Transcript Slayt 1

Bölüm 8: EĞRİ UYDURMA
Fizikte laboratuarda yapılan deneysel ölçümlerin ne kadar hata payı
içerdiğini, veya belli teorik modellere ne kadar uyduğunu bilmek
önemlidir. Bu amaçla verilerin standart ve herkes tarafından anlaşılır
yöntemlerle analiz edilmesi gerekir.
Bir fiziksel büyüklüğün davranışını açıklayan teorik bir model varsa, bu
modelin deneysel ölçümlerle ne kadar uyumlu olduğunu bilmek isteriz.
Örneğin, bir y büyüklüğünün x değişkenine göre değişimi şekilde
gösterildiği gibi ölçülmüş olsun.
y
y=ax+b
x
Şekil 8.1:
Teorik modele göre y=ax+b şeklinde lineer bir bağımlılık öngörülüyorsa,
bu deneysel noktalara en az hata payı ile uyum gösteren doğru hangisi
olur. Bu doğruyu bulursak, a ve b katsayılarını da hesaplayabiliriz.
İNTERPOLASYON:
Bir f(x) fonksiyonunun x1,x2,….,xN veri noktalarında aldığı y1,y2,….yN
değerleri verilmişse, fonksiyonun başka bir x noktasında alacağı değeri
bilmek istiyoruz. Aranılan x değeri, [x1,xN] aralığı içinde yer alıyorsa bu
işleme interpolasyon, dışında yer alıyorsa extrapolasyon adı verilir.
İnterpolasyon yönteminde genel yaklaşım, bilinmeyen f(x) fonksiyonu
yerine, bu veri noktalarını sağlayan bir polinom kullanmaktır. İki noktadan
geçen polinom bir doğru, üç noktadan geçen polinom kuadratik denklem
olduğuna göre, N sayıda noktadan geçen polinomun derecesi N-1 olur:
P( x)  aN 1x N 1  ........ a1x  a0
Bu polinomun N sayıda veri noktasını sağlaması isteniyorsa,
P( xi )  yi
(i  1,2,....,N ) olmalıdır.
Daha açık yazarsak,
aN 1 x1N 1  .............  a1 x1  a0  y1
aN 1 x2N 1  .............  a1 x2  a0  y2
.
.
.
aN 1xNN 1  ............. a1xN  a0  yN
Burada bilinmeyen a1 , a2 ,....,aN katsayıları için N sayıda bir denklem
sistemidir. Daha önce öğrendiğimiz Gauss elemesi yöntemiyle ai
katsayıları belirlendikten sonra, istenilen herhangi bir x değeri için
polinomun değeri hesaplanıp y(x) interpolasyon değeri bulunur.
Lagrange İnterpolasyonu:
Yukarıda an katsayıları için denklem sistemini çözmeye gerek kalmadan,
N sayıda noktayı sağlayan polinomu doğrudan yazmak mümkündür.
Lagrange tarafından bulunan bu klasik formül şöyledir:
P( x) 
( x  x2 )(x  x3 )....(x  xN )
( x  x1 )(x  x3 )....(x  xN )
y1 
y2  ...
( x1  x2 )(x1  x3 )....(x1  xN )
( x2  x1 )(x2  x3 )....(x2  xN )
.....
( x  x2 )(x  x3 )....(x  xN 1 )
yN
( xN  x2 )(xN  x3 )....(xN  xN 1 )
Gerçekten de x=xi olduğunda, önünde yi çarpanı olan terim dışındakiler
sıfır ve polinomun değeri yi olmaktadır. Bu formüldeki her terimin (N-1)
dereceden birer polinom olduğuna dikkat edelim.
Üç ayrık nokta için kuadratik interpolasyon oluşturursak; bu ikinci
dereceden bir polinom olacaktır.
P2 ( x)  y1L1 ( x)  y2 L2 ( x)  y3 L3 ( x)
L1 ( x) 
( x  x2 )(x  x3 )
( x1  x2 )(x1  x3 )
( x  x1 )(x  x3 )
L2 ( x) 
( x2  x1 )(x2  x3 )
L3 ( x) 
( x  x1 )(x  x2 )
( x3  x1 )(x3  x2 )
Lagrange interpolasyon
fonksiyonları
x  x1
x2  x1
tanımlanırsa P1(x) ve P2(x) interpolasyon formülleri
aşağıdaki şekilde ifade edilir:

