Wahrscheinlichkeitsrechnung eine Einführung

Pierre Simon Marquis de Laplace (1749-1827) Französischer Mathematiker und Astronom. Er war einer der wichtigsten Mathematiker seiner Zeit. Seine Schriften umfassen Studien zur Kosmogonie, Schwingungs- und Wärmelehre, Himmelsmechanik und Wahrscheinlichkeitstheorie.

Carl Friedrich Gauß (1777-1855) zählt zu den bedeutendsten Mathematikern und herausragendsten Naturforschern der Geschichte. Kaum ein Zweig der Mathematik oder der mathematischen Physik blieb von Gauß unberührt. Umfangreich waren auch seine Arbeiten auf dem Gebiet der Astronomie.

Leitidee Zufall

Ergebnisse und Ereignisse

1 6 5 2 1 3 3 2 1 4 1 2

Beispiel Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine gerade Zahl zu ziehen?

Wir betrachten mehrere

Ergebnisse.

Mehrere Ergebnisse bilden ein

Ereignis.

Leitidee Zufall

Ergebnisse und Ereignisse

1 6 5 2 1 3 3 2 1 4 1 2 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „gerade Zahl“?

günstige F/ mögliche F = 5/12 Wahrscheinlichkeiten für Ergebnis 2: Ergebnis 4: Ergebnis 6: 3/12 1/12 1/12 Summenregel Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die das Ereignis bilden.

(Voraussetzung: Einander ausschließende Ereignisse!)

Leitidee Zufall Ergebnis: Ausgang eines Zufallsversuchs Ein Ereignis setzt sich aus mehreren Ergebnissen zusammen.

Summenregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet sich aus der Summe der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse. (Voraussetzung: Einander ausschließende Ereignisse!) Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1.

Das unmögliche Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 0 .

Alle ungünstigen Ergebnisse bilden das Gegenereignis.

Ist p die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, so ist die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses (1- p).

Leitidee Zufall Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse: Die gewürfelte Zahl ist a) b) c) d) e) f) g) h) gerade ungerade eine Primzahl eine Quadratzahl kleiner als 5 größer als 2 und kleiner als 5 kleiner als 7 größer als 6 0,5 0,5 0,5 0,333… 0,666… 0,333… 1 0

Leitidee Zufall

Einstufige Zufallsversuche

Zufallsgeräte, Zufallsversuch, Ergebnisse, relative Häufigkeit, Wahrscheinlichkeit, Ereignis, Summenregel, sicheres Ereignis, unmögliches Ereignis, Gegenereignis

Zufallsgeräte

Auftrag: Werft eine Münze 50 mal und notiert jeweils die Anzahl für „Kopf“ bzw. für „Zahl“!

Vergleicht die Ergebnisse untereinander! Was fällt auf?

Was kann man über das Ergebnis des 51. Wurfes aussagen?

Welche „Erwartungshaltung“ hat man?

An einer Straßenkreuzung werden die Farben der vorüberfahrenden Autos notiert. Man erhält für (r)ot, (g)rün, (b)lau, (s)chwarz, (w)eiß, (si)lber: b, s, si, w, w, b, r, g, w, w, si, w, r, b, g, si, w, g, si, w, b, s, s, w, si, r, b, s, si, g, w, si, r, si, w, b, r, g, si, w.

Stellt eine Häufigkeitstabelle auf! Was fällt auf?

Ist das 41. Auto ein silberfarbenes?

Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Bei vielen Zufallsversuchen (Ziehen einer Kugel aus einem Behälter, Werfen eines Würfels, …) lassen sich die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Ergebnisse durch -

die Annahme gleicher Chancen

(bedingt z. B. durch die Symmetrie der Zufallsgeräte) für die möglichen Ergebnisse bestimmen. Wie groß ist aber die Wahrscheinlichkeit mit dem Reißnagel „Seite“ zu werfen?

Hier müssen Sie ein Experiment durchführen.

