Transcript Loi de Poisson Loi Binomiale Négative

Prise en compte
des données avec excès de zéros
Episode 2
Comment prendre en compte ?
Objectif
• Données de comptage
• Modèle « simple »
• Distribution de Poisson a priori
Comment prendre en compte
un excès de zéros ?
Les lois de probabilités discrètes
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Loi de Bernouilli
Loi binomiale
Loi géométrique
…
Loi de Poisson
Loi Binomiale Négative
Loi de Poisson
• Loi des évènements rares
• Soit N le nombre d’évènements rares survenus dans un
intervalle de temps
N est une variable aléatoire dont la distribution est une
loi de Poisson
E(N) = λ
Var(N) = λ
Loi Binomiale Négative
• « Pile-ou-face » tant que Pile n'est pas apparu k fois
Nombre de Pile = k
Probabilité de Pile = p ; probabilité de Face = 1-p = q
Nombre de lancers = L
• Le nombre L de lancers nécessaires pour gagner une
partie est une variable aléatoire, dont la distribution est
une distribution binomiale négative.
somme de variables géométriques indépendantes
(nb L de lancers jusqu’à 1ere apparition de Pile)
Loi Binomiale Négative (2)
• « Pile-ou-face » tant que Pile n'est pas apparu k fois
Probabilité de Pile = p ; probabilité de Face = 1-p = q
Nombre de Face précédant le k-ième succès = F
Le nombre F de Face est une variable aléatoire dont la
distribution est une distribution binomiale négative.
• Var(F) > E(F) d’un coefficient (1/p)
• Généralisation de la loi de Poisson ?
Poisson -> Bin. Nég.
• Loi de Poisson P(λ)
Excès de zéros = surdispertion
Var(λ) > E(λ)
• Remplacer par une Loi Bin. Nég. BN(k,p)
Adaptations des modèles
• Adaptations basés sur l’exemple d’une
distribution de Poisson
• Applicable à d’autres distributions (BN)
• 2 principes :
– Probabilité de zéros plus élevées pour tous
– Sous groupe de zéros, distinct des autres
Modèle mixte
• ~ P(λV)
• V est une variable aléatoire ~ N(1,α)
E(Y) = λ
Var(Y) = λ + α2
Modèles ZIP (zero-inflated poisson)
• Pr(Y=y) =
ω + (1-ω).e-µ
(1-ω).e-µ.µy / y!
y=0
y>0
0≤ω<1
• E(Y) = (1-ω).µ = λ
• Var(Y) = λ + (ω/(1-ω)).µ2
• Similitude avec le premier modèle ?
« The second of these equations has the same form »
Modèles « hurdle »
• Analyse séparée
– Proportion de zéros
– Probabilité de valeurs > 0
Pr(Y=y) =
π0
y=0
(1- π0).e-µ.µy / ((1-e-µ)y!)
y>0
• Hypothèse sous jacente : π0 et µ sont-ils indépendants ?
– l’un dépend de variables explicatives indépendantes de l’autre
– hypothèse forte
Modèle « birth process »
• Analyse séparée
• Période de « naissance » (zéros)
• Période de « croissance » (> 0)
• Différence d’évolution entre les 2 périodes
En résumé
• Loi binomiale négative
• Modèles, basés sur loi P ou autres (BN) :
– Modèles mixtes
– Modèles ZIP
– Modèles « hurdle »
– Modèles « birth process »
• En pratique,essentiellement BN, modèles
ZIP ou ZINB
Référence
Models for count data with many zeros
M. Ridout
International biometric conference, Cap Town . 1998
Présentation d’une étude
Evaluating risk factors associated with
severe hypoglycaemia in epidemiology
studies – What method should we use ?
M.K. Bulsara. Diabetic Medicine. 2004
Etude FR d’hypoglycémie sévère
• Prospective
• 1243 enfants, de 1996 à 2000
• 73% sans épisode sévère d’hypoglycémie
• Surdispersion
m = 0,68
var = 2,95
• Modèle poissonien inadapté
Etude FR d’hypoglycémie sévère
• Test statistique de surdispersion
• Test statistique pour le choix du modèle
ZIP/P et ZINB/NB (statistique de Vuong)
• Test MV pour comparer ZIP/ZINB
> Modèle ZINB le plus approprié
Etude FR d’hypoglycémie sévère
• Comparaison des estimations
– Age
• P,NB : RR diminue avec l’âge
• ZIP : OR augmente avec l’âge / groupe « zéros »
– Sexe
• RR augmenté chez le garçon. NS pour modèles ZI
• ! OR / groupes « zéros » dans modèles ZI ?
– Durée du diabète
• RR augmenté
– HbA1C
• RR diminué pour tous les modèles
Etude FR d’hypoglycémie sévère
• Conclusions
– Modèle Poisson inadapté
– Différences non négligeables dans les
estimations des paramètres
– Difficultés d’interprétations des résultats
Aux prochains épisodes …
• Episode 1 – Quand prendre en compte ?
Tests pour choisir le modèle
• Episode 3 – Avec quoi prendre en compte ?
Outils et applications pratiques