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FUNÇÃO
MODULAR
1
1. MÓDULO – Definição
Considerando a reta orientada que representa
todos os números reais, conhecida como eixo real,
com origem no ponto O, que é onde representamos
o número real 0 (zero).
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Dizemos que módulo de um número real x é a
“distância” do ponto que representa x no eixo
(afixo) à origem do eixo real.
3 3 (Comprimento do segmento de reta entre 0 e 3)
4 4 (Comprimento do segmento de reta entre 0 e -4)
0 0 (Comprimento do segmento de reta entre 0 e 0)
2
1. MÓDULO – Definição
Perceba que se o número é positivo o módulo é ele mesmo,
se é zero, o módulo é zero, se é negativo, o módulo é o
oposto do número.
Deste modo, podemos dizer que:
x, se x 0
Sendo x ϵ R, temos: x
x, se x 0
xele mesmo, se x 0se x for positivo ou zero
x
xo oposto dele, se x 0se x for negativo
3
1. MÓDULO – Definição
Exemplo 1) defina os módulos a seguir.
a) 3 3
b) 4 4
c) 0 0
d)
2 1 2 1, pois 2 1 é positivo.
e)
32
3 2
3 2, pois 3 2 é negativo.
Exemplo 2) Dê o valor da expressão: 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2
Cuidado! 2 2 é negativo!
2 2 2 2 2 2
4
1. MÓDULO – Definição
Exemplo 3) defina o módulo a seguir: 3x 6
ele mesmo, se ele for positivo ou zero
x
o oposto dele, se ele for negativo
3x 6, se 3x 6 0
3x 6
3x 6, se 3x 6 0
3x 6
6
x
3
x 2
3x 6, se x 2
3x 6
3x 6, se x 2 3x 6
6
x
3
x 2
5
1. MÓDULO – Definição
x, se x 0
Sendo x ϵ R, temos: x
x, se x 0
Exemplo 4) Aplique a definição de módulo para a sentença:
x 2 x 20
2
2
x
x
20
,
se
x
x 20 0
2
x x 20
2
2
x
x
20
,
se
x
x 20 0
x x 20 0
2
x1 5
x2 4
+ + +
+ + +
5 – – – – – – 4
5 x 4
x
6
1. MÓDULO – Definição
Agora que sabemos a parte positiva e a parte
negativa da sentença estudada, temos:
2
x x 20, se x 5 ou x 4
2
x x 20
2
x x 20, se 5 x 4
De modo resumido podemos dizer:
ela m esm a, se ela é positiva ou nula( 0)
sentença
o oposto dela, se ela é negativa( 0)
7
2. FUNÇÃO MODULAR
Chamamos de função modular toda função
definida pela forma: f x x
O que aplicando a definição de módulo se reduz a:
x, se x 0
f x x
x, se x 0
Observe a função:
2 x 6, se 2 x 6 0
f x 2 x 6
2 x 6, se 2 x 6 0
2 x 6, se x 3
f x 2 x 6
2 x 6, se x 3
2x 6
6
x
2
x3
8
3. FUNÇÃO MODULAR – Gráfico
EX.1) Construa o gráfico da função:
f : 0,1 R f x 1 2 x 1
2 x 1, se 2 x 1 0
2x 1
2 x 1, se 2 x 1 0
1
x
2
1
x
2
f : 0,1 R
9
3. FUNÇÃO MODULAR – Gráfico
1
1 2 x 1, se 2 x 1
f x 1 2 x 1
1
1 2 x 1, se 0 x
2
1
x 1
2
f x 1 2 x 1
x y
1/ 2 1
1 0
0 x
1
0
1
2
1
1
2
f x 1 2 x 1
x y
0 0
1 / 2 110
3. FUNÇÃO MODULAR – Gráfico
Ex.2) Construa o gráfico da função: f x x 2 6 x 9
x 6 x 9 x 2 x 3 3 x 3
2
2
2
2
f x x 6 x 9
2
f x
x 3
f x x 3
2
11
x 3, se x 3 0
f x x 3
x 3, se x 3 0
x3
x3
se, x 3
se, x 3
f x x 3
x y
f x x 3
x
y
3
0
2
1
4
1
3
0
12
x
y
2
1
3
0
x
se, x 3
1
y
3
0
4
1
0
2 3 4
se, x 3
13