Leitidee Zufall – Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Relative Häufigkeit

... Anzahl „Bauchlage“ / Anzahl der Würfe

Anzahl der Würfe

5 10 15 20 25 30 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Anzahl "Bauchlage" relative Häufigkeit "Bauchlage"

2 6 10 15 18 21 25 40 53 65 75 87 100 110 125 0,4 0,6 0,67 0,75 0,72 0,7 0,625 0,67 0,66 0,65 0,625 0,621 0,625 0,611 0,625

Leitidee Zufall – Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Das Experiment mit dem Reißnagel legt für die Definition der Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses folgende Definition nahe:

Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses = relative Häufigkeit des Ergebnisses (bei „unendlich“ vielen Versuchen)

----------------------------------------------------------------------------------------------- Die Definition

Anzahl der günstigen Fälle / Anzahl der möglichen Fälle

führt mit der Annahme der Gleichwahrscheinlichkeiten zum gleichen Ergebnis.

Das Wetter in Phantasia verhält sich während eines Monats (30 Tage) folgend:

schön leicht bewölkt stark bewölkt bedeckt 7 Tage 2 Tage 8 Tage 9 Tage Regen 4 Tage

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es an einem zufällig ausgewählten Tag a) regnet?

b) bedeckt oder bewölkt ist?

c) im ungünstigsten Fall stark bewölkt ist?

d) möglich ist, zu baden?

a) P(es regnet) = 4/ 30 = 2/15 = 0,133 b) P(bedeckt oder bewölkt) = 19/30 = 0,633 c)P(schlechtestens stark bewölkt) = P(schön) + P(leicht bewölkt) + P(stark bewölkt) = 17/30 = 0,566 d) P(man kann baden) : keine eindeutige Antwort möglich (subjektiv!!)

Wenn ein New Yorker wegen einer Bissverletzung behandelt wird, stammt diese in 9 / 10 aller Fälle von einem Hund, in 1 / 20 von einer Katze, in 1 / 25 von einem Menschen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Bissverletzung a) weder von einem Hund noch von einer Katze stammt?

b) von keinem Hund stammt?

c) von keinem Tier stammt?

Annahme: Ereignisse schließen einander aus (disjunkt): a) P(weder von einem Hund noch von einer Katze) = 1 – 19 / 20 = 1 / 20 b) P(von keinem Hund stammt) = c) P(von keinem Tier stammt) = problematisch, da vorgegebene Kategorien nur 99% der Fälle abdecken! 1 / 10

Wenn die Ereigniskategorien einander ausschließend (disjunkt) sind, ist die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten stark vereinfacht.

Wie soll man aber vorgehen, wenn dies nicht der Fall ist?

Jede dritte Familie aus Deutschland verbrachte ihren letzten Sommerurlaub in Österreich, jede zehnte in der Schweiz. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte deutsche Familie ihren Sommerurlaub entweder in Österreich oder in der Schweiz (oder in beiden Ländern) verbracht hat?

Unter der Annahme, dass Mehrfachantworten möglich sind, lässt sich diese Frage nicht genau beantworten.

Es gilt jedenfalls: P(Urlaub in Österreich) = P(Urlaub in Österreich  1 / 3 , P(Urlaub in der Schweiz) = 0,1. Kennt man den Anteil jener Personen, die ihren Sommerurlaub sowohl in Österreich als auch in der Schweiz verbracht haben (z. B. 3%), so gilt: Urlaub in der Schweiz) = P(Urlaub in Österreich) + P(Urlaub in der Schweiz) - P(Urlaub in Österreich  Urlaub in der Schweiz) = 1 / 3 + 0,1 - 0,03 = 0,403.

Zusammenfassend kann man folgende Regel für einander nicht ausschließende Ereignisse E 1 und E 2 formulieren: P(E 1  E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) - P(E 1  E 2 ).

Auto kein Auto Summe Haus 0,1 kein Haus Summe 0,5 0,6 0,1 0,2 0,3 0,8 0,4 1

Mehrstufige Zufallsauswahl: Unter den 10 Kandidaten für eine Fernsehshow (darunter 7 Frauen) sollen zwei Einkaufsgutscheine zu je 1000.-€ verlost werden.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass a) beide Gutscheine an Frauen gehen?

b) beide Gutscheine an Männer gehen?

c) wenigstens ein Gutschein an einen Mann geht?

