Transcript Seções cônicas: hipérbole

Seções cônicas:
hipérbole
Seções cônicas
Hipérbole
• Uma hipérbole é o lugar
geométrico dos pontos em
um plano cuja diferença das
distâncias a dois pontos
fixos F1 e F2 (focos) é uma
constante. A distância entre
F1 e F2 é chamada de
distância focal.
• Os pontos A1, A2, B1 e B2
são os vértices da hipérbole,
o segmento A1A2 é chamado
de eixo real e o segmento
B1B2 é chamado de eixo
imaginário.
Seções cônicas
Equação da hipérbole no plano cartesiano
• Podemos facilitar a
obtenção da equação de
uma hipérbole colocando
seus focos no eixo x, de
modo que a origem O(0, 0)
fique na metade do caminho
entre os focos.
• Estabelecendo os focos
como F1(– c, 0) e F2(c, 0)
d  d  2a
e chamando de 2a a
| ( x  c )  ( y  0)  ( x  c )  ( y  0) | 2a
diferença das distâncias
[| ( x  c )  y  ( x  c )  y |]  4a
de um ponto genérico
x  2cx  c  y  2 ( x  c )  y ( x  c )  y  x  2cx  c
P(x, y) da hipérbole aos
2 x  2y  2c  4a  2 ( x  c )  y ( x  c )  y
focos, obtemos a equação ( x  y  c  2a )  [ ( x  c )  y ( x  c )  y ]
demonstrada ao lado.
PF1
PF2
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2 2
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 y 2  4a 2
Seções cônicas
Equação da hipérbole no plano cartesiano
• Podemos facilitar a
obtenção da equação de
uma hipérbole colocando
seus focos no eixo x, de
modo que a origem O(0, 0)
fique na metade do caminho
entre os focos.
• Estabelecendo os focos
como F1(– c, 0) e F2(c, 0)
( x  y  c  2a )  [  ( x  c )  y ( x  c )  y ]
e chamando de 2a a
( x  y  c )  4a ( x  y  c )  4a  ( x  y  c )  4c x
diferença das distâncias
c x a x a y  a c a
de um ponto genérico
(c  a )x  a y  (c  a )a
2c  2a  c  a  c  a  0. Seja b  c  a , temos :
P(x, y) da hipérbole aos
focos, obtemos a equação b x  a y  a b  ax  yb  1, com x  a ou x  a e c  a  b
demonstrada ao lado.
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Determinação das coordenadas dos vértices
• Como b2 = c2 – a2 < c2, segue que b < c. Os vértices no eixo x
são encontrados fazendo-se y = 0. Então, x2/a2 = 1, assim
x =  a. Os pontos (– a, 0) e (a, 0) são respectivamente A1 e A2.
• Os vértices imaginários no eixo y são os pontos (0, b) e
(0, – b), que são respectivamente B1 e B2.
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Invertendo o eixo
• Se transferirmos o eixo real de
uma hipérbole para o eixo y,
obteremos resultados
análogos.
• Observe que todos os pontos
notáveis da hipérbole trocam
de lugar, passando a ser
F1(0, c), F2(0, – c), A1(0, a),
A2(0, – a), B1(– b, 0) e B2(b, 0).
• Chamando de 2a a diferença
das distâncias de um ponto
genérico P(x, y) da hipérbole
aos focos, obtemos a equação
ao lado (a demonstração é
análoga ao caso anterior).
y 2 x2
 2  1, com y  a ou y  a e c 2  a 2  b 2
2
a
b
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Equação geral da hipérbole com centro O´(xo, yo)
• Usamos até agora como centro da hipérbole a origem O(0, 0).
Podemos deslocar o seu centro para qualquer ponto O´(xo, yo).
Obtendo as equações como anteriormente, teremos uma
simples mudança, mostrada a seguir.
( x  x o )2 ( y  y o )2

1
a2
b2
( y  y o )2 ( x  xo )2

1
a2
b2
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Assíntotas da hipérbole
• Isolando o y na equação da hipérbole com eixo real sobre o
eixo x e com centro na origem, obtemos as retas mostradas
em I. Como a é um valor fixo, vemos que, conforme x vai
ficando muito grande, os valores de x2 – a2 vão se
aproximando de x2 porque a2 vai se tornando desprezível.
• Podemos concluir que y sempre se aproximará das retas II e
III, mas nunca as tocará. As retas II e III são as assíntotas da
hipérbole.
(I)
y 
b
x 2  a2
a
(II)
y
b
x
a
(III)
y 
b
x
a
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Assíntotas da hipérbole
• Quando o eixo real está sobre o eixo y e o centro na origem,
as retas IV e V são as assíntotas da hipérbole.
• Um caso especial é o de hipérbole equilátera: quando o centro
está na origem, a é igual a b e suas assíntotas são y =  x.
(IV)
y
a
x
b
(V)
y 
a
x
b
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Assíntotas da hipérbole
• Para hipérboles com centro qualquer, podemos chegar às
assíntotas de maneira análoga e obter VI (eixo real horizontal)
e VII (eixo real vertical). As assíntotas de uma hipérbole
equilátera de centro qualquer são y – yo = (x – xo).
(VI)
b
y  y o   ( x  xo )
a
(VII)
a
y  y o   ( x  xo )
b
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Exercícios resolvidos
1. Encontre os focos e as assíntotas da hipérbole x2/16 – y2/9 = 1.
Resolução: a = 4 e b = 3. O centro da hipérbole está na origem e
seu eixo real sobre o eixo x, então suas assíntotas são y =  3x/4.
Como c2 = a2 + b2, então c = 5. Os focos são (– 5, 0) e (5, 0).
2. Encontre os focos e a equação da hipérbole com vértices
(0, 1) e (0, –1) e assíntota y = 2x.
Resolução: O centro da elipse está na origem e seu eixo real
sobre o eixo y, então a sua equação é da forma
y2/a2 – x2/b2 = 1. Temos que a = 1 e b = 1/2. Como c2 = a2 + b2,
então c = √5/2. Os focos são (0, √5/2) e (0, – √5/2) e a equação é
y2 – 4x2 = 1.
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Exercícios propostos
1. Encontre os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole
2y2 – 3x2 – 4y + 12x + 8 = 0.
2. Esboce o gráfico de y2 – x2 = 4.
3. (Fuvest-SP) A equação de uma das assíntotas da hipérbole de
equação x2/16 – y2/64 = 1 é:
a) y = 2x – 1
b) y = 4x
c) y = x
d) y = 2x + 1
e) y = 2x
4. (Fuvest-SP) Determine as equações das retas do plano que
passam pela origem do sistema de coordenadas e que não
intersectam a curva do plano dada pela equação x2/4 – y2/9 = 1.