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Números complexos

Números negativos



Os números negativos tem raiz quadrada?

√–9 √–6 √–3 √–15 √–4

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Conjuntos numéricos



Já estudamos em anos anteriores as diferentes categorias numéricas. Veja um resumo



O conjunto dos números Naturais de contar. É o conjunto surgiu da necessidade

ℕ

= {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Mais tarde surgiram os números negativos –1, –2, –3, etc.



O conjunto dos naturais acrescentados dos inteiros negativos, constitui o conjunto dos números Inteiros , representado por

ℤ

= {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

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Conjuntos numéricos



Já estudamos em anos anteriores as diferentes categorias numéricas. Veja um resumo



A necessidade de dividir o inteiro em partes, fez surgirem os números racionais , assim definidos

ℚ

= {x/x = p/q com p, q inteiros e q ≠ 0}



A resolução de certos problemas geométricos, levou ao surgimento dos números irracionais . São exemplos de irracionais o número



e raízes não-exatas:

√ 3

,

√ 2

,

∛ 7

, etc.

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Conjuntos numéricos



Já estudamos em anos anteriores as diferentes categorias numéricas. Veja um resumo



A reunião dos números racionais com os irracionais deu origem ao conjunto

ℝ

dos números reais .

ℝ

= ℚ

∪

{irracionais}



Até por volta do século XV reais. Eles eram considerados suficientes para a resolução de problemas de medida.

, só se conheciam os números

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Números imaginários



Em 1545 o matemático Girolamo Cardano, em seu livro Ars Magna (A grande Arte), propunha o seguinte problema Dividir 10 em duas partes cujo produto seja igual a 40.



A solução dessa questão equivale a resolução da equação de 2º grau x 2 – 10x + 40 = 0 . Resolvendo-a, chegamos aos dois números: 5 + √–15 e 5 – √–15

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Números imaginários



A princípio, os matemáticos consideravam que tais números (como √–15) eram “inúteis” ou que simplesmente, eles “não existiam”.



Em meados do século XVII, Descartes já aceitava esses números. Ele os chamava de formular conceitos sobre raízes algébricas.

imaginários de , ao equações

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Números imaginários



No século XVIII, os trabalhos de D’Alembert e Euler já consideravam a importância dos números imaginários . Criaram uma teoria mais completa a respeito deles e de suas relações com as equações.



Só a partir do século XIX, quando Gauss divulgou sua representação geométrica , é que os complexos, que incluem os reais e os imaginários, passaram a ser aceitos e usados sem restrições.

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A unidade imaginária



Chama-se por i unidade imaginária , assim definido: o número representado i 2 = –1



Note que i não é real, pois não existe número real cujo quadrado seja negativo.



A partir dessa definição, toda equação de 2.º grau terá sempre duas raízes, ainda que seu discriminante ∆ seja negativo.

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A unidade imaginária e a equação de 2.º grau



Usando a definição da unidade imaginária i, resolver as equações de 2.º grau x 2 + 9 = 0 e x 2 – 6x + 13 = 0.



1ª equação: x 2 + 9 = 0

⇒

x 2 = – 9

⇒ ⇒

x 2 = 9.i

2

⇒

x = 3i ou

⇒

x = ± √9i 2 x = –3i x 2 = 9.(–1) S = {–3i, 3i}

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A unidade imaginária e a equação de 2.º grau



Usando a definição da unidade imaginária i, resolver as equações de 2.º grau x 2 + 9 = 0 e x 2 – 6x + 13 = 0.



2ª equação: x 2 – 6x + 13 = 0

⇒

∆ = (–6) 2 – 4 . 1 . 13 = 36 – 52 = –16 = 16i 2 x = – b ± 2a √∆

⇒

x = 3 + 2i = 6 ± √16i 2 2 ou x = 3 – 2i = 6 ± 2 4i

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O conjunto dos números complexos

O conjunto dos números complexos



Os números 3 + 2i, 3 – 2i, 3i e –3i. Todos eles podem ser escrito na forma a + bi , Veja Número 3 + 2i 3 – 2i 3i – 3i a + bi 3 + 2i 3 – 2i 0 + 3i 0 – 3i a e b

∊

ℝ .

i é a unidade imaginária



Números como esses são chamados de complexos .

números

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O conjunto dos números complexos



Chama-se número complexo número escrito na forma na forma algébrica, todo z = a + bi sendo a e b reais quaisquer e i a unidade imaginária.