P1 ( x)  y1   ( y2  y1 )
P2 ( x)  P1 ( x) 
 (   1)
2
( y3  2 y2  y1 )
Kübik Şerit İnterpolasyonu:
N tane veri noktasından geçen (N-1) gibi yüksek dereceli bir tek polinom
kullanmak, aşırı salınımlara yol aşıyordu. O halde, iki-üç noktayı
kapsayan daha küçük aralıklarda, daha küçük dereceden polinomlar
kullanarak bu aşırı salınımları engelleyebiliriz. Ancak, bu polinom
parçaları bir aralıktan diğerine yumuşak geçiş yapmalıdırlar. Eğer ardışık
iki aralıktaki polinomların 1. ve 2. türevleri geçiş noktasında sürekli
olurlarsa, geçişler düzgün olacaktır.
En kullanışlı olan kübik şerit (spline) yönteminde iki noktadan geçen
kübik bir polinom alınır ve bu iki noktada 1. ve 2.türevin sürekliliği
koşuluyla katsayılar tayin edilir.
y
P3(x)
P2(x)
P1(x)
x1
x2
x3
x4
x
Şekil 8.2:
[xi,xi+1] aralığını göz önüne alalım. xi noktasını sağlayan kübik polinom
şöyle olur:
Pi ( x)  ai  bi ( x  xi )  ci ( x  xi )2  di ( x  xi )3
Şimdi sınır koşullarını koyalım. Bu polinom xi+1 noktasında, komşu
polinomla aynı değeri vermelidir:
Pi ( xi 1 )  yi 1
Pi 1 ( xi 1 )  yi 1
Burada katsayılar arasında iki bağıntı elde ederiz:
ai  bi ( xi 1  xi )  ci ( xi 1  xi ) 2  di ( xi 1  xi )3  yi 1
ai 1  bi 1 ( xi 1  xi )  ci 1 ( xi 1  xi ) 2  di 1 ( xi 1  xi )3  yi 1
sonra, 1. ve 2.türevlerin sürekliliği koşulları yazılır.
P'i ( xi 1 )  P'i 1 ( xi 1 )
P' 'i ( xi 1 )  P' 'i 1 ( xi 1 )
(N-1) sayıdaki aralığın her birinde 4 bilinmeyen varsa, toplam 4(N-1)
bilinmeyen eder ve bize bu kadar sayıda bağıntı gerekir. Aralıkların
arsındaki sınırların sayısı (N-2) olduğuna göre, bu sınırlarda toplam 4(N2) bağıntı yazılabilir. O halde, 4 bağıntı daha gerekir. Bunlardan ikisi
fonksiyonun iki uçtaki değerinden gelir. Şimdi iki koşul daha gerekir. İki
uçta 1. ve 2.türevler belli olmadığı için bu koşullar en doğal olarak,
P' '1 ( x1 )  0
ve
P' ' N 1 ( xN )  0
alınır. Daha sonra, işlemler yapılarak katsayıları veren bağıntılar bulunur.
ai  yi
bi 
yi 1  yi hi
 (2ci  ci 1 )
hi
3
di 
ci 1  ci
3hi
Burada hi=xi+1-xi adım uzunluğu her aralık için aynı olmak zorunda değildir.
ci katsayıları da bir tekrarlama bağıntısı olarak verilirler:
yi 1  yi
yi  yi 1
hi ci 1  2(hi  hi 1 )  hi 1ci 1  3
3
hi
hi 1
EĞRİ UYDURMA
Veri analizinde ikinci önemli konu, deneysel verileri teorik bir modele
uydurmaktır. Bir deneyde ölçülen N sayıda veri noktası (xi,yi) olsun. Teorik
bir modelde bu değişkenler arasında y=f(x) gibi bir bağıntı olacağı
öngörülüyorsa, veri noktalarından en az hata ile geçen f(x) eğrisi ne
olmalıdır? f(x) bir doğru veya bir polinom olabilir.
Basit olması açısından önce Lineer en küçük kareler yöntemini ele alalım.
Lineer En Küçük Kareler Yöntemi:
y
y=ax+b
y(x2)
s2
s1
y(x1)
Şekil 8.3:
x
Şekilde görüldüğü gibi, y=ax+b doğrusunun veri noktalarının hepsinden
geçmesi imkansızdır. Herhangi bir (xi,yi) noktasının bu doğrudan sapma
miktarı,
si  yi  y( xi )
Burada si farkı artı veya eksi olabileceğinden karesini gözönüne almak
daha uygundur.
Tüm deneysel noktaların doğrudan sapma miktarlarının kareleri toplamı,
N
S (a, b)   ( yi  axi b) 2
i
Toplam sapma miktarı a ve b katsayılarının bir fonksiyonudur. a ve b
değerleri ne kadar iyi seçilirse S değeri de o kadar küçük olur.
Bu durumda S(a,b) büyüklüğünü minimum yapan a ve b değerleri nelerdir.
Bir fonksiyonun minimum noktası 1.türevi sıfıra eşitleyerek bulunur. S’nin a
ve b ye göre kısmi türevlerini bulup sıfıra eşitleyerek aşağıdaki ifadeler
elde edilir;
S ( a, b)
S ( a, b)
0
0
a
b
N
N
N
i 1
i 1
a ( xi )  b xi   xi yi
2
i 1
N
N
i 1
i 1
bN  a  xi   yi
Buradaki toplamalar, deneysel veriler cinsinden hesaplanan, yani bilinen
değerlerdir. O halde, bu iki denklem a ve b bilinmeyenleri için lineer bir
denklem sistemi olur. Bunu matris şeklinde yazarsak;

