Transcript Trigonometría

Trigonometría
Pamela Mena Romano
Introducción
• En el siglo III a.C. los griegos, estudiando las relaciones
entre los ángulos y los lados de un triángulo, dieron
inicio a una nueva rama de la matemática llamada
Trigonometría y que significa medida del triángulo. Esta
ciencia tuvo un notable éxito por sus aplicaciones
directas a la astronomía, navegación y agrimensura.
• Los seis elementos principales en todo triángulo son sus
tres lados y sus tres ángulos. Cuando se conocen tres
de estos elementos, con tal que al menos uno de ellos
sea un lado, la trigonometría enseña a solucionar el
triángulo, es decir, a encontrar los tres elementos.
Teorema de Pitágoras
•
“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos.”
a2  b2  c 2
c
b
Demostración:
El área del cuadrado grande es: (a+b)2 y el del
pequeño, c2.
Por otra parte el área del cuadrado pequeño más 4
veces el área de un triángulo, será el área del
cuadrado grande.
a
c2+4(ab)/2=(a+b)2 → c2+2ab=a2+2ab+b2
Finalmente:
b
c
2
2
2
a +b =c
a
b
c
a
c b
c
a
b
a
Razones Trigonométricas
•
Consideremos el triángulo rectángulo.
razones trigonométricas del ángulo B son:
AC lado opuesto
sin(B) 

BC hipotenusa
BA lado adyacente
cos(B) 

BC
hipotenusa
AC
lado opuesto
tg(B) 

BA lado adyacente
Las
C
a
B
b
c
A
Cada relación tiene su recíproco dados por:
1
BC
hipotenusa
cosec(B) 


sin(B) AC lado opuesto
1
BC
hipotenusa
sec(B) 


cos(B) BA lado adyacente
1
BA lado adyacente
cotg(B) 


tg(B) AC
lado opuesto
• Ejemplo: Una escalera de 5 metros de largo está colocada
con su pie a 3 metros de distancia de la pared de una casa
y llega precisamente hasta la base de una ventana.
Hállense la altura de la base de la ventana y el seno y la
tangente del ángulo que la escalera forma con la pared.
Para despejar la incógnita usamos el Teorema de
Pitágoras:
32  x 2  52
Despejando x :
x 2  25  9  x 2  16
x4

5
x
3
Recordando la definición de seno y tangente, tenemos:
3
sin(  ) 
5
3
tg(  ) 
4
Medida de Ángulo
Para medir ángulos primero debemos escoger alguna
unidad fija, y para ello se definen tres sistemas de
medida angular.
• Sistema Sexagesimal: En este sistema el ángulo recto
se divide en 90 partes iguales o 90 grados; cada grado
se divide en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos.
• Sistema Centesimal: En este sistema el ángulo recto se
divide en 100 partes iguales o 100 grados centesimales;
cada grado se divide en 100 minutos centesimales y
cada minuto en 100 segundos centesimales.
• Sistema Circular: En este sistema los ángulos se
expresan en radianes y es muy útil para calcular
medidas de arcos, o en física, para calcular velocidades
angulares.
El radián
• El radián es el ángulo cuyo arco mide lo mismo que el
radio con que fue descrito. Es decir el arco AB es igual
a la recta OA.
• Para expresar un ángulo en radianes basta calcular
las veces que el radio cabe en el arco que comprende
entre sus lados.
Designando el arco por b se obtiene:
(radianes) 
b
r
B
r
B

O

b
r
O
A
r
A
El Círculo Unitario
• Es un círculo de radio unitario.
• En cualquier círculo, 360º equivalen a 2p (radianes).
Podemos dividir el círculo en 4 cuadrantes
p/2
II
Como 360º=2p, la longitud del
arco máximo en el círculo
unitario, se tiene
I
p
0
III
IV
3p/2
x
360

xrad 2π
xrad es la medida en radianes de un
ángulo x con 0≤ x ≤ 360

-1
tangente
Las principales relaciones
trigonométricas en el círculo
unitario.
seno
1
coseno
-1
 en
cuad.
El signo de las funciones
trigonométricas en cada
cuadrante.
sen 
cos 
tan 
I
II
III
IV
+ +
+ + -
+
+
-
Recordando la definición de paridad, ¿qué paridad
poseen el coseno y el seno?
Ángulos Recurrentes
º
 rad
30º
p/6
45º
p/4
60º
p/3
sin 
1
2
3
2
2
2
2
2
3
2
1
2
cos 
90º
p/2
180º
p
270º
3p/2
360º
2p
0 1 0
0 1 0 1
1
Gráfico del Seno
sin x
1
0.5
x
-3
-2
1
-1
-0.5
-1
2
3
Gráfico del Coseno
cos x
1
0.5
x
-3
-2
-1
1
-0.5
-1
2
3
Gráfico de la Tangente
tan x
40
20
x
-3
-2
-1
1
-20
-40
2
3
Gráfico de la Cosecante
cosec
x
20
10
x
-3
-2
-1
1
-10
-20
2
3
Gráfico de la Secante
sec x
20
10
x
-3
-2
-1
1
-10
-20
2
3
Gráfico de la Cotangente
cotan
x
40
20
x
-3
-2
-1
1
-20
-40
2
3
Identidades Trigonométricas
• A partir del triángulo demuestre que:
sin   cos   1
2
2
C
b
Escribamos el seno y el coseno
b2 
sin   2  2 2
a b c
2
2
a
c
cos 2   2 
a 
2
Por teorema de Pitágoras:
a2
sin   cos   2  1
a
2
2
a
b
c
A

B
Suma de Ángulos
C

• Probemos la siguiente relación:
sin(+b)=sin()cos(b)+cos()sin(b)
D
B
• A partir de la figura tenemos:
CA AD  CD BE CD
sin(   b) 



