Transcript 复杂网络博弈

复杂网络博弈及度分布
研究
答辩人： 王旭文
指导老师：任学藻 教授
专业方向：凝聚态物理
2012.3.12
报告内容
1.序言
2.精确计算派系网络的Mandelbrot系数
3.Mandelbrot分布参数估计
4.复杂网络上的囚徒博弈研究
5.论文所取得的主要研究成果
6.攻读硕士学位期间发表论文
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1 序言
网络无处不在
• 大脑，是由轴突相连结的神经细胞网络，而细胞本身，
又是由生化反应相连结的分子网络；食物链和生态系
统可以看作由物种所构成的网络---生物网
• 社会也是一个网络，它由友情、家庭和职业关系彼此
连结；科学家、电影演员等合作关系---社会网
• 科技领域的网络更是随处可见:因特网、电力网和运输
系统都是实例---技术网
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真实网络
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1.1 本课题选题的意义
• 在复杂的基因网络中，故障节点是如何相
互作用而引发癌症的?
• 在特定的社会和通信系统中，疾病和电脑
病毒如何快速传播而导致流行?
• 某些网络即便大部分节点失效，还能维持
运行，原因何在?
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1.2 论文的研究思路
总结国内外研究现状
几种常见网络模型的建立
派系网络度分布的解析
Mandelbrot 分布的最多似然估计
三种网络上博弈动力学研究
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1.3 主要研究内容
 建立派系网络，对派系连接的复杂网络的度分布进行研
究,解析 m-派系网络的度分布和累积度分布函数.
 鉴于大量真实网络度分布为Zipf-Mandelbrot分布，因
此最大似然法对Zipf-Mandelbrot分布中的
Mandelbrot系数和幂律指数进行估计。
 研究三种常见网络上的博弈动力学，提出基于真实系统
的博弈策略，因此研究该策略下三种网络上个体的合作
行为。
 利用相干态正交化展开方法，研究非旋波近似下V型三
能级原子与单模腔场的相互作用；并且利用保真度对能
级的交叉问题进行判断
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2 基于派系连接的复杂网络
• 2.1 复杂网络基本概念
• 节点通常用来表示系统中的部件
• 边通常用来表示系统中部件之间的
关系。
• 网络(图)就是由节点与节点之间的
关系构成的一张图。
• 度：节点的邻边数
• 平均度：所有边数/节点总数
• 节点的度分布：网络中度为 k的节
)
点的概率 p(k随节点度
的变化规律。
k
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中国教科网拓扑结构
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2 基于派系连接的复杂网络
• 2.1 常见网络模型
• 小世界网络
•
局部有序系统到一个随机网络的转移过程：WS模型
始于一具有N个节点的一维网络，网络的节点与其最
近的邻接点和次邻接点相连接，然后每条边以概率p
重新连接。约束条件为节点间无重边，无自环。
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• 无标度网络 P(k )  2m
2
/ k3
 增长：开始于较少的节点数量（m0），在每个时间间隔增加一个具有m（≤m0）条
边的新节点，连接这个新节点到m个不同的已经存在于系统中的节点上。
 择优连接：在选择新节点的连接点时，假设新节点连接到节点的概率取决于节点的度
数即：
 经过t时间间隔后，该算法产生一个具有N=t+m0个节点，mt条边的网络，经过足
够长的时间间隔后，生成一个无标度网络，网络中节点度数成幂律分布：
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1
1
• 派系网络
4
3
2
4
2
3
t=1
1
t=0
1
2
4
6
5
7
2
4
6
3
t=2
5
3
t=3
5
4-派系网络生长步骤
•
合作人数固定的合作网络，如桥牌选手合作网络，参与比赛的四个选手组成一个4-派
系网络，电影演员合作演出一部电影或者学者共同署名发表论文等，他们组成完全连
通的网络
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• 平均场方法[1]
p ( k )  ( k  c)  
m( m  2)
c 
m 1
 ba 
2m  1
m 1
[1] Zhang Z Z, Rong L L, ZHOU T. An Evolving Model for Scale-free
Collaboration Networks[J] 2005 Systems Engineering-theory &
Practice 11.
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• 向后差分方法
dp
 p(k )  p(k  1)
dk
ka
dp 
p(k ) 
p(k )  

k b 
dk 
左边三式
p(k )  (k  a)
dp
k b
a b
 (1 
) p(k ) 
p(k )
dk
k a
k a
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 (b  a )
• 向前差分方法
dp
 p(k  1)  p(k )
dk
左边三式
dp k  1  a
p(k )  (k  b  1)(ba )
p( k ) 

p( k )
dk k  1  b
a b
 k 1 a 
 1 p ( k ) 
p(k )

