Transcript 1- capitulo iii programacion lineal

PROGRAMACIÒN LINEAL
Métodos Cuantitativos I
Docente : Ing. Eco. Rodolfo Rojas Gallo
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3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
Concepto
Programa Lineal
Formulación del programa lineal
Ejemplos de formulación de P.L
Ejercicios.
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La programación lineal es un técnica
matemática de planteamiento de problemas
de negocios, que emplea el modelo especifico
denominado programa lineal.
El uso de este modelo facilita la solución de la
función objetivo ya que a través del uso de
las ecuaciones y gráficos se encuentran
primero las variables y luego el resultado
final. (Función objetivo)
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
Modelo matemático que utiliza ecuaciones ,
inecuaciones , de primer grado para expresar
las relaciones entre dos o más variables, y
que se encuentran ligadas directamente al
objetivo del problema que expresado se
conoce como función objetivo de máximo o
de mínimo.
También el modelo precisa que la variables
son mayores o iguales a cero (No negativas)
Un programa lineal se plantea del texto del
problema, y del cual se extraen la función
objetivo ya sea de MAXIMIZACIÒN o de
MINIMIZACIÒN, así mismo se establecen las
RESTRICCIONES respecto a los recursos o
condiciones que nos indiquen en el
problema.
 Por último se indicará que las variables
( X, Y ) son positivas o mayores o iguales a
cero
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

1.- Una empresa produce dos artículos cuyos
precios de venta son 14 y 27 soles
respectivamente. La fabricación de ambos
pasa por tres procesos con 4000, 3600 y
2900 horas semanales. Para fabricar un
artículo A, se requieren 3, 2 y 1 hora en cada
proceso. Para el artículo B , se requieren 6, 4
y 2 horas en cada proceso.
Se requiere un P.L para MAXIMIZAR el ingreso
de la empresa.
ENUNCIADO
PROGRAMA LINEAL
P2
RESOLVER
M. GRAFICO
M. ALGEBRAICO
SIMPLEX
EXCEL
SOFTWARE’s
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Sean :
X = Unidades ha producir del artìculo A
Y = Unidades ha producir del artìculo B
Px = 14, Py = 27
Nos piden MAXIMIZACIÒN de INGRESOS
La fabricaciòn pasa por tres procesos con sus
respectivos tiempos y
disponibilidadesmelaboremos la siguiente
tabla AUXILIAR
PROCESO 1 PROCESO 2
PROCESO 3
PRECIOS
ARTICULOS A (X) 3
2
1
14
ARIICULOS B (Y)
6
4
2
27
DISPONIBILIDAD
4000
3600
2900

De donde se origino el problema:
◦ Una empresa produce 2 artículos, cuyos precios,
son 14 y 27.
I ) F.O :
MAX(I) = 14X + 27Y
II) S.a : 3X + 6Y <= 4000 ( Proceso 1)
2X + 4Y <= 3600 ( Proceso 2)
X + 2Y < = 2900 ( Proceso 3)
III. C.N.N : X>=0 , Y >= 0

1.-Un herrero con 80 kgs. de acero y 120
kgs. de aluminio quiere hacer bicicletas de
paseo y de montaña que quiere vender,
respectivamente a 20.000 y 15.000 Bolívares
cada una para sacar el máximo beneficio.
Para la de paseo empleará 1 kg. De acero y 3
kgs de aluminio, y para la de montaña 2 kgs.
de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de
paseo y de montaña venderá?
◦ Solucion :
◦ Sean :
X = cantidad de bicicletas de paseo ha producir
◦ Y = Cantidad de bicicletas de montaña ha producir
◦ Px = 20000 , Py = 15000
◦ Para el proceso productivo utilizan acero ( 80Kgs) y
aluminio (120Kgs)
◦ En una tabla podemos resumir el requerimiento
unitario para cada tipo de bicicleta según el
material
MATERIALES
ACERO
ALUMINIO
De paseo (X)
1Kg
De Montaña
(Y)
2Kg
2Kg
RECURSOS
DE M.P
80Kgs
120Kgs
3Kg
PRECIOS
20000
15000
I ) F.O :
MAX(I) = 20000X + 15000Y
II) S.a : X + 2Y <= 80 ( Por el Acero)
3X + 2Y <= 120 (Por el Aluminio)
III. C.N.N : X>=0 , Y >= 0

