Transcript 1 - 鳥取大学

形式言語 と オートマト
第4回
鳥取大学工学研究科
情報エレクトロニクス専攻
田中美栄子
本日の予定
形式言語とオートマト
本日の予定１
形式言語とオートマト
空動作とは？
空動作（ε-move）とは
入力記号を読まずに状態遷移できる
(つまりいつでも遷移してよい）
ε
S
ε
δ (S , ε ) = P
形式言語とオートマト
P
Q
S
ε
δ (S, ε ) = Q
R
δ (S , ε ) = R
空動作を許す、とは？
0
p
ε
q
ε
r
1
入力無しでも二つの状態
形式言語とオートマト
q,rのどちらかに行ける
空動作を許す場合も動作関数を拡張して五字組で表
す
M  Q ,  ,  , q 0 , F 
Q
状態の有限集合

入力記号の有限集合

動作関数
 : Q  (   { })  2
q0  Q
q0
初期状態
F
受理状態の有限集合
形式言語とオートマト
注意
F Q
Q
空動作を許す場合の五字組
M  Q ,  ,  , q 0 , F 
Q  { p , q , r}
  { 0 ,1}
0
 : Q  (   { })  2 Q
 ( p ,  )  { q , r },  ( p , 0 )   ( p ,1)   ,
 ( q , 0 )  { q },
 ( q ,1)   ( q ,  )   ,
 ( r ,1)  { r },
 ( r ,0 )   ( r ,  )  
q0  p
F  {q , r}
形式言語とオートマト

q

r
p
1
空動作を許す場合の動作例
・入力00に対するＭの動作
0
0
$
ε
0
q
p
ε
r
1
形式言語とオートマト
空動作の動作例
・入力00に対するＭの動作
0
0
場合１
$
0
ε
p
入力記号を読まずに状態遷移
２通り存在する
形式言語とオートマト
q
ε
場合２
r
1
空動作の動作例
・入力00に対するＭの動作
0
0
場合１
$
0
ε
p
受理できる
q
ε
r
1
形式言語とオートマト
空動作の動作例
・入力00に対するＭの動作
0
0
$
0
ε
p
これ以上遷移できない
→受理できない
形式言語とオートマト
q
ε
場合２
r
1
空動作の動作例
・入力00に対するＭの動作
0
0
0
ε
$
q
p
ε
r
1
入力語を読み終えたとき受理状態に到達する遷移が可能なので
入力語 00 は受理される。
形式言語とオートマト
空動作の動作例
・入力110に対するＭの動作
0
1
1
0
$
ε
q
p
ε
r
1
入力語を読み終えたとき受理状態に到達する遷移が不可能なので
入力語 110 は拒否される。
形式言語とオートマト
空動作のまとめ
空動作とは，入力記号を読まなくてもできる状態遷移
状態遷移は様々な場合が存在する
ε
Q
ε
R
S
 ( S ,  )  {Q , R }
形式言語とオートマト
形式言語とオートマト
本日の予定２
形式言語とオートマト
非決定性有限オートマトン(NFA)
→決定性有限オートマトン(DFA)
NFA（非決定性FSA）
a
DFA（決定性FSA）
a
b
a
r
s
a
{r}
t
b
a
{r,s}
b
δn a
r
---
{p,q,r}
b
b
r, s r
s t
t -形式言語とオートマト
a
a
b
{r}
{r,s} {r}
{r,s} {r,s,t} {r}
{r,s,t} {r,s,t} {r}
非決定性有限オートマトン(NFA)
→決定性有限オートマトン(DFA)
NFA（非決定性FSA）
DFA（決定性FSA）
0
0
{q}

