Transcript Função afim: a função geral de 1º grau
Estudo dos Poliedros
Enchendo a piscina
A piscina de um clube de minha cidade, vista de cima, tem formato retangular. O comprimento dela é de 18 m. o fundo é uma rampa reta. Vista lateralmente, ela tem o formato apresentado na figura.
18 m x Outro dia, a piscina estava vazia. O funcionário do clube abriu o registro e começou a enchê-la. A água jorrava a uma vazão de 4 litros por segundo.
Enchendo a piscina
O gráfico a seguir mostra o nível x da água, em metros, na parte mais funda, em função do volume V de água despejada, em litros.
1,8 0,8 x (m) 0 43.200
C Qual é a profundidade da piscina na parte mais rasa?
E na parte mais funda?
Qual é a capacidade da piscina, em litros?
V ( L) Em quanto tempo a piscina ficará cheia?
Poliedro: uma forma muito especial
Determinados sólidos tem uma forma muito particular.
Observe os sólidos representados a seguir.
B C A E F D M Q N P
Definição
Os sólidos apresentados têm algumas característica comuns:
São limitados por polígonos;
Cada lado desses polígonos pertence a exatamente a dois dos polígonos;
Dois desses polígonos nunca são coplanares.
Todo sólido que obedece a essas condições é chamado de poliedro .
Elementos de um poliedro
Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais.
Face de poliedro é cada um dos polígonos que o delimitam.
Elementos de um poliedro
Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais.
Aresta de poliedro é cada um dos lados das faces. É cada “quina” do poliedro.
Elementos de um poliedro
Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais.
B C A E H D F G Vértice de poliedro é cada um dos vértices das faces.
É cada “ponta” do poliedro.
Elementos de um poliedro
Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais.
O conjunto de todas as faces de um poliedro é chamado Superfície poliédrica . É a parte externa, visível. É a “casca” do poliedro.
Poliedro convexo e poliedro côncavo
Observe os sólidos representados abaixo.
B C A D E F Todo plano que contém qualquer de suas faces deixa todas as outras num mesmo semi-espaço.
Dizemos, por isso, que eles são poliedros convexos .
Poliedro convexo e poliedro côncavo
Observe agora o sólido representado abaixo.
M Q N P O plano que contém a face deixa as faces MNPQ do poliedro , por exemplo, em semi-espaços diferentes.
Dizemos, por isso, que ele é um poliedro côncavo .
Nomenclatura dos poliedros
Os poliedros recebem nomes especiais, de acordo com o numero n de suas faces (F).
F 4 5 6 7 8 Poliedro tetraedro pentaedro hexaedro heptaedro octaedro F 9 10 12 20 Poliedro eneaedro decaedro dodecaedro icosaedro
Veja alguns desses poliedros Hexaedro (P 1 ) Eneaedro (P 3 ) Octaedro (P 2 ) Heptaedro (P 4 )
Relação de Euler
Existe uma relação muito importante entre o número de faces (F), vértices (V) e arestas (A) de um poliedro convexo.
Poliedro P 1 P 2 P 3 P 4 V 8 6 9 10 F 6 8 9 7 V + F – A = 2 A 12 12 16 15
Exemplos
Um poliedro convexo tem 6 vértices e 12 arestas. Quantas faces tem?
V + F – A = 2
⇒
6 + F – 12 = 2
⇒
F – 6 = 2
⇒
F = 8
Exemplos
Um poliedro convexo tem 9 faces, sendo 7 quadran gulares e 2 triangulares. Quantos são seus vértices?
Primeiro vamos achar o número de arestas.
9 Faces
⇒
7 quadrang.
⇒
A = 7.4 = 28 2 triang.
⇒
A = 2.3 = 6
⇒
2A = 34
⇒
A = 17 V + F – A = 2
⇒
V + 9 – 17 = 2
⇒
V – 8 = 2
⇒
V = 10
Poliedros regulares
Poliedro regular é todo poliedro em que:
Todas as faces congruentes entre si; são polígonos regulares,
De cada vértice, parte o mesmo número de arestas.
