Transcript 004 NOTATION SCIENTIFIQUE OPÉRATIONS

La notation scientifique
Écriture et opérations
Écriture
La notation scientifique est une forme d’écriture servant à
représenter des nombres très grands ou très petits.
a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z
Pour bien comprendre cette forme d’écriture, il faut connaître
la principale caractéristique de la notation décimale.
La notation décimale est l’écriture utilisée par la majorité des
gens.
Exemples:
2 500 $
2,5 kg
75 ans
8 frères et soeurs
2 automobiles
45,7 cm
Elle est très pratique pour écrire des nombres parce qu’elle
est facile à utiliser.
La caractéristique principale de la notation décimale est que:
chaque position des chiffres représente un multiple de 10.
Vers:
l’infiniment grand
G : giga :
Unité de milliard: 1 000 000 000
M : méga : Unité de million:
1 000 000
Centaine de mille:
100 000
10 000
Dizaine de mille:
k : kilo :
Unité de mille:
h : hecto : Centaine:
da : déca : Dizaine:
L’unité
d : déci : Dixième:
c : centi : Centième:
m : milli : Millième:
 : micro : Millionième:
n : nano : Milliardième:
Vers:
1 000
100
10
1
0,1
0,01
0, 001
0, 000 001
0, 000 000 001
l’infiniment petit
Comme tous ces nombres sont des multiples de 10, on
peut donc les écrire en utilisant la base 10.
1 000 000 000
1 000 000
100 000
10 000
= 109
= 106
1 000
100
10
= 103
= 102
= 101
1
= 100
0,1
= 10-1
d : déci
0,01
= 10-2
c : centi
0, 001
= 10-3
0, 000 1
= 10-4
0, 000 001
= 10-6
 : micro
0, 000 000 001
= 10-9
n : nano
G : giga
M : méga
= 105
= 104
k : kilo
h : hecto
da : déca
m : milli
Remarque: Un exposant négatif signifie donc une petite quantité.
Dans la définition mathématique de la notation scientifique:
a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z
le 10
signifie donc un nombre écrit
en utilisant la base 10;
l’exposant
étant pris dans la
famille des entiers,
soit Z;
a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z
ce nombre
doit être écrit égal ou plus
grand que 1 et inférieur à 10.
L’écriture de ce nombre en notation scientifique doit représenter
la même quantité que son écriture en notation décimale.
Exemple 1: Écrire 23 643 en notation scientifique.
Dans 23 643 la virgule est à la fin: 23 643,0
Étape 1:
Déplacer la virgule entre le 2 et le 3;
2 3 6 4 3 ,0
Ce nouveau nombre respecte une des deux conditions,
1 ≤ 2,364 3 < 10
mais il n’est pas égal à 23 643
Étape 2:
Pour le rendre égal à 23 643, il faut le multiplier par 10 000.
23 643 = 2,364 3 X 10 000
c’est-à-dire 104.
23 643 = 2,364 3 X 104
soit le nombre de positions traversées par la virgule.
Exemple 2: Écrire 0,000 034 en notation scientifique.
Étape 1:
Déplacer la virgule entre le 3 et le 4;
0 , 000 03 4
Ce nouveau nombre respecte une des deux conditions.
1 ≤ 3,4 < 10
mais il n’est pas égal à 0,000 034.
Étape 2:
Pour le rendre égal à 0,000 034, il faut le multiplier par 0,000 01.
0,000 034 = 3,4 X 0,000 01
c’est-à-dire 10-5
0,000 034 = 3,4 X 10-5
soit le nombre de positions traversées par la virgule.
Remarque:
Déplacer la virgule vers la gauche, fait augmenter l’exposant
de la base 10.
2 3 6 4 3 ,0
23 643,0 X 100
2,364 3 X 104
Déplacer la virgule vers la droite, fait diminuer l’exposant de
la base 10.
0 , 000 03 4
0,000 03 4 X 100
3,4 X 10-5
Exercices
Transforme les nombres suivants en notation scientifique:
16 765 000 000 000: 1,676 5 X 1013
Remarque:
Les calculatrices peuvent afficher différentes écritures pour la
notation scientifique :
1,676 5 1013;
1,676 5 E13. Le E remplace la base 10 ;
1,676 5 13. L’espace remplace la base 10 ;
Tu dois donc bien connaître le fonctionnement de ta calculatrice.
