Schätzen mit subjektiven Wahrscheinlichkeiten
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Transcript Schätzen mit subjektiven Wahrscheinlichkeiten
Schätzen mit subjektiven
Wahrscheinlichkeiten
Reimar Hofmann
Hochschule Karlsruhe
Technik und Wirtschaft
Objektive Wahrscheinlichkeiten
Voraussetzung:
Beliebig oft wiederholbares Experiment,
bei dem ein Ereignis A eintreten kann oder nicht.
Beispiel:
Roulette-Spiel,
Ereignis „es kommt rot“
Wahrscheinlichkeit P(A):
Anteil der Versuche, bei denen A im Mittel eintritt.
(bei sehr vielen Wiederholungen des Experimentes)
P(rot) = 18 / 37
Objektiver Erwartungswert
Voraussetzung:
Beliebig oft wiederholbares Experiment,
bei dem zufallsabhängig eine Zahl X ermittelt wird.
Beispiel:
Roulette-Spiel, 1€ auf Rot setzen
X = Höhe des Gewinns
Erwartungswert E(X):
Wert, um den sich der arithmetische Mittelwert von X bei
sehr vielen Wiederholungen einpendelt.
E(X) = 18/37 (-1 €) + 18/37 1 € + 1/37 (-0,5 €) -1,4 Ct
schwarz
rot
grün
Was ist bei einmaligen Ereignissen?
Sie sind Kandidat bei „Wer wird Millionär“ ,
haben schon 32.000 €,
haben bei der 64.000 €-Frage eine Vermutung.
Was ist die „Wahrscheinlichkeit“ p, dass Sie richtig liegen?
Was soll hier „Wahrscheinlichkeit“ heißen, wozu?
Um die richtige Entscheidung zu treffen:
Aufhören:
E(Gewinn) = 32.000 €
Weiterspielen: E(Gewinn) = 64.000 € p + 16.000 € (1 – p) =
= (64.000 € - 16.000 €) p + 16.000 € = 48.000 € p + 16.000 €
Weiterspielen ist besser als Aufhören falls p > 1/3
Subjektive Wahrscheinlichkeiten
Bei nicht wiederholbaren Vorgängen ist der klassische
Wahrscheinlichkeitsbegriff nicht anwendbar.
Subjektive Wahrscheinlichkeit: Drückt die persönliche
Einschätzung eines Ereignisses aus, z.B. zu welchen
Quoten würde man dafür/dagegen wetten.
Verschiedene Menschen können dasselbe Ereignis
unterschiedlich einschätzen.
Beispiel:
Ich: P(morgen Regen) = 30%
Sie: P(morgen Regen) = 20%
Was, wenn es morgen nicht regnet?
Selbst im Nachhinein ist keiner von beiden widerlegt.
Subjektive Wahrscheinlichkeiten
verifizieren
1. Das Experiment kann nicht wiederholt werden, aber das
Schätzen von verschiedenen Experimenten schon:
Wenn Person A viele unterschiedliche Experimente
schätzt, dann sollten von den mit 20% geschätzten
Ereignissen auch ca. 20% eintreten.
2. Verschiedene Schätzungen einer Person sollten zueinander
konsistent sein, z.B:
P(Regen am Wochenende) P(Regen am Sa) + P(Regen am So)
Subjektive Bewertungen
Von 2 Mrd. Flugpassagieren im Jahr
sterben im Mittel 500 durch Unfälle
pro Flug Unfallwahrscheinlichkeit = 0,25 mor ( 500 / 2 Mrd.)
( 1 mor : Risiko Eins zu einer Million, zu sterben )
Wie viel „lohnt“ sich zu investieren, um das Risiko zu reduzieren?
„Lohnen“ sich pro Flugticket zusätzliche 10 €, wenn das Risiko
damit halbiert werden kann?
Darf man Geld gegen Unfalltote abwägen???
„Sicherheit hat oberste Priorität“
Verkehrsminister Ramsauer zum Flugverbot, 18.04.2010
Menschen wägen ständig
zwischen Äpfeln und Birnen ab
Regenschirm mitnehmen?
Sicherheitszubehör fürs Auto:
Tauchen:
Kino:
Rauchen:
Schleppen nass werden
Geld Tod
Spass Tod
Spass Geld
Genuss Gesundheit
Wir bewerten ständig nicht vergleichbare Dinge gegeneinander,
indem wir Entscheidungen treffen.
Einige Risikowahrscheinlichkeiten quantifiziert:
Aktivität
Flug
Eine Zigarette rauchen
0,5 l Rotwein trinken
1 Mal Flaschentauchen
Natürlicher Tod pro Tag
Todesfall-Risiko
0,25 mor (Unfall)
0,7 mor (Krankheit)
1 mor (Leber)
5 mor (Unfall)
34 mor
Lebenserwartung: 80 Jahre = 29200 Tage
Todesrisiko pro Tag = 1/29200 34 mor
Entscheiden Menschen in konsistenter Weise?
10 € mehr für ein Flugticket, wenn sich das Risiko dadurch halbiert?
Ja?
Für 50 € auf das Rauchen einer Zigarette verzichten?
Ja?
Subjektive Bewertungen ableitbar:
Genuss einer Zigarette < 50 €
(da verzichtbereit)
Genuss einer Zigarette > 0,7 mor (da Raucher)
0,7 mor
< 50 €
„ganzer“ Todesfall < 71 Mio € ( 50 € / 0,7mor )
(1/4 – 1/8) mor
ganzer Todesfall
Inkonsistent.
>
>
10 €
(kauft sicheren Flug)
80 Mio. €
2 Mrd € pro Tag; „lohnte“ das Flugverbot?
Annahme:
30 € =^ 1 mor [Selbstbewertung]
2 Mrd € =^ 67 Tote [pro Tag!!!]
Objektiven Schätzung aus frühere Aschebegegnungen:
Ca. 20 Fälle, alle ohne Absturz
Also Absturzrisiko < 1/20 zu grob geschätzt
Subjektiver Schätzversuch: 100 Passagiere pro Flugzeug,
67 Tote pro Tag entspricht einem Absturz je 1,5 Tage
Glauben Sie, dass so viel passiert wäre?
Wie weit weg vom Vulkan?
Wie empfindlich sind Flugzeuge bei anderen Störungen?
Analogieschlüsse …
Bei großer Unsicherheit: Testen?
Beispiel: Aschewolke
Ein Absturz ist ähnlich „teuer“ wie 1,5 Tage Flugverbot.
Risiko durch Ausprobieren ermitteln:
Störung länger als 2 Tage?
Flugbetrieb nach und nach wieder aufnehmen.
Falls Absturz innerhalb von zwei Tagen:
Wieder sperren, da Risiko > Schaden
Entscheidung den Passagieren selbst überlassen:
Die risikofreudigen testen freiwillig die Wahrscheinlichkeit
aus.
Die vorsichtigeren fliegen erst, wenn das Risiko durch
genügend „Vorexperimente“ abschätzbar ist.
No Risk
No Fun
Viel Spass bei der Langen Nacht
Das Risiko ist sehr überschaubar…