Existem apenas cinco classes de poliedros regulares.
Poliedros regulares...
Existem somente cinco poliedros regulares.
TETRAEDRO
4 faces triangulares equiláteras
4 vértices
6 arestas
18
Poliedros regulares...
HEXAEDRO(cubo)
6 faces quadradas
8 vértices
12 arestas
19
Poliedros regulares...
OCTAEDRO
8 faces triangulares equiláteras
6 vértices
12 arestas
20
Poliedros regulares...
ICOSAEDRO
20 faces triangulares equiláteras
12 vértices
30 arestas
21
Poliedros regulares...
DODECAEDRO
12 faces pentagonais
20 vértices
30 arestas
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Propriedades...
Consideremos um poliedro convexo em que n é o número de lados de cada face e p é o número de arestas que concorrem em cada
Assim, temos:
2A = nF 2A = pV nF = pV
Ex: CUBO
A= 12, V= 8, F= 6
2 . 12 = 4 . 6 = 3 . 8
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Propriedades...
SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES DE UM POLIEDRO CONVEXO A soma S dos ângulos das faces de um poliedro convexo que possui V vértices é: S = (V – 2) . 360º Ex: Uma pirâmide de base quadrada.
V = 5, S = (5 – 2) . 360º , S = 3 . 360º , S = 1080º
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Exercícios...
1) Um poliedro convexo tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 face pentagonal e 2 faces hexagonais. Obtenha: a) O número total de vértices, faces e arestas do poliedro.
b) A soma dos ângulos internos de todas as faces.
Resolução: a) F = 3 + 1 + 1 + 2 F = 7 V + F = A + 2 V + 7 = 15 + 2 V = 17 – 7 V = 10 2.A=n.F
2.A = 3.3 + 1.4 + 1.5 + 2.6
2.A = 9 + 4 + 5 + 12 2.A = 30 A = 15 b) S = (10 – 2).360º S = 8.360º S = 2880º
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Exercícios...
2) Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem três faces triangulares, duas faces quadrangulares, uma face pentagonal e duas faces hexagonais.
Resolução: F = 3 + 2 + 1 + 2 F = 8 2.A = n.F
2.A = 3.3 + 2.4 + 1.5 + 2.6
2.A = 9 + 8 +5 +12 2.A = 34 A = 17 V + F = A + 2 V + 8 = 17 + 2 V = 19 – 8 V = 11
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Exercícios...
3) Em um poliedro convexo o número de vértices corresponde a
2
do número de arestas e o número de
3
faces é 3 unidades a menos do que o de vértices.
Descubra quantas são as faces, os vértices e as arestas desse poliedro.
Resolução: V + F = A + 2 V = . 15
3
V = . A
3 2
.A + .A – 3 = A + 2
3 3
V = 10 F = V – 3
2
V = F + 3
3
. A = F + 3 2A + 2A -9 = 3A + 6 F = . 15 – 3
3
F = . A – 3
3
A = 15 F = 10 – 3 F = 7
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O prisma e suas formas
O prisma e suas formas
Observe os objetos abaixo. Todos têm forma de poliedro, mas apresentam algumas características comuns. Eles estão associados a um tipo de poliedro muito especial: o prisma .
Definição
Observe a animação.
r
O conjunto de todos esses segmentos é um sólido poliédrico chamado prisma .
Elementos principais do prisma F’ E’ A’ D’ O prisma tem dois tipos de faces B’ C’
bases (polígonos congruentes).
F E
faces laterais (paralelogramos).
A D B C
Superfície total lateral com as do prisma é a união da duas bases do prisma.
superfície
Elementos principais do prisma A F B A’ F’ B’ E C D E’ D’ C’ O prisma tem dois tipos de arestas
arestas das bases (AB, A’B’, ..., FA, F’A’).
arestas laterais (AA’, BB’, CC’, ... ,FF’ ).