O número imaginária a é a parte real de z e o número de z. Em símbolos: b é a parte Re(z) = a e Im(z) = b

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Analisando diferentes números complexos

Exemplo



Identificar a parte real e a parte imaginária dos números complexos z 1 = 3 + 0i, z 2 = 5 – 2i e z 3 = 0 + 4i.



No complexo z 1 = 3 + 0i , temos a = Re(z 1 ) = 3 b = Im(z 1 ) = 0

⇒

z 1 = 3 é real (b = 0)

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Exemplo



Identificar a parte real e a parte imaginária dos números complexos z 1 = 3 + 0i, z 2 = 5 – 2i e z 3 = 0 + 4i.



No complexo z 2 = 5 – 2i , temos a = Re(z 2 ) = 5 b = Im(z 2 ) = –2

⇒

z 2 é imaginário (b ≠ 0)

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Exemplo



Identificar a parte real e a parte imaginária dos números complexos z 1 = 3 + 0i, z 2 = 5 – 2i e z 3 = 0 + 4i.



No complexo z 3 = 0 + 4i , temos a = Re(z 3 ) = 0 b = Im(z 3 ) = 4

⇒

z 3 é imaginário puro (a = 0 e b ≠ 0)

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O conjunto dos números complexos



Pela definição os números reais passam a ser um caso particular dos números complexos. Assim o conjunto dos números complexos, representado por

ℂ

, é reunião dos números reais com os números imaginários.

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O conjunto dos números complexos



O diagrama abaixo mostra a relação entre os diferentes conjuntos numéricos Naturais Inteiros negativos irracionais

ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ

Racionais não-inteiros

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imaginários

Exemplos



Suponha que k seja uma constante real. Considere o número complexo z = (k – 3) + (k + 2)i.

a) qual a parte real de z?

Re(z) = k – 3.

b) e a parte imaginária de z?

Im(z) = k + 2.

c) se z é real, qual o valo de k? Nesse caso qual o valor de z?

k = –2 e z = –5.

d) se z é imaginário puro, qual o valo de k? Nesse caso qual o valor de z?

k = 3 e z = 5i.

e) para algum valo de k, z = 0?

Não.

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Exemplos



Analise se cada uma das afirmativas a seguir é VERDADEIRA (V) OU FALSA (F).

( ) A interseção do conjunto dos números reais com o conjunto dos números imaginários é o conjunto vazio.

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Exemplos



Considere o complexo z = (1 – p) + (p 2 – 9)i, em que p é uma constante real. Se z é real positivo. Calcule p e z.

Se z é real positivo, então Im(z) = 0 e Re(z) > 0.

Re(z) = 1 – p

⇒

1 – p > 0

⇒

–p > –1

⇒

p < 1 Im(z) = p 2 – 9

⇒

p 2 – 9 = 0

⇒

p 2 = 9 Como p < 1

⇒

p = –3.

⇒

p = ± 3

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Igualdade e operações com complexos

Igualdade de complexos



Dois números complexos só são iguais se têm mesma parte real e mesma parte imaginária.



Em símbolos, se complexos, z 1 = a + bi e z 2 = c + di são números z 1 = z 2

⇔

a = c b = d

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Exemplos



Se x e y são números reais, sob que condições os complexos (x – 1) + (y + 2)i e 3 – 5i são iguais?

Igualando os complexos, temos (x – 1) + (y + 2)i = 3 – 5i

⇒

x – 1 = 3

⇒

y + 2 = –5

⇒ ⇒

x = 4 y = –7

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Exemplos



Determine os valores reais de m e n para que os complexos (m – 5) + ni e (n + 3) + (2m + 1)i sejam iguais?

