Transcript Kebebasan tapak - Blog Mahasiswa UI

Kebebasan
Tapak
Pendahuluan
KEBEBASAN TAPAK
Dalam teorema dasar kalkulus diketahui :
b
 f '  x  dx  f b   f  a 
a
Hal ini akan diterapkan dalam integral garis.
Teorema A (Teorema Dasar Untuk Integral Garis) :
Misalkan C kurva mulus sepotong-sepotong yang secara
parameter diberikan oleh :
r  r(t ), a  t  b
Jika f dapat didifferensialkan secara kontinu pada suatu
himpunan yang mengandung C, maka :
  f (r ). d r  f  r (b)   f  r (a) 
C
Catatan :
1. Bila r (t )  x(t ) i  y(t ) j maka f  r  berpadanan
dengan f(x,y)
1. Bila r(t )  x(t ) i  y(t ) j  z(t ) k maka f  r  berpadanan
dengan f(x,y,z).
Bukti :
b
dr
C  f (r ). d r  a  f  r  . dt dt
 f
f
f   dx dy
dz  
   i 
j  k  . i 
j  k   dt
x y
z   dt
dt
dt  
a 
b
 f dx f dy f dz 
   .  .  .  dt
x dt y dt z dt 
a
b
b
  
d

f r (t ) dt
dt
a
   
 f r (b)  f r (a )
Jika untuk titik-titik ujung r(a) dan r(b) pada persamaan
sebelumnya ditulis sebagai A dan B, maka persamaan
tersebut bisa ditulis dalam bentuk
  f (r ). d r  f  B   f  A
C
Contoh : Misalkan diketahui
c
f  x, y , z   f r  
r

c
x2  y 2  z 2
adalah fungsi potensial untuk invers hukum medan kuadrat
cr
F r  3
.
r

Hitunglah :
 F  r  . dr
C
dengan C adalah sebarang potongan kurva mulus dari (0,3,0)
ke (4,3,0) yang melalui titik asal
Jawab :
f (r )  c  x  y  z
2

2

2 1/2
f
f
f
i
j
k
x
y
z
3/2
3/2
3/2
1
1
1
  c  x 2  y 2  z 2  .2 xi   c  x 2  y 2  z 2  .2 y j   c  x 2  y 2  z 2  .2 zk
2
2
2
f r 

 c  x 2  y 2  z 2 
 c  x 2  y 2  z 2 


c xi  y j  zk


x y z
2
Jadi f r  F (r )
2
2

3/2
3/2
xi   x 2  y 2  z 2 
 xi  y j  zk 
  cr
3
r
3
3/2
y j   x2  y2  z 2 
3/2
zk

Berarti :
 F (r ). d r   f  r  . d r
C
C
 f  4,3, 0   f  0,3, 0 
2c
c c
c
c
  


15
9 5 3
25
Kriteria untuk Kebebasan Tapak
• D disebut himpunan tersambung apabila terdapat dua
titik sebarang dalam D yang dapat dihubungkan oleh
sepotong kurva mulus yang seluruhnya terletak dalam
D.
•
 F  r  . dr
bebas tapak dalam D jika untuk sebarang dua
C
titik
A dan B dalam D, integral garis mempunyai nilai
yang sama untuk setiap tapak C dalam D yang secara
positif terarah dari A ke B.
Medan Vektor Konservatif dan Fungsi
Potensial
Medan vektor F yang didefinisikan pada
daerah D adalah medan vektor konservatif jika
terdapat fungsi skalar f pada D sedemikian
sehingga

f r  F (r )
pada setiap titik di D. Dalam hal ini fungsi
skalar f disebut fungsi potensial untuk medan
vektor F
Teorema B :

Misalkan F r kontinu pada suatu himpunan tersambung
terbuka D. Maka integral garis F r . d r bebas tapak
 
 F  r  . d r bebas tapak
 
C
jikka F r  f r untuk suatu fungsi skalar f, atau
C
Bukti : PR
 F medan vektor konservatif
Teorema C :
Misalkan F  Mi  N j  Pk dengan M, N,P kontinu bersamasama dengan turunan parsial tingkat pertamanya dalam
suatu himpunan tersambung terbuka D dengan tanpa
lubang. Maka F adalah konservatif (F  f ) jikka
curlF  0 atau M  N , M  P , N  P
y
x z x z y
Dalam hal khusus : F  Mi  N j akan
konservatif jikka
M N

y
x
Bukti : PR
Contoh : Tentukan apakah F   4 x3  9 x 2 y 2  i   6 x3 y  6 y 5  j
konservatif. Jika demikian tentukan fungsi f nya.
Jawab :
F   4 x3  9 x 2 y 2  i   6 x3 y  6 y 5  j
M  x, y   4 x 3  9 x 2 y 2
N  x, y   6 x 3 y  6 y 5
M
 18 x 2 y
y
N
 18 x 2 y
x
Jadi F konservatif.
f
f
f  i 
j  Mi N j
x
y
f
 M  4 x3  9 x 2 y 2
x
f
 N  6 x3 y  6 y 5
y
f
3
2 2
Ambil :  M  4 x  9 x y
x
f  x, y     4 x 3  9 x 2 y 2  dx  x 4  3x 3 y 2  C1  y 
f
3
'
 6 x y  C1  y 
y
6 x 3 y  6 y 5  6 x 3 y  C1'  y 
 C1'  y   6 y 5 , C1  y   y 6  C
Jadi f  x, y   x 4  3 x 3 y 2  y 6  C
Dengan demikian kita bisa menyimpulkan dalam
bebas tapak ini terdapat 3 hal yang saling ekivalen,
yaitu :
1. F  f untuk suatu fungsi f
2.  F r . d r bebas dari tapak
3. C F r .d r  0 untuk setiap tapak tertutup C


C
Bukti: PR
Latihan Soal
1. Find a potential function for the vector field
a. F  2xy3 z 4 i  3x2 y2 z 4 j  4x2 y3 z3k
b.
2.
3. Hitung integral garis berikut:
a.
b.
Latihan Soal
4. For which numbers a and b is
F = axyi + (x2 + by)j a gradient field?