Elementos principais do prisma A’ F’ B’ E’ C’ D’ h A F B E C D
A distância h entre as duas bases do prisma é a altura do prima.
Nomenclatura dos prismas
Um prisma é classificado pelo tipo de polígono que constitui suas bases.
Polígonos das bases triângulo quadrilátero pentágono hexágono Prisma P. triangular P. quadrangular P. pentagonal P. hexagonal
Veja alguns desses prismas Prisma triangular Prisma Pentagonal
Classificação dos prismas
Um prisma pode ser classificado, também, pela posição das arestas laterais em relação ao plano da base.
Dizemos que ele é:
prisma reto , se as arestas laterais são perpendicu lares aos planos das bases;
prisma oblíquo , se as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.
Nos prismas retos , as arestas laterais e as faces laterais são retângulos.
são alturas
Classificação dos prismas h Prisma triangular reto Prisma Pentagonal oblíquo h
Prisma regular
Todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares é chamado de prisma regular.
B A C O prisma é reto e ABC é triângulo eqüilátero Prisma triangular regular O prisma é reto e a Base é hexágono regular Prisma hexagonal regular
Prisma quadrangulares
Prismas quadrangulares
Todo prisma cujas bases são paralelogramos é chamado paralelepípedo .
Paralelepípedo
Prismas quadrangulares
Se as bases de um paralelepípedo reto são retângulos, ele é chamado paralelepípedo reto retângulo ou paralelepípedo retângulo .
Paralelepípedo retângulo ou ortoedro
Prismas quadrangulares
Se todas as arestas de um paralelepípedo retângulo são congruentes entre si, ele é chamado cubo ou hexaedro regular .
Cubo ou hexaedro regular
Estudo do cubo
Estudo do cubo
O cubo é o mais simples dos prismas. Ele é um prisma quadrangular regular, cujas faces são quadrados congruentes. Por isso qualquer de suas faces pode ser considerada como base.
a a a a
→
medida de cada uma das arestas
Diagonais no cubo
Num cubo, distinguimos dos tipos de diagonais.
a d D a a a
→
medida de cada uma das arestas d
→
diagonal da face D
→
diagonal do cubo
Diagonais no cubo
Obtendo os valores da aresta.
d e D em função da medida a a a d D a a d 2 = a 2 + a 2
⇒
d = 2a 2
⇒
d = a√2
Diagonais no cubo
Obtendo os valores da aresta.
d e D em função da medida a a d a D a a D 2 = a 2 + d 2
⇒
D = a 2 + 2a 2
⇒
D = 3a 2
⇒
D = a√3
Área da superfície total do cubo
Planificando a superfície total de um cubo de aresta a , obtemos a figura.
a a a a a a a A T = 6a 2
Exemplo
A área da superfície total de um cubo é 54 cm 2 . Obter a medida da diagonal da face e da diagonal do cubo?
A T = 6a 2
⇒
6a 2 = 54
⇒
a 2 = 9
⇒
a = 3 d = a√2 D = a√3
⇒
d = 3√2
⇒
D = 3√3
O cubo como unidade de volume
Se considerarmos a medida da aresta de um cubo como unidade de medida de comprimento, a medida do volume desse cubo é a volume .
unidade de 1 u 1 u 1 u 1 u V = 1 u 3 Definida a unidade de comprimento, a unidade de volume fica automaticamente definida.
O cubo como unidade de volume
Se considerarmos a medida da aresta de um cubo como unidade de medida de comprimento, a medida do volume desse cubo é a volume .
unidade de 1 u 1 u V = 1 u 3 1 u 1 u
Se a unidade de comprimento é 1 m, a unidade de volume é 1 m 3 .
Se a unidade de comprimento é 1 dm, a unidade de volume é 1 dm 3 .