Wir beginnen mit der Auswahl der ersten Person. Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich dabei um eine Frau handelt, ist P(E 1 ) = 7 / 10 . bei der Auswahl der weiten Person kann man nun von unterschiedlichen Annahmen ausgehen. Scheidet die Gewinnerin des ersten Gutscheins für die zweite Ziehung aus, beträgt die Wahrscheinlichkeit, bei der zweiten Ziehung ebenfalls eine Frau zu erhalten, nur noch P(E 2  E 1 ) = 6 / 9 , da eine veränderte Grundgesamtheit vorliegt. P(E 2  E 1 ) bedeutet dabei die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von E 2 unter der Bedingung von E 1 . Das Ergebnis der zweiten Ziehung ist abhängig vom Ergebnis der ersten Ziehung.

Lösung zu b) P(M 1



M 2 ) = P(M Lösung zu c) P(1 Gutschein



1 )



P(M 2



M 1 ) = 3 / 10



2 / 9 = 1 / 15 .

2 Gutscheine an Männer) = P(1 Gutschein) + P(2 Gutscheine)= P(M, F) + P(F, M) + P(M, M) = 3 / 10



7 / 9 + 3 / 10



7 / 9 + 3 / 10



2 / 9 = 8 / 15 .

Leitidee Zufall Bankräuber auf der Flucht mit P(Flucht) = 0,2

Zweistufige Zufallsversuche

Zweistufige Zufallsversuche, Baumdiagramm, Pfadregel Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten, gefaßt zu werden.

g=gefaßt f=Flucht geglückt P(gg) = 0,8 * 0,8 = 0,64 P(gf) = 0,8 * 0,2 = 0,16 P(fg) = 0,8 * 0,2 = 0,16 P(ff) = 0,2 * 0,2 = 0,04 gg 0,8 g 0,8 0,2 gf 0,8 fg 0,2 f 0,2 ff

Leitidee Zufall Produktregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades im Baumdiagramm erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multipliziert.

Leitidee Zufall A Ein Auto ist durch (Z)ündschloss, (W)egfahrsperre und (A)larmanlage gesichert. Diese versagen mit folgenden Wahrscheinlichkeiten: P(Z versagt) = 0,01 P(W versagt) = 0,003 P(A versagt) = 0,008 Z Zv Wv Wv W W Av A Av A Av A Av P(Z,W,Av) = 0,99*0,997*0,008 = 0,007896 P(Z,Wv,A) = 0,99*0,003*0,992 = 0,002946 P(Zv,W,A) = 0,01*0,997*0,992 = 0,00989 P(genau 1 Anlage versagt) = 0,007896+0,002946+0,00989 = 0,02073 P(mindestens 1 Anlage versagt) = 1-P(keine versagt) = 1 - 0,99*0,997*0,992=0,02087

Die Tabelle zeigt die einzelnen Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten:

P(Z,W,A)= P(Z,W,Av)= P(Z,Wv,A)= P(Z,Wv,Av)= P(Zv,W,A)= P(Zv,W,Av)= P(Zv,Wv,A)= P(Zv,Wv,Av)= 0,97913376 0,00789624 0,00294624 0,00002376 0,00989024 0,00007976 0,00002976 0,00000024 Summe 1

Beachte, dass es egal ist, mit welcher „Anlage“ man die Tabelle (das Baumdiagramm) beginnt!

In einer Stadt befinden sich unterschiedlich langen Grünphasen.

3 Verkehrsampeln mit (Angaben in Sekunden) Ein Fahrzeug trifft zufällig bei der Kreuzung A ein und will in Richtung B und C weiterfahren.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass rot grün A 20 B 30 C 40 40 30 30 a) alle Ampeln grün sind? [ 1 / 7 ] b) die erste Ampel rot, die zweite grün, die dritte rot ist? [ 2 / 21 ] c) überall rot ist? [ 2 / 21 ] d) Sind die Ereignisse unabhängig bzw. welche Annahmen müsste man dafür treffen?

Das Wetter in Statistic City verhält sich etwas eigenartig: Ist es heute schön, so ist es auch am darauffolgenden Tag mit p=1/3 schön.

Ist es heute schlecht, so ist es auch am darauffolgenden Tag mit p=3/4 schlecht.

Es ist offensichtlich, dass die Wetterlage „morgen“ von jener „heute“ abhängt, die Ereignisse „schön“ und „schlecht“ daher nicht unabhängig sind.

