Elementi uniti - sito della classe 2^e del liceo scientifico casiraghi
Download
Report
Transcript Elementi uniti - sito della classe 2^e del liceo scientifico casiraghi
Trasformazioni geometriche
Trasformazione
È una corrispondenza tra punti del piano T : P P
Noi ci occuperemo solo delle trasformazioni che sono
corrispondenze biunivoche
I punti trasformati della figura F formano una
nuova figura F’, detta figura trasformata F ' T F
A seconda del tipo di corrispondenza, alcune
caratteristiche di F rimangono inalterate, altre no
Invariante
Si dice invariante ogni proprietà che rimane
inalterata a seguito di una trasformazione
Felix Klein (1849-1925)
matematico tedesco
descrive la geometria come lo studio delle proprietà
delle figure aventi carattere invariante rispetto ad un
particolare gruppo di trasformazioni
Quindi classificare i vari gruppi di trasformazioni
equivale a classificare le varie geometrie
Geometria euclidea
La geometria euclidea del piano, per
esempio, è lo studio delle proprietà delle
figure che si mantengono invarianti rispetto
ad un particolare gruppo di trasformazioni le
cosiddette trasformazioni rigide (movimento
rigido)
Isometrie
Iso (uguale) metria (distanza)
Dette anche congruenze (movimenti rigidi)
Def.: “una trasformazione che lascia invariata
la distanza è detta isometria”
Un caso particolare di isometria è la trasformazione
identica che associa ad ogni punto del piano sé
stesso
Isometrie
Simmetrie
O P P'
Centrale
a P P '
Assiale
Proprietà delle simmetrie: scheda di lavoro
Elementi uniti di una trasformazione
Traslazioni
Rotazioni
Simmetria centrale
La simmetria centrale di centro O è quella
trasformazione che associa ad ogni punto P del
piano un punto P’, tale che O sia il punto medio del
segmento PP’
E quindi:
O PP '
OP OP '
Scheda di lavoro
Simmetria centrale
La simmetria centrale conserva
La distanza
L’allineamento (e l’ordinamento) dei punti
L’ampiezza degli angoli
La conservazione dell’allineamento e degli angoli è
una conseguenza della conservazione della
distanza, perciò valgono per qualsiasi isometria
Due rette che si corrispondono in una simmetria
centrale sono parallele
Simmetria centrale nel piano cartesiano
Simmetria rispetto
all’origine
x' x
y' y
Simmetria centrale nel piano cartesiano
Simmetria rispetto ad un punto M
M è il punto medio di AA’
x ' 2 xM x
y' 2 yM y
Simmetria assiale (riflessione)
La simmetria assiale di asse a è quella
trasformazione che associa ad ogni punto P del
piano un punto P’, tale che a sia asse del
segmento PP’
E quindi:
a PP '
PC P ' C
Scheda di lavoro
Simmetria assiale nel piano cartesiano
Simmetria rispetto
all’asse delle x
x' x
y' y
Simmetria assiale nel piano cartesiano
Simmetria rispetto
all’asse delle y
x' x
y' y
Simmetria assiale nel piano cartesiano
Simmetria rispetto a una
retta di equazione y=h
Da fare
x' x
y' y
Simmetria assiale nel piano cartesiano
Simmetria rispetto a una
retta di equazione x=k
Da fare
x' x
y' y
Simmetria assiale nel piano cartesiano
Simmetria rispetto alla
bisettrice I e III
quadrante
x' y
y' x
Simmetria assiale nel piano cartesiano
Simmetria rispetto alla
bisettrice II e IV
quadrante
x' y
y' x
Elementi uniti di una trasformazione
Un punto P è unito se il suo trasformato P’
coincide con P
In una simmetria centrale ci sono punti uniti?
centro di simmetria
In una simmetria assiale ci sono punti uniti?
punti dell’asse
Elementi uniti di una trasformazione
Una retta r è unita se la sua trasformata r’ coincide
con r
In una simmetria centrale ci sono rette unite?
In una simmetria assiale ci sono rette unite?
ogni retta passante per il centro di simmetria
asse di simmetria (caso particolare)
ogni retta perpendicolare all’asse
In generale una figura F è unita se la sua
trasformata F’ coincide con F (viene trasformata in
se stessa)
Elementi uniti di una trasformazione
Rispetto a quali simmetrie sono uniti:
Un angolo
Un segmento
centrale: punto medio; assiale: asse
Un parallelogramma
assiale: bisettrice
centrale: punto di incontro delle diagonali
Una circonferenza
centrale: centro; assiale: ogni diametro
Traslazione
La traslazione di vettore v è quella trasformazione
che associa ad ogni
punto P del piano un punto P’,
tale che PP' v
Scheda di lavoro
Composizione di due simmetrie centrali
Traslazione nel piano cartesiano
Da fare
Simmetria rispetto alla
bisettrice II e IV
quadrante
x' y
y' x