EX.3) Esboce, num mesmo plano cartesiano, os
gráficos das funções definidas por f x x 3 e
g x x 3 e apresente os valores reais de x para
os quais: f x g x
x, se x 0
x
x, se x 0
x 3, se x 3 0
x 3
x 3, se x 3 0
x3
x3
14
x
0
x
x 3
x 3
x
3
x 3
3
0
se, x 0
se, 0 x 3
se, x 3
f x g x
f x g x
f x g x
x 3 x 3 x 3 x 3
x 3 x 3
15
se, x 0
se, 0 x 3
se, x 3
f x g x
f x g x
f x g x
x 3 x 3
x 3 x 3
x 3 x 3
x 3 x 3
x 3 x 3
x 3 x 3
3 3
2x 6
00
x
x3
x
16
x, se x 0
Se, x
x, se x 0
f x x 3
se, x 0
se, x 0
f x x 3
x y
f x x 3
x y
3
0
3
0
1
2
1 2
17
x 3, se x 3 0
Se, x 3
x 3, se x 3 0
x3
x3
g x x 3
se, x 3
se, x 3
g x x 3
x y
g x x 3
x y
3
0
2
1
4
1
3
0
18
f x x 3
se, x 0
se, x 0
x
y
x
y
0
3
0
3
1
2
1
2
g x x 3
se, x 3
1
se, x 3
1
x
y
x
y
0
2
3
0
2
1
3
4
1
3
0
1
2 3 4
19
Esboce o gráfico e determine o domínio e o
2
conjunto imagem da função: f x x 4 x .
x, se x 0
x
x, se x 0
f x x 4 x
2
se, x 0
se, x 0
f x x 4 x
2
f x x 4 x
2
20
se, x 0
se, x 0
f x x 4 x
x y
f x x 2 4 x
2
0
0
1 3
2 4
x
2 1
1
2
y
2 4
1 3
0 0
0
2
3
4
21
4. PROPRIEDADES DOS MÓDULOS
P1. x 0 para x real e x 0 x 0
P2. x a x a ou x a
P3. x y x y ou x y
P4. x y x y
P5. x y x y com y 0
P6.
2n
x
2n
x , para n N
*
P7. x a a x a
P8. x a x a ou x a
22
5. EQUAÇÃO MODULAR
Para entender o que é uma equação modular vamos
observar a situação abaixo:
Quais são os números que têm módulo igual a 2?
(neste caso queremos saber quais os números cuja distância até
o zero é 2)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Quais são os números que têm módulo menor que 2?
(neste caso queremos saber que números cuja distância até o
zero é menor que 2)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
23
5. EQUAÇÃO MODULAR
Para entender o que é uma equação modular vamos
observar a situação abaixo:
Quais são os números que têm módulo maior que 2?
(neste caso queremos saber que números cuja distância até o
zero é maior que 2)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
24
5. EQUAÇÃO MODULAR
Chamamos de equação modular toda equação
definida pela forma: x a
O que aplicando a definição de módulo se reduz a:
x, se x 0
x
x, se x 0
Substituindo essas sentenças
teremos, duas equações:
xa
ou
na
equação,
xa
x a
25
5. EQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 1) Resolva a equação 2x 3 7
2 x 3, se 2 x 3 0
2x 3
2 x 3, se 2 x 3 0
3
2 x 3, se x 2
2x 3
3
2 x 3, se x
2
2x 3
3
x
2
S 2,5
Substituindo essas sentenças na equação, teremos, duas equações:
2x 4
2x 3 7
ou 2 x 3 7
2x 7 3
10
x5
x
2
2x 3 7
2x 7 3
2 x 4 2
x 2
26
5. EQUAÇÃO MODULAR
Perceba o seguinte, a equação:
2x 3 7
Acabou se reduzindo a outras duas equações:
2x 3 7
ou
2 x 3 7
Assim podemos simplificar o processo, mas neste
caso, não podemos deixar de observar se as
respostas encontradas em cada equação verificam
a condição de existência de cada uma delas (ou
seja, se estão dentro do intervalo no qual elas
estão definidas).