Beispielsweise ist P(morgen schön | heute schlecht) = 1 / 4 und P(morgen schlecht | heute schön) = 2 / 3.

Aufgabenstellung: Man weiß, dass es heute in Statistic City schön ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es a) übermorgen schön ist?

b) c) übermorgen schlecht ist?

an den folgenden 3 Tagen schön ist?

Lösung zu a) P(übermorgen schön | heute schön) = P(morgen schön und übermorgen schön | heute schön) + P(morgen schlecht und übermorgen schön | heute schön) = 1 /3 * 1 / 3 + 2 / 3 * 1 / 4 = 1 / 9 + 1 / 6 = 5 / 18 = 0,28 Lösung zu b) P(übermorgen schlecht | heute schön) = P(morgen schön und übermorgen schlecht | heute schön) + P(morgen schlecht und übermorgen schlecht | heute schön) = 1 /3 * 2 / 3 + 2 / 3 * 3 / 4 = 2 / 9 + 1 / 2 = 13 / 18 = 0,72

Es gilt natürlich: P bei a) ist die Gegenwahrscheinlichkeit von P bei b)

Experiment

Versucht, aus dem Gedächtnis einen 120 fachen Münzwurf zu simulieren: Das heißt: Schreibt (ohne Nachzudenken!) 120 mögliche Ergebnisse (K)opf bzw. (Z)ahl in einer Reihe an!

Wertet das Ergebnis nach der Häufigkeit von „Kopf“ bzw. „Zahl“ aus!

Was fällt dabei auf?

Zählt ab, wie oft die Wurffolge „KKK“ vorkommt!

Zählt ab, wie oft die Wurffolge „ZZZ“ vorkommt!

Gibt es dafür eine Erklärung?!

Was sagt ihr zu:

K K Z Z K Z K Z Z Z K K Z Z K K Z Z K Z Z K Z Z K Z K Z Z K K K Z K K K K K Z K Z Z K K Z K K Z Z K Z Z K K Z K Z Z K K

Leitidee Zufall Die Todesstrafe in Zelophanien Wer in Zelophanien zum Tode verurteilt wird, erhält eine letzte Chance.

Mit verbundenen Augen darf er einen der drei Behälter wählen und aus diesem Behälter eine Kugel ziehen. Eine weiße Kugel rettet sein Leben.

Wie groß sind die Überlebenschancen?

P(L) = 1/3*5/6 + 1/3*2/3 + 1/3*1/2 = 2/3 = 67%

Leitidee Zufall

Hölzchen ziehen

Leitidee Zufall

Hölzchen Ziehen Lösung

Ergebnisse und Ereignisse

Jemand bietet dir ein Würfelspiel an. Dazu sollen zwei Würfel gleichzeitig geworfen und die Augensumme gezählt werden. Du darfst dir vorher aussuchen, ob du mit der Augensumme 5, 6, 7, 8 oder mit allen anderen Augensummen gewinnen möchtest. Begründe deine Wahl.

1, 1 1, 2 1, 3 1, 4 1, 5 1, 6 2, 1 2, 2 2, 3 2, 4 2, 5 2, 6 3, 1 3, 2 3, 3 3, 4 3, 5 3, 6 4, 1 4, 2 4, 3 4, 4 4, 5 4, 6 5, 1 5, 2 5, 3 5, 4 5, 5 5, 6 6, 1 6, 2 6, 3 6, 4 6, 5 6, 6

1, 1 1, 2 1, 3

1, 4 1, 5 1, 6

2, 1 2, 2

2, 3 2, 4 2, 5 2, 6

3, 1

3, 2 3, 3 3, 4 3, 5

3, 6

4, 1 4, 2 4, 3 4, 4

4, 5 4, 6

5, 1 5, 2 5, 3

5, 4 5, 5 5, 6

6, 1 6, 2

6, 3 6, 4 6, 5 6, 6

Augensumme 2: 1,1 Augensumme 3 1,2 2,1 Augensumme 4 1,3 2,2 3,1

Augensumme 5 1,4 2,3 3,2 4,1 Augensumme 6 1,5 2,4 3,3 4,2 5,1 Augensumme 7 1,6 2,5 3,4 4,3 5,2 6,1 Augensumme 8 2,6 3,5 4,4 5,3 6,2

Augensumme 9 3,6 4,5 5,4 6,3 Augensumme 10 4,6 5,5 6,4 Augensumme 11 5,6 6,5 Augensumme 12 6,6

Leitidee Zufall

Aufgabe 1

Leitidee Zufall

Aufgabe 1 Lösung

Leitidee Zufall

Aufgabe 2

Leitidee Zufall

Aufgabe 2 Lösung

Leitidee Zufall Kombinatorik Produktregel, Fakultät In einer Schale befinden sich vier verschiedenfarbige Kugeln. Sie werden zu einer Kette aufgezogen.

