Transcript Números complexos na forma trigonométrica Exercícios resolvidos

Números complexos: aula
Números complexos na forma trigonométrica
O número complexo z  a  bi pode ser representado pelo par
ordenado (a, b) e plotado como um ponto num plano.
Esse ponto pode ser representado em coordenadas polares (r ,  )
com r  0. Podemos concluir que a  r cos e b  r sen .
Números complexos na forma trigonométrica
z  a  b i  r cos  (r sen )i
z  r (cos  i sen )
em que r | z | a 2  b 2 e tg 
b
.
a
Observação:
o ângulo  é o argumento de z. Note
que o argumento não é único.
Quaisquer dois argumentos de z
diferem entre si por um múltiplo
inteiro de 2.
Números complexos na forma trigonométrica
Multiplicação
Sejam z1  r1(cos1  i sen1 ) e z2  r2 (cos 2  i sen 2 ).
Então z1z2  r1r2 (cos1  i sen1 )(cos 2  i sen 2 ). Portanto :
z1z2  r1r2 (cos1 cos 2  i sen 2 cos1  i sen1 cos 2  i 2 sen1 sen 2 )
z1z2  r1r2 (cos1 cos 2  sen1 sen 2  i sen 2 cos1  i sen1 cos 2 )
z1z2  r1r2 [(cos1 cos 2  sen1 sen 2 )  i (sen1 cos 2  cos1 sen 2 )]
Usando as fórmulas de adição para seno e cosseno,temos :
z1z2  r1r2 [(cos(1   2 )  i sen(1   2 )]
Números complexos na forma trigonométrica
Multiplicação
z1z2  r1r2 [(cos(1  2 )  i sen(1  2 )]
Observação:
para multiplicar dois números
complexos multiplicamos os seus
módulos e somamos os seus
argumentos.
Números complexos na forma trigonométrica
Multiplicação
Usando repetidas vezes a fórmula de multiplica ção para um mesmo
número complexo z, obtemos :
z  r (cos  i sen )
z 2  r 2 (cos2  i sen2 )
z 3  z 2 z  r 3 (cos3  i sen3 )
Para n inteiro positivo, obtemos o seguinte resultado conhecido como
Teorema de De Moivre :
zn  r n (cosn  i senn )
Para elevar à n - ésima potência um número complexo elevamos à
n - ésima potência o seu módulo e multiplica mos o seu argumento por n.
Números complexos na forma trigonométrica
Exercícios resolvidos
1 – Ache o produto dos números complexos 1 i e 3  i.
Resolução:




 
  
1  i  2  cos  i sen  e 3  i  2cos    i sen  
4
4

 6
 6 


  
   
(1 i )( 3  i )  2 2 cos    i sen  
4 6
 4 6 


 

(1  i )( 3  i )  2 2  cos  i sen 
12
12 

Números complexos na forma trigonométrica
Exercícios resolvidos






2 – Ache z1z2 sendo z1 = 2 cos  i sen  e z2 = 3 cos  i sen  .

4
Resolução:

  
   
z1z2  6cos    i sen  
4 2
 4 2 

3
3 

z1z2  6 cos
 i sen 
4
4 

4

2
2
Números complexos na forma trigonométrica
Radiciação
O Teorema de De Moivre também pode ser usado para encontrar as
n - ésimas raízes de números complexos.Uma n - ésima raiz de um
número complexo z é um número complexo w tal que w n  z.
Escrevendo esses dois números na forma trigonomét rica como
w  s(cos  i sen ) e z  r (cos  i sen ), temos
s n cosn   i senn   r (cos  i sen ). Portanto :
s  r  s  r , cosn   cos  e sen n   sen  .
n
1
n
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Radiciação
Temos que cosn   cos e senn   sen .
Como o período das funçõesseno e cossenoé 2  n    2k 
 
  2k
n
, portanto w  r
1
n

   2k 
   2k 
cos

i
sen



.

 n

 n


Note que w assume um valor diferente para cada k  0, 1,..., n  1.
Concluímos que :
Seja z  r (cos  i sen ) e n um inteiro positivo, então z tem as n
raízes distintas w k  r
k  0, 1, 2,..., n  1.
1
n

   2k 
   2k
cos

i
sen




n
n





 em que

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Exercícios resolvidos
1 – Determine as raízes cúbicas de  i .
Resolução:
z  i | z | 02  ( 1)2  1  1 e cos  
Como 0    2   
z  cos
3
3
 i sen
2
2
3
. Portanto :
2
0
1
 0, sen  
 1
1
1
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Exercícios resolvidos
Como n  3  k  0, 1 ou 2. Portanto :
 3 
 3 




k  0  w 0  cos 2   i sen 2   cos  i sen
2
2
 3 
 3 




 3  2
k  1  w1  cos 2
3



 3
  i sen 2  2


3


 3  4
k  2  w 2  cos 2
3



  cos 7  i sen 7   3  i   1 



6
6
2
 2


 3
  i sen 2  4


3



  cos 11  i sen11  3  i   1 



6
6
2
 2

Números complexos na forma trigonométrica
Exercícios propostos
10
1 i 
1 - Ache   .
 2 2
2 - Determine zw sendo z  3  i e w  1 i 3.
3 - Determine as raízes quartas de  i .
4 - Determine as raízes quadradas de 1 i .
5 - (Vunesp)Se a, b, c são números inteiros positivos tais que
c  (a  bi)2  14i , o valor de c é :
a) 48
b) 36
c) 24
d) 14
e) 7