27
5. EQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 2) Resolva a equação x 2 5 x 3 3
2
2
x 5 x 3, se x 5 x 3 0
2
x 5x 3 2
2
x
5
x
3
,
se
x
5x 3 0
Substituindo essas sentenças na equação, teremos, duas equações:
ou
x2 5x 3 3
x 2 5x 3 3
x2 5x 6 0
2
5 4 1 6 49
x
5 49
x' 6
2 1
x " 1
x 5x 0
x x 5 0
x5 0
x0
x5
2
S 1,0,5,6
28
5. EQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 3) Resolva a equação x 5 2x 7
Para resolver este tipo de equação modular vamos primeiro lembrar
de uma das propriedades estudadas anteriormente:
x y x y ou x y
Aplicando este conceito na nossa equação teremos:
ou
x 5 2x 7
x 5 2x 7
5 7 2x x
12 x
x 5 2 x 7
x 2x 7 5
3x 2
2
S ,12
3
2
x
3
29
5. EQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 4) Resolva a equação x x 12 0
2
Para resolver este tipo de equação modular, vamos primeiro efetuar a
seguinte substituição:
x m
Deste modo a equação se reduzirá a:
2
Agora basta fazer:
m m 12 0
12 4 1 12 49
1 49 1 7
x
2 1
2
x' 3
x " 4
x 3
x 4
x 3 ou x 3
x R
S 3,3
30
5. EQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 5) (UFT-2010) Resolva a equação x 2 x 1 5x 0
Para resolver este tipo de equação modular, vamos primeiro aplicar a
definição de módulo para cada uma das sentenças modulares que
aparecem na expressão:
x2
x 2, se x 2 0
x2
x 2 , se x 2 0
x 1, se x 1 0
x 1
x 1 , se x 1 0
x2
x 1
x 1
Vamos agora, definir que sentença utilizar para cada intervalo de
variação dos valores de x. Para isso construímos o quadro a seguir,
chamado de QUADRO SOMA:
31
5. EQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 5) (UFT-2010) Resolva a equação x 2 x 1 5x 0
x 1
1 x 1
x 2
x 2
2 x 1
3
x 1
2
x2
2x 1
1
2
se, 1 x 2
se, x 2
2 x 1 5 x 0
3 5x 0
2 x 1 5x 0
7 x 1
5 x 3
se, x 1
1
x
7
3
x
5
3x 1
1
x
332
5. EQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 5) (UFT-2010) Resolva a equação x 2 x 1 5x 0
Perceba que a equação dada se transformou em outras três, e cada
uma delas possui uma condição (intervalo de variação dos valores de
x).Vamos rever os resultados encontrados e estas condições:
1
Resp.: x
7
3
Resp.: x 0, 6
5
1
Resp.: x
3
Cond.: se, x 1
Cond.: se, 1 x 2
Cond.: se, x 2
CONCLUSÃO:
a resposta NÃO
atende a condição.
CONCLUSÃO: a
resposta ATENDE
a condição.
CONCLUSÃO:
a resposta NÃO
atende a condição
3
S
5
33
5. EQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 6) Resolva a equação x 2 2x 1 x 6 0
Para resolver este tipo de equação modular, vamos primeiro aplicar a
definição de módulo para cada uma das sentenças modulares que
aparecem na expressão:
x2
x 2, se x 2 0
x2
x 2 , se x 2 0
x2
1
x
2 x 1, se 2 x 1 0
2
2x 1
1
2 x 1 , se 2 x 1 0
x
2
Vamos agora, definir que sentença utilizar para cada intervalo de
variação dos valores de x. Para isso construímos o quadro a seguir,
chamado de QUADRO SOMA:
34
5. EQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 6) Resolva a equação x 2 2x 1 x 6 0
2 x 1
1
2 2x 1
x 2
x 2
3 x 1
x3
1
2
1
se, x
2
2x 1
2
3x 1
2
1
se, x 2
2
3x 1 x 6 0 x 3 x 6 0
4 x 5 0
x
5
4
3 0
x2
x R
se, x 2
3x 1 x 6 0
2x 7 0
7
x
2
35
5. EQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 6) Resolva a equação x 2 2x 1 x 6 0
Perceba que a equação dada se transformou em outras três, e cada
uma delas possui uma condição (intervalo de variação dos valores de
x).Vamos rever os resultados encontrados e estas condições:
5
Resp.: x
4
1
Cond.: se, x
2
CONCLUSÃO: a
resposta ATENDE
atende a condição.