OC
OC
OC OC
b

O
Amplifican do :
BE OB CD CB


 sincosb  cossinb
OB OC CB OC
A
E
• Probemos ahora:
cos(+b)=cos()cos(b)-sin()sin(b)
Haciendo un procedimiento análogo al anterior:
cos(  b) 
OA OE AE


OC OC OC
Amplifican do :
OE OB AE BC

 cos( )cos(b)  sin(  )sin( b)
OB OC BC OC
Exprese como suma de ángulos lo siguiente:
1) sin (2)
2) cos 
Resta de Ángulos
• De la misma forma que en la suma de ángulos se
puede demostrar:
sin(-b)=sin()cos(b)-cos()sin(b)
C
A partir de la figura podemos expresar sin(b)

D
BE CA - CD
sin(   b) 

OB
OB
b
Amplifican do :
-b

CA OC CD CB


 sincosb  cossinb O
A
OC OB CB OB
Ejercicio: Pruebe cos(b)=coscosb+sensenb
B
E
Identidades Trigonométricas
Las identidades son igualdades que se cumplen para
cualquiera de los valores del ángulo que aparece en la
igualdad.
Una estrategia para probar identidades, es expresar todos los
términos de la igualdad en función del seno y coseno para
luego efectuar las operaciones indicadas, consiguiéndose con
esto, la identidad de ambos miembros.
Ejercicio: Demuestre la siguiente relación:
sin 
tg 
1 tg2
Funciones Trigonométricas
• La función seno: sin : R→[-1,1]; x → sin(x).
• La función coseno: cos : R→[-1,1]; x → cos(x).
• La función tangente: tg ;
x → tg(x) = sin(x)/cos(x), está definida para todos
los x ∈ R donde no se anula la función cos(x).
Función Trigonométrica Inversa
• En el círculo unitario al ángulo a corresponde el arco b
que permite medir el ángulo en radianes.
B
En la figura la perpendicular BC,
representa el seno del ángulo . Siendo
b la medida del arco que permite, a su
vez, medir el ángulo , al designar por “y”
el seno de este ángulo, se obtiene:
sin b = y
r
b
y

O
C
A
Función Trigonométrica Inversa
Además, al ser “b” el arco cuyo seno es “y”, se puede escribir:
b = arc sen y
Función Inversa del Seno.
Lo que indica que: “b” es el arco del ángulo cuyo seno es “y”.
En forma análoga a la anterior se define:
• b = arc cos y
• b = arc tg y
Función Inversa del Coseno.
Función Inversa de la Tangente.
Periodicidad
• Sea el ángulo  engendrado por el
radio móvil OB; entre los lados del
ángulo queda el arco AB. Este
mismo arco corresponde a los
ángulos ,  + 360º,  + 2 ∙ 360º,
 + k ∙ 360º, siendo k ≥ 0, k ∈ Z.
Aplicando lo anterior para el seno y
el coseno se encuentra que los
valores se repiten para cada vuelta
completa del radio móvil OB
(360º). En cambio, el valor de la
tangente se repite cada 180º. Por
lo tanto el período para el seno y
coseno es 2p (2p = 360º) y para la
tangente es p (p=180º).
B
O

A
Periodicidad de las Funciones
Trigonométricas.
• En el sistema circular se puede escribir la
periodicidad de las funciones trigonométricas
como:
sin   sin(  2kp)
cos   cos(  2kp)
tg   tg(  kp)
Teorema del Seno
• “En un triángulo cualquiera los lados son entre sí
como los senos de los ángulos opuestos”.
C
g
hc 
sin   
b  sin  a


hc  sin b b
sin b 
a 
Haciendo lo mismo con  y g
se obtiene:
sin  a

sin g c
b
a
hC
hB
A

b
c
B
Problema
• ¿Cuál es la altura de un cerro si las visuales dirigidas a
la cumbre desde dos puntos situados a 100 metros (d)
forman con la horizontal un ángulo de 30º () y 50º (b)
respectivamente?
Por geometría tenemos que el ángulo g vale 20º. Usando
el teorema del seno, se tiene:
D
z
sin 30º

100 sin 20º
Del segundo triángulo,
h
sin 50º   h  zsin 50º
z
A 
g
h
z
B
h  112 metros.
d
b
C
y
Teorema del Coseno
• “En cualquier triángulo el cuadrado de un lado es igual a
la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos
el doble producto de estos dos lados por el coseno del
C
ángulo que forman.”
Por teorema de Pitágoras:
h2  a2  p2  2 2
2
2
a

p

b

q
2
2
2
h  b  q 
Pero p=cq, reemplazando y
desarrollando:
a2  b2  c 2  2cq
q
pero cosα  , reemplazan do,
b
a2  b2  c 2  2bc cos
b
a
h
A

D
q
b
c
p
B
Problema
• Del siguiente triángulo, encuentre el valor del ángulo .
Por teorema del coseno:
132  72  82  2  7  8 cos(b)
Usando la función inversa de coseno para despejar b:
β  120º
Sabemos que la suma de
  b  180º , luego
  60º
13
7
 b
8
Ecuaciones Trigonométricas
• Son aquellas en las cuales la incógnita aparece como
ángulo de funciones trigonométricas.
Resolver la ecuación :
3  3 cos x  2(1  cos 2 x)
3  3 cos x  2 sin 2 x
3  3 cos x  2  2 cos 2 x
2 cos 2 x  3 cos x  1  0
Usando la fórmula de la ecuación cuadrática, para encontrar x,
 1

cos x   2
 1
Aplicamos la función inversa y tenemos :
x1  120º y x2  180º