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形式言語 と オートマト
第13回
鳥取大学工学研究科
情報エレクトロニクス専攻
田中美栄子
本日の予定
形式言語とオートマト
正規文法と有限オートマトンの対
応
は
（有限状態言語）
を生成し、
は
を識別する
形式言語とオートマト
（有限状態言語）
正規文法と有限オートマトンの対
応
オートマトンの遷移規則
q0
a
q1
q2
q1
a
q2
q2
a
q0
S 0  aS 1
S 1  aS 2
S 2  aS 0
S2  a
a
オートマトンの遷移規則 δ（q,a)=p があるときは、
文法の置換規則 Q→aP が対応。
但しpが終状態ならば Q→a が対応。
形式言語とオートマト
正規文法と有限オートマトンの対
応
S 0  aS 1
q0
S 1  aS 2
a
a
S 2  aS 0
q1
S2  a
L={a3n}を生成する文法
S 0  aS 1  aaS
2
形式言語とオートマト
 aaaS
0
q2
a
L={a3n}を受理するFSA
 aaaaS
1
 aaaaaS
2
 aaaaaa
対応：文法～言語～オートマト
ン
オートマトン（左）と文法（右）の対応する階層性
FSA
正規文法
PDA
文脈自由文法
LBA
文脈依存文法
TM
句構造文法
形式言語とオートマト
正規表現による正規言語の表現
正規表現に書き換えると？
L = {a3n | n>=0} = {aaa}*
L = {an | n>=0} = {a}*
L={ab,ba} ={ab} U {ba}
L={aa}{a,b}*{bbb}
形式言語とオートマト
Ｌ = (a3)*
L = a*
L=ab+ba
L=a2(a+b)*b3
文脈自由文法
により生成される
オートマトンでなく
とき、
Ｇ＝（Ｖ，Ｔ，Ｓ，Ｐ）
Ｖ＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝，
Ｔ＝｛0,1｝，
S=A，
P ={A→BC, A→BAC, B→0, C→1}
L={01, 0011, 000111, 00001111,…}
形式言語とオートマト
これは有限状態言語でない
有限状態オートマトンを作ろうとすると
無限個の状態が必要。
0がn個並んだ後に1が同じ個数n個並ぶように
しようとすると、
無限集合ゆえ、
。
があるが、
。
1の部分に作っても同じ。
0と1にまたがると結果として
。
形式言語とオートマト
CFGの例
問
が生成する言語は？
答
R
L={xx |ｘは{0,1}*の元，|x|>0}
形式言語とオートマト
注
意
点
は間違い
例えば
も生成
LはCFGでは不可
→
形式言語とオートマト
閉
包
性
• 全てのクラスi-0,1,2,3に属する言語は、和、連結、＊
に対して
• 文脈自由言語は補集合や交わりの
• 交わりはドモルガンにより補集合と和で書けるから、
。
。
。
• 正規言語は
。
• Type0は
。
• Type1は補集合の元で閉じることが1988判明した。
（Neil Immerman、SIAM J．Computing vol.17-5）
形式言語とオートマト
閉
包
１．
性
は、
、
、
、などにおいて
２．
は
に於いて
よって
に於いても
反例は
、
において二つの積集合は
であるが、
形式言語とオートマト
、
、
、
Chomsky標準形
プロダクションルールが
, または,
（ここでSは開始記号,A,B,Cは変数aは終端記号）
任意の文脈自由文法Gに対して
する
形式言語とオートマト
Greibach標準形
生成規則が A→aα の形
（Ａは非終端記号、aは終端記号、
αは終端記号と非終端記号からなる列）
形式言語とオートマト