Transcript 文脈自由文法のChomsky標準形と導出木

形式言語 と オートマト
第9回
鳥取大学工学研究科
情報エレクトロニクス専攻
田中美栄子
本日の予定1
形式言語とオートマト
文法例1(文脈自由文法)
文法(grammar)
G  N, , P,S0 
非終端記号(nonterminal) N  {S}
  {a, b, c}
終端記号(terminal)
生成規則(production rule) P  {S  aSa, S  bSb, S  c}
初期記号(initial symbol)
S0  S
この文法が生成する言語は？
形式言語とオートマト
文法例1(文脈自由文法)
文法(grammar)
G  N, , P,S0 
非終端記号(nonterminal) N  {S}
  {a, b, c}
終端記号(terminal)
生成規則(production rule) P  {S  aSa, S  bSb, S  c}
初期記号(initial symbol)
S0  S
=導出例=
S ⇒ aSa ⇒ abSba⇒ abaSaba⇒ abacaba
L  {wcw | w {a, b} }
R
形式言語とオートマト
*
文法例2(文脈自由文法)
言語
L  {a b | 1　≦m ≦n ≦2m}
m n
を生成する文脈自由文法を構成しなさい
形式言語とオートマト
文法例2(文脈自由文法)
言語
L  {a b | 1　≦m ≦n ≦2m}
m n
を生成する文脈自由文法を構成しなさい
=解答=
G  {S}, {　a, b},P,S 
P = {S → aSb, S → aSbb, S → ab, S → abb}
形式言語とオートマト
文法例2(文脈自由文法)
言語
L  {a b | 1　≦m ≦n ≦2m}
m n
を生成する文脈自由文法を構成しなさい
G =< {S}, {　a, b},P,S}
P = {S → aSb, S → aSbb, S → ab, S → abb}
=導出例=
S ⇒ aSb ⇒ aaSbbb⇒ aaabbbb
形式言語とオートマト
形式言語とオートマト
文法例3(文脈自由文法)
言語
L  {a b a | i, j, k ≧1, i  j  k}
i
j
k
を生成する文脈自由文法を構成しなさい．
形式言語とオートマト
文法例3(文脈自由文法)
言語
L  {a b a | i, j, k ≧1, i  j  k}
i
j k
を生成する文脈自由文法を構成しなさい．
=解答=
G =< {S, A, B},{a, b}, P,S >
P = {S → aAa, A → bBa, B → ba, A → ba}
形式言語とオートマト
文法例3(文脈自由文法)
言語
L  {a b a | i, j, k ≧1, i  j  k}
i
j k
を生成する文脈自由文法を構成しなさい．
P  {S → aAa,A → bBa, B → ba, A → ba}
=導出例=
S ⇒ aAa ⇒ abBaa⇒ abbaaa
形式言語とオートマト
形式言語とオートマト
本日の予定2
形式言語とオートマト
文脈自由文法
プロダクションルールPの要素がすべて
変数1個→w
の形：Ｗは変数,定数,変数と定数で作る文字列
の場合、文脈自由文法と呼ぶ
生成される言語は文脈自由言語
形式言語とオートマト
同等な複数の異なる文法が作れ
る
P1 =
{ S → BSC,
S → BC,
B → b,
C → c}
P2=
{S → bSc,
S → bc}
P1とP2は同等
 どんな文脈自由言語（ただし，εを含まないも
の）も，次の形式の規則のみを使って表せる
ことを示したい
A → BC または A → a、 ただし、A、B、Cは
非終端記号、 aは終端記号である（必要に応じ
て変数を増やす）
形式言語とオートマト
 無用な記号の除去：開始記号から終端記号列
への導出に出現しない変数や終端記号の除去
ε-規則の除去：A → εの形式の規則の除去
単位規則の除去：A → Bの形式の規則の除去
S0  aS1 の形の規則（正規文法）では不可能
形式言語とオートマト
例１: 先に並んだ変数の数と等しい数の
文字が後に並ぶ文字列の生成
G  N, , P,S0 
N  {S}
  {a, b}
P  {S  aSb,S  ab}
S0  S
S  aSb  aaSbb a Sb  a Sb
3
生成される言語：
形式言語とオートマト
3

L  {anbn | n  1}
n1
n1
a b
n n
G  N, , P,S0 
N  {S}
  {a, b}
P  {S  aSb,S  ab}
S0  S
S  aSb
S  ASB, A  a, B  b,
C  SB, S  AC
S  ab
S  AB
規則を：A → BCまたはA → aに変更する
形式言語とオートマト
G  N, , P,S0 
G  N, , P,S0 
N  {S}
N  {S,A,B,C}
  {a, b}
  {a, b}
P  {S  aSb,S  ab}
P  {S  AB, A  a,
B  b, S  AC, C  SB}
S0  S
S0  S
形式言語とオートマト
文脈自由文法は木構造で書ける
• A→aBb, A→a, B →c
A
B
a
形式言語とオートマト
c
b
Chomsky標準形なら２分木になる
形式言語とオートマト
Chomsky標準形なら２分木になる
P  {S  aSb,S  ab}
P  {S  AB, A  a,
B  b, S  AC, C  SB}
S
S
A
C
B
S
S
A B
a a
b
b
形式言語とオートマト
a
a
b
b
Chomsky標準形なら２分木になる
S
木の深さは最大でも
A
文字列の長さである
C
B
S
A B
a
形式言語とオートマト
a
b
b
Chomsky標準形は一つではない
P  {S  AB, A  a,
B  b, S  AC, C  SB}
これとは異なる、同等な文法を作ろう
• その文法と,元の文法で、それぞれaaabbb
を導出せよ
形式言語とオートマト
P  {S  AB, A  a,
B  b, S  AC, C  SB}
P  {S  AB, A  a,
B  b, S  CB, C  AS}
S
C
S
C
S
S
C
S
A A A B B B
a a a b b b
C
S
A A A B B B
a a a b b b
形式言語とオートマト
例2
G=<N,Σ,P,S>
N  {S}   {a, b}
S0  S
P  {S  aSb,S  ab,S  SS}
S  aSb  aSSb  aabSb
 aabaSbb  aabaabbb
L  {w | # a(w) # b(w)≧1}
形式言語とオートマト
例2
G  N, , P,S0 
G  N, , P,S0 
N  {S}
N  {S,A,B,C}
  {a, b}
  {a, b}
P  {S  aSb,S  ab
S  SS}
P  {S  SS, S  AB, A  a,
B  b, S  AC, C  SB}
S0  S
S0  S
aabaabbbの導出木を示せ
形式言語とオートマト
例2
aabaabbbの導出木を示せ
P  {S  aSb,S  ab
S  SS}
S
C
S
S
S
S
S
S S
C
S
S
a a baa b b b
形式言語とオートマト
A A B AA B B B
a a b a a b b b
小テストです。
形式言語とオートマト