Exercices
Transforme les nombres suivants en notation scientifique:
156 000: 1,56 X 105
234 000 000 000 000: 2,34 X 1014
946 080 000 000 000 000:
9,460 8 X 1017
0,0456: 4,56 X 10-2
0,000 000 12: 1,2 X 10-7
0,000 000 000 000 000 000 160 218: 1,602 18 X 10-19
0, 000 000 000 456: 4,56 X 10-10
À l’inverse, si le nombre est écrit en notation scientifique, on
l’écrira en notation décimale en procédant selon ce
raisonnement:
2,3 X 105 =
2,3 X 100 000 =
230 000
Remarque:
Notation décimale
230 000,0
Notation scientifique
2 3 0 0 0 0,0
Notation décimale
Notation scientifique
2,3 X 105
2,3 X 105
2,3 0 0 0 0 0
230 000,0
À l’inverse, si le nombre est écrit en notation scientifique, on
l’écrira en notation décimale en procédant selon ce
raisonnement:
1,5 X 10-3 = 1,5 X 0,001 = 0,001 5
Remarque:
Notation décimale
0,001 5
Notation scientifique
0,001 5
Notation scientifique
1,5 X 10-3
1,5 X 10-3
Notation décimale
0 001,5
0,001 5
Exercices
Transforme les nombres suivants en notation décimale:
1,27 X 106 : 1 270 000
4,5869 X 103 : 4 586,9
1,2 X 1010 : 12 000 000 000
3,475 X 1020 : 347 500 000 000 000 000 000
2,5 X 10-3 : 0, 002 5
1,897 X 10-10 : 0, 000 000 000 189 7
2, 49573 X 10-12 : 0, 000 000 000 002 495 73
Quelques symboles
G : giga : unité de milliard: 1 000 000 000
= 1 X 109
M : méga : unité de million:
1 000 000
= 1 X 106
1 000
= 1 X 103
k : kilo : unité de mille:
 : micro :
millionième:
0, 000 001
= 1 X 10-6
n : nano :
milliardième:
0, 000 000 001
= 1 X 10-9
Quelques symboles
La centrale hydroélectrique de Manic 5 a une puissance de
1 528 MW.
1 528 MW = 1 528 X 1 000 000 = 1 528 000 000 watts
La centrale hydroélectrique de la Baie-James a une puissance
de 16 GW.
16 GW = 16 X 1 000 000 000 = 16 000 000 000 watts
La construction de la première phase du projet du barrage
de la Baie-James a coûté 13,7 G$.
13,7G$ = 13,7 X 1 000 000 000 = 13 700 000 000,00 $
La mémoire des ordinateurs a évolué.
Il y a environ 20 ans, elle se calculait en Mo.
1 Mo = 1 mégaoctets
1 X 1 000 000 = 1 000 000 octets.
1 X 106 octets.
Il y a environ 10 ans, elle se calculait en Go.
1 Go = 1 gigaoctets
1 X 1 000 000 000 = 1 000 000 000 octets.
1 X 109 octets.
Aujourd’hui, elle se calcule To.
1 To = 1 téraoctets
1 X 1 000 000 000 000 = 1 000 000 000 000 octets.
1 X 1012 octets.
1m
1 km
1 Mm
1 Gm
1 mètre
1 mm
1 m
1 nm
La technologie évolue très rapidement.
Observe des réalisations faites au
1
m ( micromètre ).
m = 0,000 001 m = 0,001 mm
La technologie évolue très rapidement.
Observe des réalisations faites au nm ( nanomètre ).
1 nm = 0,000 000 001 m = 0,000 001 mm
Les opérations
Les opérations effectuées avec la notation scientifique se
regroupent en deux catégories:
1) la multiplication et la division;
2) l’addition et la soustraction.
Chaque catégorie possède ses propres règles de fonctionnement.
La multiplication
Exemple: 2 X 102 X
3 X 103
On pourrait transformer ces quantités en notation décimale:
200
Calculer:
X
3 000
600 000
Reconvertir en notation scientifique: 6 X 105
Cependant, pour de très gros nombres, le procédé peut être long.
Il est plus rapide d’utiliser certaines lois sur les exposants.
2 X 102 X
3 X 103
Étape 1: Multiplier les nombres accompagnant les bases 10.
2X3=6
Étape 2 : Multiplier les bases 10 selon la loi de la multiplication
des bases semblables: - on récupère la base;
- on additionne les exposants;
102 X 103 = 102+3 = 105
Étape 3: On regroupe le tout: 6 X 105
Pour de très gros nombres, le procédé est plus rapide.
Exemple:
2 X 108 X
4 X 106 = 8 X 1014
Exercices
Calcule les quantités suivantes:
1,5 X 105 X 3 X 106 = 4,5 X 1011
4 X 1034 X 2 X 106 = 8 X 1040
2,5 X 105 X 5 X 103 = 1,25 X 109
Attention: 2,5 X 5 = 12,5 et 105 X 103 = 108
mais 12,5 n’est pas un nombre compris entre 1 et 10.
Une des conditions de la notation scientifique: 1 ≤ a < 10
On doit donc terminer l’écriture:
12,5 X 108 = 1,25 X 109
Calcule les quantités suivantes:
2,3 X 107 X 5,6 X 102 = 1,288 X 1010
4,81 X 105 X 3,4 X 106 = 1,6354 X 1012
1,7 X 104 X -2,3 X 105 = -3,91 X 109
Attention:
La loi concernant la multiplication et la division de
nombres positifs et négatifs s’applique aussi en
notation scientifique.