Volume
O volume de um sólido qualquer, numa certa unidade, é um número que indica quantas vezes o cubo de volume unitário “cabe” naquele sólido.
Considerando o cubo da primeira figura como unidade de medida. Seu volume é 1 u 3 . qual o volume dos sólidos abaixo?
V = 1 u 3 V = 9 u 3 V = 11 u 3
Volume do cubo
Analise as três figuras a seguir.
a = 1 u V = 1 u 3 a = 2 u V = 2 3 = 8 u 3 a = 3 u V = 3 3 = 27 u 3 De uma maneira geral, o volume de um cubo aresta mede a é cuja V = a 3
Exemplo
Uma diagonal de um cubo mede 6 m. Calcular a área da superfície total e o volume desse cubo?
D = a√3
⇒
a√3 = 6
⇒
a = 6 √3 A T = 6a 2
⇒
A T = 6.(2√3) 2
⇒
a = 2√3 m
⇒
A T = 72 m 2 V = a 3
⇒
V = (2√3) 3
⇒
V = 24√3 m 3
Estudo do Paralelepípedo retângulo
Estudo do paralelepípedo retângulo
O paralelepípedo quadrangular.
Suas congruentes.
retângulo faces são é um duas a prisma duas b a, b e c
→
As dimensões do paralelepípedo.
c a
Suas doze arestas são quatro a quatro congruen tes. As medidas dessas arestas são as dimensões do paralelepípedo.
Diagonal do paralelepípedo
Diagonal de um paralelepípedo é todo segmento cujos extremos são dois vértices não-pertencentes a uma mesma face.
D a d d
→
diagonal da face inferior D
→
diagonal do paralelepípedo b c
Cálculo da diagonal do paralelepípedo
Obtendo o valor de b e c D em função das dimensões do paralelepípedo.
a , c b d 2 = a 2 + b 2 a d e D D 2 = d 2 + c 2 D 2 = a 2 + b 2 + c 2
⇒
D = √a 2 + b 2 + c 2
Exemplo
O comprimento e a largura de um paralelepípedo medem 12 cm e 4 cm. Uma de suas diagonais mede 13. Obter a medida de sua altura?
D = √a 2 + b 2 + c 2
⇒
13 = √12 2 + 4 2 + c 2
⇒
169 = 144 + 16 + c 2
⇒
c 2 = 169 – 160
⇒
c 2 = 9
⇒
c = 3
Área da superfície total do paralelepípedo
Planificando a superfície paralelepípedo de dimensões figura.
a , total b e c de um obtemos a a ab b c b bc ac bc a c ab A T = 2ab + 2ac + 2bc A T = 2(ab + ac + bc) ac
Exemplo
A área da superfície total de um paralelepípedo é 248 cm 2 . suas dimensões são proporcionais a 2, 3 e 5.
Calcular a medida da diagonal do paralelepípedo?
As dimensões a, b e c são proporcionais a 2, 3 e 5 indica que a = 2k, b = 3k e c = 5k.
A T = 248
⇒ ⇒
2(ab + ac + bc) = 248 ab + ac + bc = 124
⇒ ⇒ ⇒
2k.3k + 2k.5k + 3k.5k = 124 6k 2 + 10k 2 k 2 = 4
⇒
+ 15k 2 = 124 k = 2
⇒
31k 2 :(2) = 124
Exemplo
A área da superfície total de um paralelepípedo é 248 cm 2 . suas dimensões são proporcionais a 2, 3 e 5.
Calcular a medida da diagonal do paralelepípedo?
Logo a = 4, b = 6 e c = 10.
D = √4 2 + 6 2 + 10 2 D = √16 + 36 + 100 D = √152 D = 2√38
Volume do paralelepípedo retângulo
Analise as duas figuras a seguir.
