Transcript G1_2A isometrie

Le Isometrie
nel piano
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FASE A: INTRODUZIONE ESEMPI REALI
si stimolano gli studenti all’osservazione
Le simmetrie hanno sempre interessato l’uomo, sin dall’antichità
nella pittura di cui Escher (1898-1972) è il maggior esponente
Spesso le trasformazioni geometriche vengono riscontrate nella realtà di
tutti i giorni (ad esempio quando viene aperta una porta essa ruota attorno
al suo cardine ma le sue dimensioni non variano; lo stesso si può dire
quando si aprono le pagine di un libro, quando si vede una giostra che gira)
Le simmetrie si trovano anche nella natura (ad esempio le molecole, fiori,
stelle marine, insetti)
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In tale fase si chiede agli alunni di descrivere le
figure per vedere quali proprietà vengono
individuate e con quali trasformazioni
geometriche hanno già familiarità
L’introduzione del piano cartesiano, che verrà
ripreso ampiamente per la rappresentazione di
fenomeni, potrebbe suggerire un nuovo
approccio e aiutare l’allievo a passare da un
livello intuitivo a uno più razionale.
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LAVORO DI GRUPPO
Propongo un’attività a piccoli gruppi che abbia la
finalità di giungere all’individuazione delle
trasformazioni “di oggetti” nella realtà.
FASE 1: Consegna della scheda
FASE 2: Un’esponente del gruppo presenta
cosa il gruppo ha individuato come
“trasformazione”.
FASE 3: si scrivono alla lavagna i risultati
FASE 4: si determinano gli invarianti e i varianti
delle trasformazioni individuate.
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FASE 1: SCHEDA
Relatore:____________
Individuate come nella realtà gli oggetti possono subire delle trasformazioni:
Es: Se consideriamo un oggetto reale e lo fotografo, l’immagine che otteniamo
è la stessa dell’oggetto solo che è rimpicciolita. Prova a trovare altri esempi.
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FASE B: GENERALITA’ SULLE
TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL
PIANO
trasformazione geometrica: corrispondenza
biunivoca che associa punti del piano a
punti del piano stesso (vale anche per i
segmenti, angoli, rette e figure
geometriche).
NB. Assegnare una trasformazione del piano significa,
concretamente, definire un procedimento mediante il
quale si possono trasformare tutti i suoi punti in altri punti
dello stesso piano.
trasformazione identica o identità è una trasformazione che
associa ad ogni punto se stesso.
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Quindi non sempre le
caratteristiche di una figura
in una trasformazione
restano immutate;
in tal caso si dicono
varianti,
nel caso contrario
invarianti.
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Altre definizioni:
elementi uniti di una trasformazione
geometrica sono gli elementi del piano che
hanno per trasformati se stessi.
involutoria: una trasformazione che,
applicata 2 volte, coincide con la
trasformazione identica.
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ISOMETRIA:
la trasformazione geometrica che ad ogni
coppia di punti A e B di un piano associa i
punti A’ e B’ dello stesso piano, in modo
che il segmento AB sia congruente a A’B’
(cioè è una trasformazione del piano che
conserva la distanza tra due punti).
isometrie: dal greco (isos = uguale ; metron = misura) che hanno come
invarianti la misura ossia la distanza tra due punti.
Proprietà dell’isometria:
le isometrie trasformano segmenti in segmenti, rette
in rette, rette parallele in rette parallele, rette incidenti
in rette incidenti, angoli in angoli a esso congruenti,
figure in figure congruenti.
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Fase C: LE ISOMETRIE
La classe abile nel costruire con riga e compasso molti oggetti
geometrici, può conoscere metodologie capaci di riprodurre molte delle
proprietà ad essi associate, anche se si possono riscontrare alcuni dubbi
sulla vera consapevolezza nel merito.
Quindi è attraverso la costruzione di oggetti già noti come segmenti, rette,
angoli e triangoli, che verranno introdotti i concetti relativi alle isometrie.
Sul piano metodologico ritengo quindi conveniente presentare le
isometrie secondo un’impostazione sperimentale, evitando di
appesantire la trattazione con dimostrazioni, che a volte risultano anche
molto impegnative.