p

1
0
q
{∅}
{p,q,r}
r
1
1
形式言語とオートマト
0
{r}
1
0,1
DFAとNFAの同等性
教科書P.47
【例2.6】を読みましょう。
実際に図2.9を図2.13に変換してみよう。
※アルゴリズム2.1をじっくり読めば理解できます。
形式言語とオートマト
DFAとNFAの同等性
1. 𝑀𝑛 の状態の集合に応じて𝑀𝑑 の状態をつくる
a
a
r
s
a
t
𝑴𝒅 =
𝒓, 𝒔, 𝒕 , 𝒓, 𝒔 , 𝒔, 𝒕 , 𝒕, 𝒓 , 𝒓 , 𝒔 , 𝒕 , ∅
b
2. 𝑀𝑛 において入力を読まずに遷移できる状態を
𝑀𝑑 の初期状態とする
3. 𝑀𝑛 の受理状態を含む状態を𝑀𝑑 の受理状態とする
4. 教科書を読んでもわかりにくい・・・
形式言語とオートマト
DFAとNFAの同等性
1. 𝑀𝑛 の状態の集合に応じて𝑀𝑑 の状態をつくる
a
a
r
s
a
t
𝑴𝒅 =
𝒓, 𝒔, 𝒕 , 𝒓, 𝒔 , 𝒔, 𝒕 , 𝒕, 𝒓 , 𝒓 , 𝒔 , 𝒕 , ∅
b
2. 𝑀𝑛 において入力を読まずに遷移できる状態を
𝑀𝑑 の初期状態とする
3. 𝑀𝑛 の受理状態を含む状態を𝑀𝑑 の受理状態とする
4. 教科書を読んでもわかりにくい・・・
形式言語とオートマト
DFAとNFAの同等性
要は入力によって何処に遷移するかを見るだけ!!
rにaが入力された場合
r 又は sに遷移する
⇒ {r,s}という名前を
持つ状態に遷移す
ると考える
a
a
r
s
a
tt
{r}
{r,s}
b
形式言語とオートマト
a
b
{r,s}
{r}
{r,s,t} {r}
{r,s,t} {r,s,t} {r}
DFAとNFAの同等性
要は入力によって何処に遷移するかを見るだけ!!
rにaが入力された場合
r 又は sに遷移する
a
a
r
s
a
⇒ {r,s}という名前を
持つ状態に遷移す
ると考える
tt
a
a
b
a
r
b
形式言語とオートマト
s
a
tt
b
{r}
{r,s} {r}
{r,s} {r,s,t} {r}
{r,s,t} {r,s,t} {r}
DFAとNFAの同等性
要は入力によって何処に遷移するかを見るだ
け!!にaが入力された場合
{r,s}
r 又は s 又は t に遷移する
⇒ {r,s,t}という名前の状態
に遷移すると考える
a
a
r
s
a
t
b
形式言語とオートマト
a
a
a
r
s
a
t
b
{r}
{r,s} {r}
{r,s} {r,s,t} {r}
{r,s,t} {r,s,t} {r}
b
初期状態から到達できる状態だけで良
い
NFA→DFA
遷移先がない場合も
複数ある場合もある
遷移先が
一意に決定
a
a
b
a
r
s
a
{r}
t
b
b
δn a
r
b
r, s r
s t
t -形式言語とオートマト
a
---
a
{r,s}
{p,q,r}
b
a
b
{r}
{r,s} {r}
{r,s} {r,s,t} {r}
{r,s,t} {r,s,t} {r}
NFAを同等なDFAに
書き換えるアルゴリズム
教科書P.50
【例2.7】を読みましょう。
実際に図2.11を図2.14に変換してみよう。
※アルゴリズム2.2をじっくり読めば理解できます。
形式言語とオートマト
空動作のある場合
1. 初期状態の構成
入力を読まなくてもq, rに遷移可能
初期状態 𝑭𝒅 = 𝒑, 𝒒, 𝒓
0

q

r
p
{p,q,r}
1
形式言語とオートマトン
空動作のある場合
1. 初期状態の構成
NFAの初期状態pから入力なし
で q または r に遷移できる
DFAの初期状態は
{p.q.r} となる
0

q

r
p
{p,q,r}
1
形式言語とオートマトン
空動作のある場合
1. 初期状態の構成
NFAの初期状態pから入力なし
で q または r に遷移できる
0

q

r
p
{p,q,r}
1
形式言語とオートマトン
DFAの初期状態は
{p.q.r} となる
空動作のある場合
2. アルゴリズム2.1と同様に状態遷移をつくる
0

q

r
p
{p,q,r}
1
形式言語とオートマト
空動作のある場合
2. アルゴリズム2.1と同様に状態遷移をつくる
0
0

p

{q}
q
1
0
∅
{p,q,r}
r
1
1
形式言語とオートマト
0
{r}
1
0,1
空動作のある場合
3. 受理状態を含む部分集合に対応する状態を
受理状態とする
0
0

p

{q}
q
1
0
∅
{p,q,r}
r
1
1
形式言語とオートマト
0
{r}
1
0,1
空動作のある場合
3. 受理状態を含む部分集合に対応する状態を
受理状態とする
0
0

p

{q}
q
1
0
∅
{p,q,r}
r
1
1
形式言語とオートマト
0
{r}
1
0,1
NFA→DFA
遷移先が一意に決定
遷移先が不確定
0
0

{q}
0
q
p

δn ε
0
1
p
q,r
q
r
p
--
q
--
r
--
--
r
形式言語とオートマト
∅
{p,q,r
}
r
1
1
δd
1
{r}
0
1
0
1
{p,q,r}
{q}
{r}
{q}
{q}
Φ
{r}
Φ
[r]
Φ
Φ
Φ
0,
1
DFAとNFAの同等性まとめ
・決定性有限オートマトン(DFA)
同等（同じ仕事をする）
・非決定性有限オートマトン(NFA)
・空動作を許す非決定性有限オートマトン（NFA)
アルゴリズム2.1や2.2を使って書き換えられる
形式言語とオートマト
頭の整理のために
小テストを行いましょう。
形式言語とオートマト