 N
N
 x
i

i 1
 b   N

x
y

i  
 i 
i 1
     Ni 1 
N
2  
 xy
x


i  
i i



i 1
 a   i 1
N
elde edilir.
Polinom En Küçük Kareler Yöntemi:
Lineer en küçük kareler yöntemi için bulduğumuz sonuçları, aynı yolla
daha yukarı dereceden polinomlara genişletebiliriz.
Bulacağımız polinomun derecesi M olsun;
M
P( x)  a0  a1 x  a2 x  ...........  aM x   a j x j
2
M
j 0
Her veri noktasında bu eğriden olan sapma miktarı,
si  yi  p(x)
olup, N sayıdaki veri noktasında oluşan sapmaların kare toplamı,


j

S (a0 , a1 ,....,aM )    yi   a j xi 
i 1 
j 0

N
M
2
olur. S’nin minimum değerini bulmak için, her bir aj katsayısına göre
1.türevlerin sıfır olmasını isteriz.
N 
M

S
 2  yi   a j xij   0
a0
i 1 
j 0

N 
M

S
 2  yi   a j xij xi  0
a1
i 1 
j 0

.
.
.
.
.
.
N 
M
 M
S
j

 2  yi   a j xi xi  0
aM
i 1 
j 0

Bu denklemler a bilinmeyenine göre yeniden düzenlenirse, M+1
bilinmeyenli bir lineer denklem sistemi oluşur;
 N

  xi
  xi2

 
 xM
 i
 xi
 xi2
3
x
 i

M 1
x
 i
2
x
 i
 xi3
4
x
 i

M 2
x
 i





M
x
 i   a0    yi 

M 1 
a
x
 i   1    xi yi 
2
M 2 




x
a
x
 i   2    i yi 
     

2M  
 xM y 

a
x
 i   M   i i 
(M+1). dereceden bu lineer denklem sistemini Gauss elemesi yöntemiyle
çözerek
a0 , a1 ,......,aM
Katsayılarını bulabiliriz.