Transcript 2.Model z jedn zmienną

Prof. dr hab. Grażyna Karmowska
BUDOWA MODELU
EKONOMETRYCZNEGO
Funkcja regresji
Funkcja regresji jest narzędziem do opisu i
oszacowania ilościowego związku między daną zmienną
objaśnianą (zależną), a jedną lub więcej zmiennymi
objaśniającymi (niezależnymi).
–zmienne objaśniające: x1, x2, ..., xk.
–zmienna objaśniana: y
k – ilość zmiennych objaśniających
Jeśli k = 1:
regresja prosta.
Jeśli k > 1:
regresja złożona.
• Funkcje regresji
Zależność liniowa, tj. f(x) jest funkcją liniową:
f(x) = a0 + a1x + e,
gdzie e jest „składnikiem losowym” o znanym
rozkładzie prawdopodobieństwa.
Dla wielu zmiennych objaśniających:
y = a0 + a1x1 + a2x2 + ... + akxk + e,
gdzie:
- czynnik deterministyczny: a0 + a1x1 + ... + akxk,
- czynnik stochastyczny:
e,
- parametry strukturalne: a0, a1, a2, ... , ak.
• Udział składnika losowego
# Postępowanie podmiotów ekonomicznych cechuje
indeterminizm. Oznacza to, że np. ten sam konsument,
postawiony wobec takiego samego wyboru w takich samych
warunkach, może podjąć każdorazowo nieco inną decyzję.
# Pomiar zjawisk jest niedoskonały i niedokładny. Składnik
losowy zawiera w sobie różnice wynikające z błędów
obserwacji.
# Sam model może być wadliwie skonstruowany i w jego
specyfikacji brakować może ważnych zmiennych
objaśniających lub/i postać funkcyjna może być niepoprawna
Klasyfikacja modeli ekonometrycznych
KRYTERIUM 1. Liczba równań w modelu:
–modele jednorównaniowe,
–modele wielorównaniowe.
KRYTERIUM 2. Postać analityczna modelu:
–modele liniowe,
–modele nieliniowe.
KRYTERIUM 3. Czynnik czasu w modelu:
–modele statyczne,
–modele dynamiczne.
KRYTERIUM 4. Ogólnopoznawacze cechy modelu:
–modele przyczynowo-opisowe,
–modele symptomatyczne.
KRYTERIUM 5. Powiązania w modelach wielorównaniowych:
–modele proste,
–modele rekurencyjne,
–modele o równaniach łącznie współzależnych.
MODELE EKONOMETRYCZNE
JEDNORÓWNANIOWE
• Funkcja regresji ma postać liniową:
yi  a0  a1xi  e
• przy założeniu, że:
yi - wartości zmiennej endogenicznej (zależnej) Y,
xi - wartości zmiennej egzogenicznej X,
e - wartości składnika losowego,
α0, α1 – parametry modelu,
(e)= 0 – wartość oczekiwana jest równa zero, a
wariancja jest stała
Po oszacowaniu otrzymujemy
yˆi  a0  a1xi
gdzie:
a1 - współczynnik regresji
a0 - stała regresji
n
 ( xi  x )( yi  y )
a1  i 1
n
 ( xi  x )
i 1
a0  y  a1x
2
n
wariancja resztowa (losowa):
S e2 
dla k=1 (ilość zmiennych
objaśniających)

ei2
i 1
n  k 1
ei  yi - yˆ i
Współczynnik zmienności resztowej (losowej):
Se
Ve 
 100%
y
Standardowe błędy S(a1) i S(a0) szacunku
parametrów strukturalnych wyznacza się ze wzorów:
S (a1 ) 
Se
n