7
Resp.: 3 0
Resp.: x
2
1
Cond.: se, x 2 Cond.: se, x 2
2
CONCLUSÃO:
não existe valor de
x.
5 7
S ,
5 2
CONCLUSÃO: a
resposta ATENDE
atende a condição
36
6. INEQUAÇÃO MODULAR
Para entender o que é uma inequação modular vamos
observar as situações abaixo:
Quais são os números que têm módulo menor que 2?
(neste caso queremos saber que números cuja distância até o
zero é menor que 2)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Quais são os números que têm módulo maior que 2?
(neste caso queremos saber que números cuja distância até o
zero é maior que 2)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
37
6. INEQUAÇÃO MODULAR
Podemos enunciar o que vimos através de duas
propriedades que já estudamos:
P7. x a a x a
P8. x a x a ou x a
38
6. INEQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 1) Resolva a inequação x 7
Neste caso, estamos nos perguntando quem tem módulo menor que
7, o que aplicando a propriedades estudada, resulta:
-7
0
7
7 x 7
S x R 7 x 7
39
6. INEQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 2) Resolva a inequação x 3
Neste caso, estamos nos perguntando quem tem módulo maior ou
igual a 3, o que aplicando a propriedades estudada, resulta:
-3
0
3
x 3 ou x 3
S x R x 3 x 3
40
6. INEQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 3) Resolva a inequação 2x 3 5
Neste caso, nos interessa que o módulo seja menor que 5, o que
aplicando a propriedades estudada, resulta:
5 2 x 3 5
Esta sentença é uma inequação simultânea (sistema de inequações)
do 1º grau, que pode se resolvida de modo direto:
5 3 2 x 3 3 5 3 Soma-se 3 a todos
os membros.
2 2 x 8
2 2x 8
2 2 2
1 x 4
divide-se todos os
membros por 2
S 1, 4
41
6. INEQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 4) Resolva a inequação 3x 5 1
Neste caso, nos interessa que o módulo seja maior ou igual a 1, o que
aplicando a propriedades estudada, resulta:
3x 5 1 ou 3x 5 1
Perceba que são duas sentenças, ambas inequações do 1º grau:
3x 5 1
3x 1 5
4
x
3
3x 5 1
3x 1 5
6
4
x
S x R x ou x 2
3
3
x2
42
6. INEQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 5) Resolva a inequação x 2 x 2
Neste caso, nos interessa que o módulo seja maior ou igual a 2, o que
aplicando a propriedades estudada, resulta:
x2 x 2 ou x2 x 2
Perceba que são duas sentenças, ambas inequações do 2º grau:
x x20
x x2 0
Raízes:
Raízes:
2
x2 x 2 0
7 x R
Est. do sinal:
+ + +
2
x2 x 2 0
x' 2
x ' 1
Est. do sinal:
+ + +
+ + +
+ + +
1
– – –
2
x 1 ou x 2
43
6. INEQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 5) Resolva a inequação x 2 x 2
Pronto, agora basta fazer a UNIÃO das duas respostas encontradas
(união por causa do “ou”):
x R
x 1 ou x 2
1
2
1
2
S x R x 1 ou x 2
44
6. INEQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 6) Resolva a inequação x 2 4 x 3 3
Neste caso, nos interessa que o módulo seja menor que 3, o que
aplicando a propriedades estudada, resulta:
3 x2 4 x 3 3
Perceba que são duas sentenças, ambas inequações do 2º grau:
3 x 2 4 x 3
x 4x 3 3
x2 4 x 6 0
x2 4 x 0
Raízes:
Raízes:
x 4x 6 0
12 x R
2
Est. do sinal:
- - -
2
x 4x 0
2
x' 0
x' 4
+ + +
+ + +
0
– – –
4
0 x4
Est. do sinal:
- - -
45
6. INEQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 6) Resolva a inequação x 2 4 x 3 3
Pronto, agora basta fazer a INTERSECÇÃO das duas respostas
encontradas (intersecção por causa do “e”):
x R
0 x4
0
4
0
4
S x R 0 x 4
46
6. INEQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 7) Resolva a inequação 2x 4 x 2 5
Neste caso, primeiro devemos definir cada um dos módulos:
2 x 4, se 2 x 4 0
2x 4
2 x 4, se 2 x 4 0
2 x 4, se x 2
2x 4
2 x 4, se x 2
x 2, se x 2 0
x2
x 2, se x 2 0
Agora, vamos construir um
QUADRO SOMA para que
possamos obter a sentença
resultante da soma dos módulos.
