis von Satz 1: Kontrolle in Approval
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Anzahl der
Approvals von
Wählern in V
Kandidaten sind:
dangerous
to be ignored

F E D C B A p a b c d e f g h i j k
1
Wähler in W,
2
4 die hinzugefügt
werden dürfen
7
(mit Anzahlen
3
des jeweiligen
1
Wählertyps)
OK, das ist nicht
unlogisch. Aber
wie funktioniert
dein „schlauer“
GreedyAlgorithmus?
Schlauer Greedy-Algorithmus

OK, dafür brauche ich erst mal mehr Platz!
Schlauer Greedy-Algorithmus





OK, dafür brauche ich erst mal mehr Platz!
Beim Schlauen Greedy fressen wir uns durch alle gefährlichen
Rivalen rechts von p, zuerst den am weitesten links: c.
Um eindeutiger Gewinner zu werden, muss p insbesondere c
schlagen.
Nur Stimmen in W, deren rechte Endpunkte in [p,c) fallen,
können helfen. Sei B die Liste dieser Stimmen.
Wähle die Stimmen aus B, deren linker Endpunkt am weitesten
rechts ist. Das ist eine absolut sichere Strategie!
Schlauer Greedy-Algorithmus
8
7
6
5
4
3
2
1
0
dangerous
to be ignored

F E D C B A p a b c d e f g h i
1
2
1
7
3
4
j k
Wähler in W,
die hinzugefügt
werden dürfen
(mit Anzahlen
des jeweiligen
Wählertyps)
Schlauer Greedy-Algorithmus
8
7
6
5
4
3
2
1
0
dangerous
to be ignored

F E D C B A p a b c d e f g h i
1
2
1
j k
Wähler in B,
die hinzugefügt
werden dürfen
(mit Anzahlen
des jeweiligen
Wählertyps)
Schlauer Greedy-Algorithmus
1
2
0

Wähler in B,
die hinzugefügt
werden dürfen
(mit Anzahlen
des jeweiligen
Wählertyps)
Schlauer Greedy-Algorithmus
1
1
Erster
Rivale
geschlagen

Wähler in B,
die hinzugefügt
werden dürfen
(mit Anzahlen
des jeweiligen
Wählertyps)
Schlauer Greedy-Algorithmus





OK, dafür brauche ich erst mal mehr Platz!
Beim Schlauen Greedy fressen wir uns durch alle gefährlichen
Rivalen rechts von p, zuerst den am weitesten links: c.
Um eindeutiger Gewinner zu werden, muss p insbesondere c
schlagen.
Nur Stimmen in W, deren rechte Endpunkte in [p,c) fallen,
können helfen. Sei B die Liste dieser Stimmen.
Wähle die Stimmen aus B, deren linker Endpunkt am weitesten
rechts ist. Das ist eine absolut sichere Strategie!
 Iteriere.
 Gibt es keine gefährlichen Kandidaten rechts von p mehr,
dann spiegele die lineare Ordnung L der Kandidaten und
erledige die übrigen gefährlichen Kandidaten, bis


entweder p eindeutiger Gewinner (Ausgabe: „Ja“)
oder das Limit K erreicht ist (Ausgabe: „Nein“).
Zusammenfassung
 In Wahlen mit single-peaked Präferenzen:
 „verdunsten“ viele Komplexitätsschilde gegen
Wahlkontrolle und –manipulation,
 andere bleiben am Platz und
 neue Schilde können sogar aufgestellt werden.
 Bei der Auswahl eines Wahlsystems für Wahlen mit
single-peaked Präferenzen darf man sich nicht auf
solche „allgemeinen“ Komplexitätsschilde verlassen!
Vielen Dank!
Einen
Moment bitte!
Erst noch die
Animationen
abwarten!