k 1 b
 k 1 b 
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2.2 精确计算派系网络的Mandelbrot系数
率方程：
n( N  1, k )  n( N , k  1)
(m  1)(k  m)  1
(m  1)(k  m  1)  1
 n( N , k )(1 
)   k ,m
m( N  m)  1
m( N  m)  1
)
N 足够大，根据大数定理，n( N , k近似地等于
Np(k )
(m  1)(k  m)  1
(m  1)(k  m  1)  1
p(k ) 
p(k  1) 
p(k )   k ,m
m
m
k m
k m
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1
p(m) 
2
1
m  1 p(k  1)
p(k ) 
m 1
k  m 1
m 1
k m
网络的规模为N时，网络中的 m
-派系
数目 Tm  m( N  m)  1
mN
当很大时Tm ，，设网络中节点的顶
m
点度为 ，与节点相连的
-派系数目
ki
显然，当新节点加入时，如果随机
Ti,m  (m 1)(ki  m 1) 1
地选择一个-派系相连，那么与节点
相连的概率为
Tm Ti , m
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化简得：
p(k ) 
大 k 时，令 a  m 
1
1
,2
)
m 1
m 1
1
1
2 B(1 
,2
)
m 1
m 1
B(k  (m  1) 
1
m 1
，b   m  1 
m 1
m 1
k a
p( k ) 
p(k  1)
k b
[2] REN Xue-Zao, YANG Zi-Mo, WANG
Bing-Hong, ZHOU Tao.Mandelbrot Law
of Evolving Networks[J].CHIN. PHYS.
LETT, 2012,29(3): 038904.
由文献[2]知为Zipf-Mandelbrot分布律（漂移幂律分布）p(k )
其中
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(k  c) 
B(a, b)  (a)(b) / (a  b)
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由于a，b不是整数，因此不能写出简单形式的解析表达式，但是当a，b有限大小，
k较大时，近似解析：
p (k )
k a
ln
 ln
p (k  1)
k b
k a
ln
k

b

k 1 c
ln
k c
(用Mandelbrot分布律来做近似)
变形得到
：
1
1
1 a
1  (c  1)
k
k
ln
  ln
1
1
1 b
1 c
k
k
两边按1/k泰勒展开：
a b


1
1
1
1
(1  a )(1  b ) (1  c )(1  (c  1) )
k
k
k
k
累积度
当 k   m 时，
两端对 k  求和
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连接核代入
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• 与平均场解比较
N  106 m  2
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• 数值模拟
0
0
实际累积度分布
线性拟合
-1
-2
Log(Pcum (K))
Log(P
cum
(K))
-2
-3
实际累积度分布
线性拟合
-1
f(x)=-2.026*x+0.8503
-4
-3
f(x)=-1.480*x+0.328
-4
-5
-5
-6
-6
0.5
1
1.5
2
Log(K+1.5)
2.5
3
3.5
0.5
1
1.5
2
2.5
Log(K-0.25)
3
3.5
4
派系网络的度分布（左方为2-派系，
右方为3-派系）
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4.5
2. Zipf-Mandelbrot分布参数估计
p ( k )  ( k  c)
c
漂移量

幂律指数
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
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中国铁路网络实证
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中医药方剂合作网累积度分布
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• 幂律拟合： p(k )  k

k2
k  15
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• 最大似然估计
0
10
xmin=4
alpha=2.73
-1
P(k)
10
-2
10
-3
10
-4
10
0
10
1
2
10
10
3
10
k
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由于BA网络或其它实际网络的度分布并不严格的幂律，
所以当采用上式来进行最大似然拟合时，必然要选择
一个最小度 ，通常是根据K-S检验最小来给出
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p(k ) (k  c)

N
( ki  c )

l ( , c | k1 ,, k N )   k kmax

i 1
(
k

c
)

k  k1
L( , c | k1,, kN )  ln l ( , c | k1,, kN )
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d
L ( , c | k1 , , k N )
d
k max
N
   ln (k i  c )  N

(
k

c
)
ln (k  c )

k  k1
i 1
k max
 (k
 c ) 
k  k1
 0
d
L ( , c | k1 ,  , k N )
dc
k max
N
 
i 1
1
 N
ki  c

(
k

c
)

k  k1
k max

(
k

c
)

k  k1
 0
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1
• 取目标函数:
F (c,  ) 
k  k max
N
 ln(x  c)  N

(
k

c
)
ln(k  c)

k  k1
k  k max
i
i 1

(
k

c
)

k  k1
k  k max

N
1
N

i 1 xi  c
 1
(
k

c
)

k  k1
k  k max

(
k

c
)

k  k1
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• 数值模拟
• 基于优先连接和增长机
制的BA网络度分布遵从
Zipf-Mandelbrot分布
，求解最优解，得到最
小时c=0.93,γ=2.914,
与理论值符合较好。
• (N=100000,m=4)
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3 复杂网络上的囚徒困境博弈
• 2.1 背景介绍
• 研究博弈论的意义：理解人类的经济行为；理解社会和
生态物种系统中的合作行为以及自自组织斑图。
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• 2.2 博弈策略
（1） Best-takes-over:
（2）Payoff-difference-dependent:
intelligence
（3） Betters-possess-chance:
W (s x  s y )  ( Py  Px ) /(Dk )
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• 从众策略：个体行为趋向于与群体
中多数个体行为一致。
•
• strategy
•
p
1 p
S x  Smajority
W (sx  s y )  ( Py  Px ) /( Dk )
• 收益矩阵
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• 从众策略下的囚徒困境博弈
frequency of cooperators
1
p=0
p=0.2
p=0.8
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
b
正格子网络
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frequency of cooperators
1
0.8
p=0
p=0.2
p=0.8
0.6
0.4
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0
1
0
1
1.2
1.4
1.2
1.6
b
小世界网络
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1.4
1.6
1.8
1.8
2
2
1
0.95
frequency of cooperators
0.9
p=0.2
p=0
p=0.8
0.85
0.8
0.75
1
0.7
0.98
0.96
0.65
0.94
0.92
0.6
0.55
1
1
1.2
1.2
1.4
1.6
1.8
2
1.4
1.6
b
无标度网络
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1.8
2
frequency of cooperators
1
0.8
0.6
0.4
square
BA
sw
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
p
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0.8
1
演化斑图
p  0 .5
p0
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谢谢
敬请各位专家提出宝贵意见！
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