Igualando os complexos, temos (m – 5) + ni = (n + 3) + (2m + 1)i m – 5 = n + 3 n = 2m + 1

⇒ ⇒ ⇒

m – 5 = 2m + 1 + 3 m = – 9 n = 2(–9) + 1

⇒ ⇒

– m = 9 n = – 17

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Oposto e conjugado de complexos



Chama-se oposto ou complexo indicado por simétrico –z de um complexo , assim definido.

z o z = a + bi

⇒

–z = –(a + bi) = –a – bi Exemplos z 1 = 3 – i z 2 = –2 – 5i z 3 = 2i

⇒ ⇒ ⇒

–z 1 = –3 + i –z 2 = 2 + 5i –z 3 = –2i

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Oposto e conjugado de complexos



Chama-se conjugado indicado por de um complexo z (z barra) , assim definido.

z o complexo z = a + bi

⇒

z = a + bi = a – bi Exemplos z 1 = 3 – i z 2 = –2 – 5i z 3 = 2i

⇒ ⇒ ⇒

z 1 = 3 + i z 2 = –2 + 5i z 3 = –2i

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Adição, subtração e multiplicação de complexos



Definem-se, no conjunto dos complexos, operações de adição, subtração e multiplicação.

as



Na prática, operamos com os complexos como se fossem expressões de 1º grau de “variável” i . Na multiplicação, aplicamos a definição i 2 = –1 .

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Exemplos



Dados os números complexos v = 3 – i , w = 5 + 2i e z = –1 + 5i, calcular v + w, v – z e w.(–z).



Cálculo de v + w.

v + w = (3 – i) + (5 – 2i) = (3 + 5) + (–1 – 2)i = 8 – 3i

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Exemplos



Dados os números complexos v = 3 – i , w = 5 + 2i e z = –1 + 5i, calcular v + w, v – z e w.(–z).



Cálculo de v – z.

v – z = (3 – i) – (–1 + 5i) = 3 – i + 1 – 5i = (3 + 1) + (–1 – 5)i = 4 – 6i

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Exemplos



Dados os números complexos v = 3 – i , w = 5 + 2i e z = –1 + 5i, calcular v + w, v – z e w.(–z).



Cálculo de w.(–z).

w.(–z) = (5 + 2i).(1 – 5i) = 5 – 25i + 2i – 10i 2 = 5 – 25i + 2i – 10( –1 ) = 5 – 23i + 10 = 15 – 23i

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Exemplos



Determinar o complexo z seguinte 2z + 5z = 7 + 6i.

que satisfaz a igualdade Fazendo z = a + bi, com a e b reais, temos 2z + 5z = 7 + 6i

⇒ ⇒

2(a + bi) + 5(a – bi) = 7 + 6i 2a + 2bi + 5a – 5bi = 7 + 6i

⇒

7a – 3bi = 7 + 6i

⇒

7a = 7 –3b = 6

⇒

a = 1 e b = –2

⇒

z = 1 – 2i

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Exemplos



Obter o complexo z resulta 8 + i.

que, multiplicado por 2 – i, z.(2 – i) = 8 + i Fazendo z = a + bi, com a e b reais, temos (a + bi).(2 – i) = 8 + i

⇒ ⇒

2a – ai + 2bi + b 2a + b + (2b – a)i

⇒

2a – ai + 2bi – b = 8 + i = 8 + i

⇒

i 2 = 8 + i 2a + b = 8 2b – a = 1

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Exemplos



Obter o complexo z resulta 8 + i.

que, multiplicado por 2 – i, Resolvendo o sistema, chegamos a 2a + b = 8 2b – a = 1

⇒

x (2) 2a + 2 = 8

⇒ ⇒ ⇒

2a + b = 8 4b – 2a = 2 5b = 10

⇒

+ b = 2 a = 3 z = a + bi

⇒

z = 3 + 2i

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Divisão de complexos



A divisão é a operação inversa da multiplicação de complexos.



Se z 1 , z 2 e z 3 são três complexos, com z 2 definimos a divisão da seguinte maneira: ≠ 0, z 1 z 2 = z 3

⇔

z 1 = z 2 . z 3

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Divisão de complexos



No problema resolvido anteriormente vimos que (3 + 2i).(2 – i) = 8 + i

⇔

8 + i 2 – i = 3 + 2i (3 + 2i).(2 – i) = 8 + i

⇔

8 + i 3 + 2i = 2 – i

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Divisão de complexos



Na prática o quociente de dois complexos pode ser obtido de outra forma.