EJERCICIO 2.- . En un viaje desea transportar
al menos 4 Tm. de la mercancía A y un peso
de la mercancía B que no sea inferior a la
mitad del peso que transporta de A.
Sabiendo que cobra 30 pts./kilo de A y 20
pts./kilo de B, ¿cómo se debe cargar el
camión para obtener la ganancia máxima?
Sean :
X = Tns. que transpotarà el camiòn de
mercancìa A
Y = Tns que trasnportarà el camiòn de l
mercancìa B
Gx = ganancia por TN de A
Gy = Ganancia por TN. De B
El camiòn tiene una capacidad màxima de 9
TN
Debe transportar por lo menos 4 TN de A
Respecto a B , por lo menos debe ser la mitad
de A

I ) F.O :
MAX(G) = 30000X + 20000Y
II) S.a : X + Y <= 9 ( Por la capacidad màxima)
X >= 4
X – 2 Y =< 0
III. C.N.N : X>=0 , Y >= 0

EJERCICIO 3 .-Los 500 alumnos de un colegio
van a ir de excursión. La empresa que realiza
el viaje dispone de 10 autobuses de 40
plazas y 8 de 50, pero sólo de 11
conductores en ese día. El alquiler de los
autobuses pequeños es de 5000 pts. y el de
los grandes de 6000 pts. ¿Cuántos autobuses
de cada clase convendrá alquilar para que el
viaje resulte lo más económico posible?

Sean:
X = Cant. de Autobuses de 40, pequeños
Y = Cant. de Autobuses de 50, grandes
MIN (CT), es el objetivo
Px= 5000
Py= 6000
MIN(CT) = 5000X + 6000Y
La capacidad de los de tipo X, 40
La capacidad de los de tipo Y, 50
La cantidad total de estudiantes es 500

Por lo tanto:
40X + 50Y = 500 (Todos los alumnos iran)
Se dispone de 11 conductores:
X + Y <= 11
Se dispone de 10 buses de tipo X
X <= 10
Se dispone de 8 buses de tipo Y
Y <= 8
I ) F.O :
MIN(CT) = 5000X + 6000Y
II) S.a : 40X + 50Y = 500 (Todos van)
X + Y <= 11 (Por los conductores)
X =< 10 (Tipo pequeño)
Y =< 8 (Tipo grande)
III. C.N.N : X>=0 , Y >= 0
1. Disponemos de 210.000 euros para invertir
en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de
acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y
las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos
invertir un máximo de 130.000 euros en las
del tipo A y como mínimo 60.000 en las del
tipo B. Además queremos que la inversión en
las del tipo A sea menor que el doble de la
inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la
distribución de la inversión para obtener el
máximo interés anual?

Sean:
X = Dinero invertido en acciones de tipo A
Y = Dinero invertido en acciones de tipo B
MAX(i); es el objetivo
renx = 0.10
reny = 0.08
MAX(i) = 0.10X + 0.08Y
Disponemos de 210.000 euros para invertir
en bolsa
X + Y = 210000
Invertimos un máximo de 130.000 euros en
las del tipo A
X =< 130000
Invertimos como mínimo 60000 euros en las
de tipo B
Y => 60000
Queremos que la inversión en las del tipo A
sea menor que el doble de la inversión en B
X – 2Y < 0
I ) F.O :
MAX(i) = 0.10X + 0.08Y
II) S.a :
X + Y = 210000 (Dinero a invertir)
X =< 130000 (Din. a invert. en acc. Tipo A)
Y => 60000 (Din. a invert. en acc. Tipo B)
X – 2Y < 0 (Inv. Tipo A < doble inv. Tipo B)
III. C.N.N : X>=0 , Y >= 0
2. En una pastelería se hacen dos tipos de tartas:
Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un
cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y
produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una
tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada
Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio.
En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta
150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque
por problemas de maquinaria no pueden hacer mas
de 125 tartas de cada tipo. ¿Cuántas tartas
Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para
que sea máximo el beneficio?

Sean:
X = Número de tartas Vienesa
Y = Numero de tartas Real
MAX(I); es el objetivo
Benx = 250 Ptas.
Beny = 400 Ptas.
MAX(I) = 250X + 400Y
En una tabla podemos resumir el
requerimiento unitario para cada tipo de
tarta:
INGREDIENTES
BISCOCHO
TARTA VIENESA
(x)
1Kg
TARTA REAL
(Y)
1Kg
KG POR CADA
INGREDIENTE
150 Kg
RELLENO
0.25 Kg
0.50Kg
50 Kg
BENEFICIO
250
400
Por problemas de maquinaria no pueden
hacer mas de 125 tartas de cada tipo
X <= 125
I ) F.O :
II) S.a :
MAX(I) = 250X + 400Y
X + Y =< 150 Kg (Por el biscocho)
0.25X + 0.50Y =< 50 Kg (Por el relleno)
X + Y <= 125 (Por prob. De maquinaria)
III. C.N.N : X>=0 , Y >= 0
3. Una escuela prepara una excursión para 400
alumnos. La empresa de transporte tiene 8
autocares de 40 plazas y 10 autocares de 50
plazas, pero solo dispone de 9 conductores.
El alquiler de un autocar grande cuesta 80
euros y el de uno pequeño, 60 euros. Calcular
cuántos de cada tipo hay que utilizar para
que la excursión resulte lo mas económica
posible para la escuela.