In tale fase, alla presentazione di ogni singola isometria seguirà
un’analisi delle proprietà specifiche di ciascuna; questo avverrà
mediante quesiti posti alla classe, che condurranno gradualmente alla
scoperta delle proprietà in questione e tramite l’assegnazione di esercizi
da svolgere sia singolarmente sia alla lavagna.
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Simmetria assiale
di retta σ è la trasformazione geometrica
che associa ad ogni punto P di un piano
il punto P’, in modo che σ sia l’asse del
segmento PP’
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Proprietà:
a. i punti che appartengono alla retta r (asse di simmetria) sono punti
uniti;
b. una retta a incidente in un punto Q su r che forma con essa un angolo
α, ha per trasformata una retta a’ che passa ancora per Q e che forma
un angolo congruente ad α ;
c. una retta a perpendicolare ad r ha per trasformata se stessa (retta
unita) (a non è una retta di punti uniti, perché ciascun punto della retta
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non ha per trasformato se stesso) ;
Proprietà (continua):
d. una retta a parallela ad r ha per trasformata una retta a’ ancora
parallela ad r;
e. se il punto A’ è il trasformato di A, il trasformato di A’ è ancora A
(carattere involutorio);
f. se i vertici del triangolo ABC si susseguono in senso orario, i loro
corrispondenti A’B’C’ si susseguono in senso antiorario (isometria
inversa); inoltre i due triangoli, in generale 2 figure, sono congruenti
(invarianti).
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SIMMETRIE NOTEVOLI IN FIGURE GEOMETRICHE PIANE:
Se una figura è trasformata in se stessa nella simmetria assiale di retta
r, allora tale retta è detta asse di simmetria della figura
(es. angolo, rettangolo, rombo, quadrato, cerchio, poligono regolare,
triangolo isoscele, segmento, striscia definita da 2 rette parallele)
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Equazioni rispetto agli assi cartesiani:
se x è l’asse di simmetria del punto A(x;y), allora avrà come
trasformato il punto A’(x;-y) (fig. sotto); analogamente se y è l’asse di
simmetria del punto B(x;y), allora avrà come trasformato il punto B’(-x;y).
Quindi:
x’ = x
y’ = - y
oppure:
x’ = -x
y’ = y
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Simmetria centrale
di centro O è la trasformazione geometrica
che associa ad ogni punto P di un piano
il punto P’, in modo che il segmento PP’
ha come punto medio O
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Proprietà:
a. ha solo il punto O come punto unito, mentre
tutte quelle che passano per il centro sono
infinite rette unite (non sono rette di punti uniti);
b. se il punto A’ è il trasformato di A, il trasformato
di A’ è ancora A (carattere involutorio);
c. se i vertici del triangolo ABC si susseguono in
senso orario, i loro corrispondenti A’B’C’ ancora
si susseguono in senso orario (isometria
diretta); inoltre i due triangoli, in generale 2
figure, sono congruenti (invarianti);
d. a ogni retta corrisponde una retta parallela; a
ogni segmento corrisponde un segmento, ad
ogni angolo corrisponde un angolo congruente.
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SIMMETRIE NOTEVOLI IN FIGURE GEOMETRICHE PIANE:
Se una figura è trasformata in se stessa nella simmetria centrale di
centro O, allora il punto O è detto centro di simmetria della figura
(es. segmento, parallelogrammo, cerchio, poligono regolare con nr lati
pari, striscia definita da 2 rette parallele)
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Equazioni rispetto agli assi cartesiani:
Si è detto che se x è l’asse di simmetria del punto P(x;y), allora
avrà come trasformato il punto P’(x;-y) e analogamente se y è l’asse di
simmetria del punto P’(x;-y), allora avrà come trasformato il punto
P’’(-x;-y), per cui:
Quindi:
x’=-x
y’=-y
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Traslazione
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Traslazione
di vettore v (segmento orientato individuato da una
direzione, verso e modulo) è la trasformazione
geometrica che associa ad ogni punto P di un
piano il punto P’, in modo che il vettore PP’ sia
congruente a v (cioè sia equipollente)
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Proprietà:
a. non ha nessun punto unito, mentre le infinite
rette che hanno la stessa direzione del vettore
v sono rette unite (non sono rette di punti
uniti);
b. se i vertici del triangolo ABC si susseguono in
senso orario, i loro corrispondenti A’B’C’
ancora si susseguono in senso orario
(isometria diretta); inoltre i due triangoli, in
generale 2 figure, sono congruenti
(invarianti);.
c. a ogni retta corrisponde una retta parallela; a
ogni segmento orientato corrisponde un
segmento equipollente; a ogni angolo
corrisponde un angolo congruente con i lati
rispettivamente paralleli.