Wie viele Möglichkeiten gibt es? (

Geordnete

Stichprobe ohne Zurücklegen) 4*3*2*1 = 4! = 24

Leitidee Zufall Kombinatorik Produktregel, Fakultät Wie viele verschiedene Zahlen lassen sich aus den Ziffern 1, 2, 4, 6, 8 bilden?

5! = 5*4*3*2*1 = 120 Werden n Objekte der Reihe nach angeordnet, so hat man n*(n-1)*(n 2)*...*2*1 Möglichkeiten dies zu tun.

Es gibt n! Permutationen.

Leitidee Zufall Kombinatorik Produktregel, Fakultät, Permutationen

Aufgabe 8

Leitidee Zufall Kombinatorik Produktregel, Fakultät, Permutationen

Aufgabe 8 Lösung

Stichwort Vokabeltest (vielleicht Latein??) Ein „eifriger“ Schüler lernt etwa 30% aller Vokabel. Beim Test werden 10 Vokabel zufällig ausgewählt. Berechne die Wahrscheinlichkeiten: P(er kann alle) = P(er kann höchstens 1 nicht) = 0,3^10=0,0000059 0,3^10 + 10*0,7*0,3^9=0,0001437 P(er kann nur genau 2) = P(er kann überhaupt keines)= P(er kann mehr als die Hälfte)= 45*0,3^2*0,7^8=0,2335 0,7^10=0,02825 P(kann 6) + P(kann 7) + … +P(kann alle)= 0,03675 + 0,009 + 0,0014 + 0,00014 + 0,0000059 = 0,04735

Erfahrungsgemäß ist nach 22 Uhr ein Drittel aller Autofahrer alkoholisiert unterwegs, 10% von ihnen haben obendrein keinen Führerschein. Insgesamt liegt der Anteil der Autofahrer ohne Führerschein bei etwa 5%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Autofahrer a) alkoholisiert und ohne Führerschein unterwegs ist? [0,03] b) nüchtern, aber ohne Führerschein fährt? [0,0166] c) korrekt (d.h. mit Führerschein und nüchtern) unterwegs ist? [0,65]

mit Führerschein ohne Führerschein Summe alkoholisiert Nicht alkoholisiert Summe 0,3000 0,6500 0,9500 0,0333 0,0167 0,0500 0,3333 0,6667 1,0000

Fortsetzung: Ein Polizist hält zwischen 23.30 Uhr und 0.00 Uhr willkürlich 6 Fahrzeuge auf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass a) alle Lenker betrunken sind? [0,00137] b) wenigstens ein Lenker nüchtern ist? [0,9122] c) gleich viel nüchterne wie betrunkene Lenker kontrolliert werden? [0,219478] d) mehr als ein Drittel der kontrollierten Lenker betrunken sind? [0,3196]

Anzahl betrunken 0 1 2 3 P(Anzahl betrunken) 0,01734153 0,08670765 0,195092212 0,260122949 4 5 6 0,22760758 0,136564548 0,056901895 Anzahl nüchtern 0 P(Anzahl nüchtern) 1,69351E-05 1 0,000338702 5 6 2 3 4 0,003048316 0,016257684 0,056901895 0,136564548 0,22760758

P(Anzahl betrunken) 0,3000 0,2500 0,2000 0,1500 0,1000 0,0500 0,0000 0,0173 0 0,0867 1 0,1951 2 0,2601 3 0,2276 4 0,1366 5 0,0569 6

P(Anzahl nüchtern) 0,2500 0,2000 0,1500 0,1000 0,0500 0,0000 0,0000 0 0,0003 1 0,0030 0,0163 2 3 0,0569 4 0,1366 5 0,2276 6