4.-Una compañía posee dos minas: la mina A
produce cada día 1 tonelada de hierro de alta
calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de
baja calidad. La mina B produce cada día 2
toneladas de cada una de las tres calidades.
La compañía necesita al menos 80 toneladas
de mineral de alta calidad, 160 toneladas de
calidad media y 200 de baja calidad.
Sabiendo que el coste diario de la operación
es de 2000 euros en cada mina ¿cuántos días
debe trabajar cada mina para que el coste
sea mínimo?.
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Sean:
X = Días trabajados en mina A
Y = Días trabajados en mina B
MIN(CT); es el objetivo
Cosx = 2000 euros
Cosy = 2000 euros
MIN(CT) = 2000X + 2000Y
Resumimos en una tabla las toneladas de
hierro de diferentes calidades producidas en
cada mina:
CALIDAD
ALTA
CALIDAD
MEDIANA
CALIDAD
BAJA
CALIDAD
COSTO
DIARIO
MINA A (X)
1 Tm
3 Tm
5 Tm
2000
MINA B (Y)
2 Tm
2 Tm
2 Tm
2000
CANT. MIN.
REQUERIDA
80 Tm
160 Tm
200 Tm
I ) F.O :
MIN(CT) = 2000X + 2000Y
II) S.a :
X + 2Y => 80 Tm (Por Hiero alt. calidad)
3X + 2Y => 160 Kg (Por el Hierro med. cal.)
5X + 2Y => 200 (Por el hierro alta calidad)
III. C.N.N : X>=0 , Y >= 0
5. Se va a organizar una planta de un taller de
automóviles donde van a trabajar electricistas
y mecánicos. Por necesidades de mercado, es
necesario que haya mayor o igual número de
mecánicos que de electricistas y que el
número de mecánicos no supere al doble que
el de electricistas. En total hay disponibles 30
electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de
la empresa por jornada es de 250 euros por
electricista y 200 euros por mecánico.
¿Cuántos trabajadores de cada clase deben
elegirse para obtener el máximo beneficio y
cual es este?
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Sean:
X = Numero de electricistas
Y = Numero de mecánicos
MAX(I); es el objetivo
Benx = 250 euros
Beny = 200 euros
MAX(I) = 250X + 200Y
Es necesario que haya mayor o igual número
de mecánicos que de electricistas
X – Y =< 0
El número de mecánicos no supera al doble
que el de electricistas
2X – Y => 0
Hay disponibles 30 electricistas
X =< 30
Hay disponibles 20 mecánicos
Y =< 20
I ) F.O :
MAX(I) = 250X + 200Y
II) S.a :
X – Y =< 0 (Mecánicos >= electricistas)
2X – Y > 0 (Mecánicos =< doble electric.)
X =< 30 (Electricistas)
Y =< 20 (Mecánicos)
III. C.N.N : X>=0 , Y >= 0
6. Para recorrer un determinado trayecto, una
compañía aérea desea ofertar, a lo sumo, 5000
plazas de dos tipos: T(turista) y P(primera). La
ganancia correspondiente a cada plaza de tipo T es
de 30 euros, mientras que la ganancia del tipo P es
de 40 euros.
El número de plazas tipo T no puede exceder de
4500 y el del tipo P, debe ser, como máximo, la
tercera parte de las del tipo T que se oferten.
Calcular cuántas tienen que ofertarse de cada
clase para que las ganancias sean máximas.

Sean:
X = Numero de plazas T (Turista)
Y = Numero de plazas P (Primera)
MAX(I); es el objetivo
Ganx = 30 euros
Gany = 40 euros
MAX(I) = 30X + 40Y
Hay 5000 plazas, a lo sumo, para los dos
tipos:
X + Y =< 5000
Número de plazas tipo T:
X =< 4500
Número de plazas tipo P: Debe ser, como
máximo, la tercera parte de las del tipo T
X – 3Y =>0
I ) F.O :
MAX(I) =30X + 40Y
II) S.a :
X + Y =< 5000 (Nro plazas ofertadas)
X =< 4500 (Nro de plazas del tipo T)
X – 3Y =>0 (Nro de plazas del tipo P)
III. C.N.N : X>=0 , Y >= 0