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Per traslare una figura, si deve traslare ogni suo punto del vettore v;
allora il vettore v è detto vettore di traslazione
(es. segmento, retta, triangolo)
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Equazioni rispetto agli assi cartesiani:
Dato il punto P(x;y) e il vettore v di componenti (a,b), il suo trasformato
P’(x’;y’) avrà a e b come le proiezioni di PP’ sugli assi, per cui:
Quindi:
x’ = x+a
y’ = y+b
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Rotazione
di centro O e angolo orientato α (presuppone sia
un’ampiezza che un verso di rotazione) è la trasformazione
geometrica che associa ad ogni punto P di un piano il punto
P’, in modo che il OP è congruente a OP’ e l’angolo POP’ è
congruente a α
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Proprietà:
a. ha solo il punto O come punto unito, mentre
le rette che passano per O e che hanno un
angolo orientato piatto sono rette unite;
b. solo la rotazione pari ad un angolo giro
coincide con la trasformazione identica;
c. se i vertici del triangolo ABC si susseguono in
senso orario, i loro corrispondenti A’B’C’
ancora si susseguono in senso orario
(isometria diretta); inoltre i due triangoli, in
generale 2 figure, sono congruenti
(invarianti).
d. a ogni retta corrisponde una retta
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Per ruotare una figura, si deve considerare sia il
punto O detto centro di rotazione, sia l’angolo α
detto ampiezza della rotazione (es. triangolo)
NB. una simmetria centrale di centro O è una rotazione con centro di
rotazione O e ampiezza della rotazione di 180° .
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Equazioni rispetto agli assi cartesiani:
Consideriamo una rotazione antioraria di ampiezza  e centro nell’origine
degli assi che faccia corrispondere al punto P(x;y) il punto P’(x’;y’).
Dalla figura x’ = OR = OP’ cos(+) = OP(coscos - sensen), quindi
x’ = xcos - ysen.
Analogamente y’ = RP’ = OP’ sen(+) = OP(sencos + cossen),
per cui: y’ = xsen + ycos
Quindi:
x’ = xcos - ysen
y’ = xsen + ycos
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ISOMETRIE
Simmetria
assiale
Simmetria
centrale
PROPRIETA’
OGGETTI
Punti uniti.
Esistenza retta unita.
Car. involutorio.
Isometria inversa.
Invarianti.
angolo,
rettangolo,
rombo,
quadrato,
cerchio,
poligono regolare,
triangolo isoscele,
segmento,
striscia
Punto unito
Infinite rette unite.
Car. involutorio.
Isometria diretta.
Invarianti.
segmento,
parallelogrammo,
cerchio,
poligono regolare
con nr lati pari,
striscia
Traslazione
Nessun punto unito.
Infinite rette unite.
Isometria diretta.
Invarianti.
Rotazione
Punto unito.
Rette unite.
Isometria diretta.
Invarianti.
Eq. rispetto ASSI
CARTESIANI
x’ = x
y’ = - y
Oppure:
x’ = -x
y’ = y
PRODOTTO
Simm. assiali con
assi perpendicolari.
Simm. assiali con
assi paralleli.
Simm. assiali con
assi incidenti.
x’=-x
y’=-y
Simm. centrali con
centri diversi.
Simm. centrali con
uno stesso centro.
segmento,
retta,
triangolo
x’ = x+a
y’ = y+b
Traslazioni di vettori
diversi.
triangolo
x’ = xcos - ysen
y’ = xsen + ycos
Due rotazioni di
ampiezza diverse.
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In Laboratorio
Un ulteriore contributo sarà dato dall’utilizzo di Cabrì Geometre®, il quale
possiede un menù chiamato Trasformazioni, contenente le 4 isometrie
che verranno considerate di seguito, cioè:
simmetria assiale,
simmetria centrale,
traslazione,
rotazione.
Queste particolari trasformazione sono importanti, perché ogni altra
isometria può essere ottenuta come combinazione di queste 4
fondamentali.
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