x 2, se x 2
x2
x 2, se x 2
47
6. INEQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 7) Resolva a inequação 2x 4 x 2 5
x2
2 x2
2x 4
2x 4
3x 2
x6
2
x 2
3x 2 5
3x 3 1
3x 3 x 1
x2
2
2x 4
3x 2
2
2 x 2
x2
x65
x 1 1
x 1
3x 2 5
3x 7
x 7/3
48
6. INEQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 7) Resolva a inequação 2x 4 x 2 5
Perceba que a inequação dada se transformou em outras três, e cada
uma delas possui uma condição (intervalo de variação dos valores de
x).Vamos rever os resultados encontrados e estas condições:
Resp.: x 1
Cond.: x 2
CONCLUSÃO:
faça a interseção dos
dois intervalos, e
perceba
que
a
resposta é VAZIO
(conjunto vazio).
Resp.: x 1
Resp.: x 7 / 3
Cond.: 2 x 2
Cond.: se, x 2
CONCLUSÃO: faça
a interseção dos dois
intervalos, e perceba
que resposta é:
CONCLUSÃO: faça
a interseção dos dois
intervalos, e perceba
que resposta é:
1 x 2
7
2 x
49 3
6. EQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 7) Resolva a inequação 2x 4 x 2 5
Agora basta fazer a UNIÃO dos intervalos encontrados.
1 x 2
7
2 x
3
1
2
2
1
7
3
7
3
7
S 1 x
3
50
6. INEQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 8) Resolva a inequação 2 x 3 x
Neste caso, primeiro devemos definir o módulo:
2 x 3, se 2 x 3 0
2x 3
2 x 3 , se 2 x 3 0
Agora, substitua na expressão
3
original o módulo por cada uma das
2 x 3, se x 2
sentenças obtidas, gerando assim
2x 3
2 x 3, se x 3 duas inequações, cada uma delas
2 com seu respectivo intervalo de
2 x 3 x 2 x 3 x variação (condição).
2x x 3
x3
2 x x 3
3 x 3
x 1
51
6. INEQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 8) Resolva a inequação 2 x 3 x
Perceba que a inequação dada se transformou em duas, e que você
já resolveu cada uma delas. E AGORA? Agora você precisa perceber
que cada uma dessas respostas possui uma condição (intervalo de
variação dos valores de x) e que você precisa “cruzar” os dois:
2x 3 x
2x x 3
x3
3
Cond.: x
2
CONCLUSÃO: fazendo
a interseção dos dois
intervalos:
3
2
x3
2 x 3 x
2 x x 3
3 x 3
x 1
3
Cond.: x
2
CONCLUSÃO: fazendo
3
a interseção dos dois
1 x 52
intervalos:
2
6. EQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 8) Resolva a inequação 2 x 3 x
Agora basta fazer a UNIÃO dos intervalos encontrados.
3
1 x
2
3
x3
2
3
2
1
3
2
1
3
3
S 1 x 3
53