Multiplicamos o dividendo e o divisor pelo conjugado do denominador. Veja z 1 z 2 = z 1 z 2 . z 2 . z 2

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Exemplos



Efetue as divisões indicadas abaixo.

a) 8 + i 2 – i = (8 + i).(2 + i) (2 – i).(2 + i) = 16 + 8i + 2i + i 2 2 2 – i 2 = 16 + 8i + 2i – 1 4 – (–1) = 15 + 10i 5 = 3 + 2i

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Exemplos



Efetue as divisões indicadas abaixo.

b) 8 + i 3 + 2i = (8 + i).(3 – 2i) (3 + 2i).(3 – 2i) = 24 – 16i + 3i – 2i 2 3 2 – 4i 2 = 24 – 16i + 3i + 2 9 + 4 = 26 – 13i 13 = 2 – i

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Inverso de um complexo



Se z é um complexo não-nulo, chamamos de inverso de z o complexo representado por z –1 e assim definido.

z –1 = 1 z Exemplo z = i

⇒

z –1 = 1 i = (1) . (–i) (i) . (–i) = –i –i 2 = –i 1 = –i

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Potências da unidade imaginária

Potências da unidade imaginária



Para as potências do tipo i n da unidade imaginária n natural, valem as definições.

i , i 0 = 1 i 1 = i i 2 = –1 Para n > 2 , valem as propriedades usuais da potenciação em

ℝ.

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Potências da unidade imaginária



Acompanhe a seqüência.

       

i 0 i 1 i 2 = = i 1 = –1 i 3 = i 2 . i = (–1). i = –i i 4 = i 2 . i 2 = (–1).(–1) = 1 i 5 = i 4 . i = (1). i = i i 6 = i 4 . i 2 i 7 = i 4 . i 3 = 1.(–1) = = 1.(–i) = –1 –i ......................................

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Potências da unidade imaginária



Qualquer potência de i n , n natural, pode ser calculada a partir das quatro primeiras.

i 0 = 1 i 1 = i i 2 = –1 i 3 = –i O valor de i n de n por 4.

é o mesmo de i R , sendo R o resto da divisão

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Exemplos



Calcular i 42 + i 37 .

i 42 = i 2 = –1 i 37 = i 1 = i 42 2 4 10



i 42 + i 37 = –1 + i

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37 1 4 9

Exemplos



Calcular i 4n – 2 .

i 4n – 2 = i 4n i 2 = (i 4 ) n –1 = 1 n –1 = –1



i 4n – 2 = –1

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Potenciação de complexos (expoente natural)

Potenciação de complexos



Se n é um número natural e z é um complexo qualquer, a potência n fatores iguais a z.

z n é, por definição, o produto de z 0 = 1 (z ≠ 0) z 1 = z z n = z. z.z ... .z n fatores

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Exemplos



(3+i) 0 = 1



(–5 + 2i) 1 = –5 + 2i



(2 – 3i) 2 = 4 – 12i + 9 i 2 = 4 – 12i – 9 = –5 – 12i



(1 + i) 3 = 1 + 3i + 3 i 2 + i 3 = 1 + 3i – 3 – i = –2 + 2i

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Exemplos



Calcular o valor da constante real k, para que o complexo z = (k + 2i) 2 seja imaginário puro.

z = (k + 2i) 2 = k 2 + 4ki + 4 i 2 = k 2 – 4 + 4ki



z imaginário puro, devemos ter Re(z) = 0 Im(z) ≠ 0

⇒

k 2 – 4 = 0 4k ≠ 0

⇒

k = ± 2

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Potenciação de complexos (expoente inteiro negativo)

Potenciação de complexos



A partir do conceito de inverso de um número complexo, podemos calcular uma potência com expoente inteiro negativo. Sendo z um complexo, z ≠ 0 e n um número natural, define-se: z –n = 1 z n

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Exemplos



Sendo z = 1 – i, calcular z –2 .

Primeiro vamos calcular z –1 ; depois z –2 .

z –1 = 1 z = 1 1 – i = 1 + i (1 – i).(1 + i) = 1 + i 1 2 – i 2 = 1 + i 2 z –2 = (z –1 ) 2 = z –2 = (z –1 ) 2 = 1 + i 2 2 = 2i 4 = i 2 1 + 2i + i 2 4 = 1 + 2i – 1 4

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