4 u cubo unitário V = 1 u 3 5 u V = 5.3.4
= 60 u 3 3 u De modo geral, o volume de um paralelepípedo dimensões a, b e c é dado por de V = a.b.c
Observação
Podemos interpretar o volume de um paralelepípedo retângulo de outra forma. Veja a figura a seguir.
c A = ab a b V = abc = (ab)c = (área da base) . (altura relativa) V = A B .h
Exemplos
Uma caixa d’água tem forma de paralelepípedo retângulo. Suas dimensões internas são 1,2 m, 2,5 m e 0,8 m. Obter sua capacidade, em litros?
A capacidade de uma caixa é o volume de água que cabe nela.
V = abc = 1,2 . 2,5 . 0,8 = 2,4 m 3 Sabemos que 1 m 3 = 1 000 dm 3 e que 1 L = 1 dm 3 .
V = 2 400 dm 3 = 2 400 L
Exemplos
Uma das dimensões de um paralelepípedo é aumentada em 20%; outra, aumentada em 30%; a terceira em 10%. O que ocorre com o volume do paralelepípedo?
Suponhamos que as dimensões sejam volume original é V = xyz .
x , y e z . Então, o Se x aumenta 20%, a nova dimensão passa para 1,2 x .
Se y aumenta 30%, a nova dimensão passa para 1,3 y .
Se z aumenta 10%, a nova dimensão passa para 1,1 z .
V’ = 1,2x . 1,3 y . 1,1 z = 1,716.xyz = 1,716.V
Concluímos que o volume aumenta 71,6%.
Estudo geral do prisma
Estudo geral do prisma
Vamos aprender a calcular áreas e volumes em prismas quaisquer. Em geral. Vamos considerar prismas retos em que
As arestas laterais são alturas;
As faces laterais são retângulos; B A C
Áreas no prisma
No prisma as áreas.
Área Lateral (A L ) – Soma das áreas dos retângulos;
Área da base (A B ) – Área do polígono da base;
Área total (A T ) – Soma da área lateral com as bases A T = A L + 2A B
Exemplo
A figura a seguir mostra um prisma triangular reto, com as dimensões indicadas. Calcular a área lateral e a área total desse prisma.
6 4 5 3 A L A L = 3.6 + 4.6 + 5.6
= 18 + 24 + 30 = 72 A B = (3.4)/2 = 6 A T A T = A L + 2.A
B = 72 + 2.6 = 84
Exemplo
Num prisma hexagonal regular, a altura mede 6 m e a área de cada base é 24√3 m 2 . Achar sua área lateral.
6 x A = 24√3
⇒
3x 2 √3 2 = 24√3
⇒
x 2 = 16
⇒
x = 4 A f = b.h
⇒
A f = 4.6 = 24 A L = 6.A
f
⇒
A L = 6.24 = 144 m 2
Princípio de Cavalieri
Princípio de Cavalieri
Bonaventura Cavalieri nasceu na Itália, no final do século XVI. Discípulo de Galileu, ele deixou contribuições importantes nas áreas de óptica e geometria.
Princípio de Cavalieri
Dados dois ou mais sólidos apoiados em um mesmo plano
, se
Todos têm a mesma altura;
Todo plano
paralelo a
e que corte os sólidos determina, em todos eles, seções planas de mesma área; Então os sólidos têm o mesmo volume.
Princípio de Cavalieri
A figura abaixo ilustra o princípio de Cavalieri.
Volume do prisma
Vamos deduzir uma fórmula para o cálculo do volume do prisma. Para isso, vamos aplicar o princípio de Cavalieri.
V = A B .h
Exemplos
As bases de um prisma oblíquo são retângulos cujos lados medem 5 cm e 4 cm. Suas arestas laterais medem 6 cm e formam, com o plano da base, ângulo de 60º. Achar o volume do prisma.
5 4 60º h 6
Exemplos
O volume de um prisma hexagonal regular é igual a 486 cm 3 , e sua altura é igual ao apótema da base.
Calcular sua área total.
h L