-3,4 X 106 X 1,2 X 104 = - 4,08 X 1010
-2,1 X 105 X - 4,3 X 102 = 9,03 X 107
Calcule les quantités suivantes:
2 X 106 X 3 X 10-4 = 6 X 102
Attention: 2 X 106 X 3 X 10-4
106 X 10-4 = 106+ -4 = 106 - 4 = 102
2,4 X 1010 X 3 X 10
-4
= 7,2 X 106
3,1 X 107 X 5,2 X 10-3 = 1,612 X 105
La division
Exemple: 4 X 105 ÷ 2 X 102
On pourrait transformer ces quantités en notation décimale:
400 000 ÷ 200
Calculer:
2 000
Reconvertir en notation scientifique: 2 X 103
Cependant, pour de très gros nombres, le procédé peut être long.
Il est plus rapide d’utiliser certaines lois sur les exposants.
4 X 105 ÷ 2 X 102
Étape 1: Diviser les nombres accompagnant les bases 10.
4÷2=2
Étape 2 : Diviser les bases 10 selon la loi de la division des
bases semblables: - on récupère la base;
- on soustrait les exposants;
105 ÷ 102 =
105-2 = 103
Étape 3: On regroupe le tout: 2 X 103
Pour de très gros nombres, le procédé est plus rapide.
Exemple:
9 X 1014 ÷ 3 X 106 =
3 X 108
Exercices
Calcule les quantités suivantes:
3 X 106 ÷ 1,5 X 104 = 2 X 102
4 X 1034 ÷ 2 X 106 =
2 X 1028
2,5 X 108 ÷ 5 X 103 = 5 X 104
Attention: 2,5 ÷ 5 = 0,5
et 108 ÷ 103 = 105
mais 0,5 n’est pas un nombre compris entre 1 et 10.
Une des conditions de la notation scientifique: 1 ≤ a < 10
On doit donc terminer l’écriture:
0,5 X 105 = 5 X 104
Calcule les quantités suivantes:
2,8 X 107 ÷ 5 X 102 = 5,6 X 104
1,02 X 108 ÷ 3,4 X 103 =
3 X 104
1,5 X 106 ÷ 2 X 102 = 7,5 X 103
8 X 106 ÷ 2 X 10
-4
= 4 X 1010
Attention: 8 X 106 ÷ 2 X 10
106
÷
-4
10-4 = 106- -4 = 106 + 4 =1010
2,4 X 1010 ÷ 3 X 10-2 = 8 X 1011
1,2 X 10-6 ÷ 4 X 10-3 = 3 X 10-4
L’addition et la soustraction
Exemple: 4 X 105 +
2 X 103
On pourrait transformer ces quantités en notation décimale:
400 000 + 2000
Calculer:
+
400 000
2 000
402 000
Reconvertir en notation scientifique:
4,02 X 105
Pour additionner et soustraire des nombres écrits en notation
scientifique, la règle est quelque peu différente.
Pendant le calcul, la condition 1 ≤ a < 10 ne s’applique pas.
Il faut écrire les nombres avec la même puissance de 10.
Exemple: 4 X 105 +
2 X 103
Transformer le plus petit des nombres: 4 X 105 + 0,02 X 105
On additionne alors les nombres accompagnant les bases 10;
4 + 0,02 = 4,02
On récupère la puissance de 10 sans la modifier:
105
4 X 105 + 0,02 X 105
On regroupe le tout: 4,02 X 105
Exercices
3 X 106 + 1,5 X 104 = 3,015 X 106
2,5 X 106 + 5 X 103 = 2,505 X 106
8,4 X 105 - 2,3 X 104 =
8,17 X 105
1,6 X 104 - 5,2 X 106 =
- 5,184 X 106
Attention:
La loi concernant l’addition et la soustraction de
nombres positifs et négatifs s’applique aussi en
notation scientifique.
Exercices
Convertis les unités de mesures suivantes dans l’unité demandée.
1,25 X 105 km en m : 1,25 X 108 m
Convertir des unités de mesures en utilisant la notation
scientifique est simple et rapide.
car selon le tableau des unités de longueur :
km
hm dam m dm cm mm
par 10 pour chaque unité franchie.
donc X 1 000 ou 103
1,25 X 105 X 103 = 1,25 X 105 + 3 = 1,25 X 108 m
Exercices
Convertis les unités de mesures suivantes dans l’unité demandée.
3,2 X 109 m3 en cm3 : 3,2 X 1015 cm3
car selon le tableau des unités de volume :
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
par 1 000 pour chaque unité franchie.
donc X 1 000 000 ou 106
3,2 X 109 X 106 = 3,2 X 109 + 6 = 3,2 X 1015 cm3
Exercices
Convertis les unités de mesures suivantes dans l’unité demandée.
4,71 X 1012 m3 en km3 : 4,71 X 103 km3
car selon le tableau des unités de volume :
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
par 1 000 pour chaque unité franchie.
donc ÷ 1 000 000 000 ou 109
4,71 X 1012 ÷ 109 = 4,71 X 1012 - 9 = 4,71 X 103 km3
Exercices
Convertis les unités de mesures suivantes dans l’unité demandée.
2,7 X 109 m2 en hm2 : 2,7 X 105 hm2
car selon le tableau des unités de surface :
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
par 100 pour chaque unité franchie.
donc ÷ 10 000 ou 104
2,7 X 109 ÷ 104 = 2,7 X 109 - 4 = 2,7 X 105 hm2