( xi  x ) 2
i 1
n

xi2
i 1
S (a0 )  S e
n
n

i 1
( xi  x ) 2
Statystyka t-Studenta
• Potrzebna jest do określenia istotności parametrów
strukturalnych modelu. Stawia się hipotezy
statystyczne: hipotezę zerową, która mówi o
nieistotności parametrów modelu oraz hipotezę
alternatywną o przeciwnym znaczeniu.
H0 : α1 = 0 wobec H1 : α1  0
oraz
H0 : α0 = 0 wobec H1 : α0  0
a1
t a1 
S (a1 )
t a0
a0

S ( a0 )
Jeżeli oszacowana wartość statystyki |t| jest mniejsza od
ta wówczas nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy
zerowej, czyli parametr nie ma wpływu na model.
Jeżeli |t| jest większe od ta przyjmujemy, że parametr
statystycznie istotnie różni się od zera (jest istotny
statystycznie), zmienna ma wpływ na model
Wariancja zmienności wyjaśnionej (suma
kwadratów odchyleń wartości teoretycznych cechy
od wartości średniej podzielona przez n):
n
2
Sw


2
ˆ
( yi  y )
i 1
n  k 1
Wariancja zmienności całkowitej
(suma kwadratów odchyleń wartości cechy od
wartości średniej podzielone przez (n-k-1)):
n
S 
2
S 
2
(y
i
 y)
i 1
n  k 1
2
Sw
2
 Se
2
Przy analizie zależności między dwoma zmiennymi
badamy miary ścisłości związku przy wykorzystaniu
następujących podstawowych miar:
• a)
współczynnika korelacji
• b) współczynnika determinacji
• c) współczynnika zbieżności.
które określają czy i w jakim stopniu zmienna zależna
objaśnia zmienną niezależną.
Współczynnik korelacji
n
rxy 
 ( xi  x )( yi  y )
i 1
n
n
 ( xi  x )  ( yi  y )
i 1
2
i 1
2
Współczynnik zbieżności (zgodności,
indeterminacji)
2
Se
  2
S
2
Współczynnik determinacji
 1

2
Sw
2
S
2
r
2
Zadanie
Szacujemy funkcję regresji liniowej MNK
yˆi  a0  a1xi
dla:
y - wydatki na reklamę (w 100 tys. zł) - zmienna
zależna (objaśniana);
x - poziom obrotów (w mln zł) - zmienna
niezależna (objaśniająca)
Xi
22,0
24,0
18,0
10,0
13,0
14,0
9,0
8,0
4,4
3,6
Yi
6,0
6,2
4,4
2,8
3,6
3,8
3,0
2,4
1,8
2,0
xx y y
( x  x )( y  y )
( x  x)2
95,72
a1 
 0,218
438,72
a0  3,6  0,218 12,6  0,8532
yˆi  0,853  0,218xi
Interpretacja:
Jeżeli poziom obrotów zwiększy się o jednostkę
(1 mln zł) to wydatki na reklamę zwiększą się o 0,218
(w 100 tys zł) tzn. o 21,8 tys zł.
Obliczamy wariancję resztową.
Wyznaczamy odchylenie resztowe i
współczynnik zmienności resztowej.
INTERPRETACJA
Udział czynnika losowego w wartości średniej
zmiennej zależnej wynosi Ve procent.
•
Wyznaczamy standardowe błędy
szacunku parametrów strukturalnych
2
xi
INTERPRETACJA
Stała regresji została oszacowana z błędem .....
Współczynnik regresji został oszacowany z błędem ...
Sprawdzamy czy parametry
strukturalne są istotne statystycznie
a=0,05 poziom istotności
ta  2,262
Gdy |t| jest większe od ta przyjmujemy,
że parametr statystycznie istotnie różni się od zera
(jest istotny statystycznie), tzn. że zmienna ma wpływ na model, z
prawdopodobieństwem 1-a
Obliczamy wariancję całkowitą
Wyznaczamy współczynnik
zbieżności
2
  100%
2
  1 
  100%
INTERPRETACJA
Model nie opisuje danych empirycznych w ...% , a opisuje
w...%
DO ZOBACZENIA