Transcript petrofizika - propusnost

petrofizika - propusnost
PROPUSNOST STIJENE
 Propusnost je općenito mjera
sposobnosti ("kapaciteta") nekog
medija (napr. cijev, porozna stijena)
da omogući gibanje, protjecanje fluida
kroz taj medij.
 Do gibanja dolazi uslijed tlačnog
gradijenta, a smjer protoka je od
većeg prema manjem tlaku.
1
petrofizika - propusnost
Početkom 19. stoljeća, izvedeni su osnovni
izrazi (Navier, Stokes), koji opisuju gibanje
fluida u cijevima (raspodjela brzina čestica
fluida uz različite režime - laminarni ili
turbulentni - protok, itd.)
2
petrofizika - propusnost
Za razliku od cijevi, protok fluida u poroznom mediju
odvija se kroz labirint međusobno povezanih pora, tj.
kapilara s naglim promjenama promjera, pa opis
protoka na ovoj mikroskopskoj razini, analogan
onom u cijevima, nije praktičan.
3
petrofizika - propusnost
Henry Darcy je, na temelju rezultata
eksperimentalnih studija protjecanja vode
kroz pješčane filtre gradskog vodovoda,
formulirao i 1856. godine objavio
zakonitost protoka fluida kroz porozni
medij na makroskopskoj
razini.
p
p
1
2
q 
V
t
4
petrofizika - propusnost
Darcy je ustanovio kako veličina
volumetrijskog protoka vode, q, kroz
vertikalni pješčani filter površine presjeka
protjecanja, A, i duljine, L, izravno ovisi o
razlici visina stupaca vode ulaznog i
izlaznog vodenog manometra,  h  h  h
1
2
Drugim riječima, protok je izravno
proporcionalan razlici visina,
q
h
što je matematički opisano izrazom:
q C
A h
L
Skica Darcyevog eksperimentanog uređaja za
mjerenje protoka vode kroz pješčani filter.
5
petrofizika - propusnost
Konstanta proporcionalnosti, C, u ovisi o
A h
q C
1. Karakteristikama pojedinog poroznog medija,
L
i
2. Transportnim svojstvima fluida, tj. o veličini unutrašnjeg
trenja u fluidu, dakle o viskoznosti fluida.
U daljnja razmatranja prikladno je uvesti parametar
volumetrijski tok ili fluks, u (također i: površinska,
superficial, brzina), koji je omjer volumetrijskog protoka i
površine, normalne na smjer protjecanja fluida:
u 
q
A
m s 
q
A
q
6
petrofizika - propusnost
Intersticijalna ili linearna brzina fluida u
poroznom mediju je omjer
volumetrijskog toka i poroznosti:
v 
u


(A) Odnos volumetrijskog toka i protoka
A1
q1
q
u1
q1
u2
q2
A2
q2
A
A1 > A2
Ako je
tada je
Uvrštavanjem volumetrijskog toka u
prijašnji izraz dobije se originalna
Darcyjeva jednadžba:
u  C
h
(B) Odnos volumetrijskog toka i brzine
1  2
q
q
v
L
u2 = u1
q2 < q1
u

u2 = u1
v2 > v1
7
petrofizika - propusnost
Na temelju kasnijih eksperimentalnih opažanja ustanovljeno je
da je volumetrijski tok izravno proporcionalan gustoći, r, fluida,
a obrnuto proporcionalan viskoznosti fluida, m, tj. u ~ r / m
pa se originalna Darcyeva jednadžba mijenja u
u  C
r h
m L
pri čemu sada nova konstanta proporcionalnosti, C’, sadrži utjecaj
stupca fluida i svojstva porozne stijene na veličinu volumetrijskog
fluksa, odnosno protoka.
U gravitacijskom polju Zemlje, sila kojom hidrostatski stupac fluida
djeluje na jedinicu površine jednaka je umnošku visine stupca, gustoće
fluida i ubrzanja sile teže i naziva se tlakom
 p  tlak  r  h g
8
petrofizika - propusnost
Uvrštenjem gravitacijske konstante dobije se
u  k
p
m L
Nova konstanta proporcionalnosti, k, ovisi sada samo o
svojstvima poroznog medija (stijene), te je
karakteristika stijene, koja se naziva propusnost
stijene.
9
petrofizika - propusnost
Izraz
u  k
nije sasvim u redu, jer ne vrijedi za sve slučajeve, odnosno
uvjete protjecanja u poroznoj stijeni. Razlog tome je što
sila teže djeluje uvijek samo u jednom smjeru: vertikalno
prema središtu Zemlje, dok sila, (razlika tlaka), odgovorna
za protok fluida može djelovati u bilo kojem smjeru.
p
m L
sila
q2
L
g ra v it a c ija
h
h
L
q1
sila
U kupna sila =
p + rgh
U kupna sila =
p - rg h
Odnosi sila pri protoku u smjeru i nasuprot smjeru djelovanja gravitacije
10
petrofizika - propusnost
Protok fluida je dakle funkcija efektivne sile, koja je
vektorska suma nametnute sile u smjeru protoka i sile
gravitacije. Efektivna sila naziva se potencijal protoka, F,
koji ima istu dimenziju kao i tlak, a definiran je kao
F  p  r gh
gravitacijski član
Potencijal protoka u nekoj točki u poroznom mediju jednak je
razlici tlaka u toj točki i tlaka hidrostatskog stupca fluida, čija
je vertikalna udaljenost do neke referentne ravnine jednaka
h.
11
petrofizika - propusnost
Odnosi tlaka i potencijala protoka za različite smjerove protjecanja
fluida u poroznom mediju s obzirom na utjecaj gravitacije:
Ako se razlika potencijala računa kao F  Fizlaz  Fulaz
uvijek je negativna (tlak se povećava u smjeru suprotnom od smjera
protoka).
12
petrofizika - propusnost
Darcyjeva jednadžba protoka u poroznom mediju, koja
vrijedi za bilo koji smjer protoka u odnosu na smjer
djelovanja sile teže je
u  
k
F 2  F1 
m
L
odnosno
q  
k
A
m
L
F 2  F1 
13
petrofizika - propusnost
Pri horizontalnom protoku, vektor pokretne sile
okomit je na vektor gravitacije te su vrijednosti
potencijala protoka i tlaka iste.
Opća Darcyjeva jednadžba za linearni
horizontalni protok fluida (tekućine) je zato
q   k
1 A
m L
 p2 
p1 
14
petrofizika - propusnost
Diferencijalni oblik Darcyjevog zakona
SVRHA: U diferencijalnom obliku, zakon postaje primjenljiv za
sve fluide i u drugim sustavima/geometrijama protjecanja,
napr. radijalnoj.
F2
F1
q
q
l
0
L
U linearnom sustavu konačne duljine
na toj duljini,
1
u   k
i
2
1
m
L , za bilo koje dvije točke (pozicije)
vrijedi
F 2  F1
2

1
  k
1 F
m 
15
petrofizika - propusnost
Budući da je općenito
dy
 lim
dx
x 0
y
x

f
lim
x 0
 x  x  
f
x
x
diferencijalni oblik Darcyjeve jednadžbe je
u   k
dF
d
je
1 dF
m d
gradijent potencijala
16
petrofizika - propusnost
Poopćena Darcyjeva jednadžba za protok fluida kroz porozni
medij vrijedi samo ako su ispunjeni slijedeći uvjeti:
1.
Porozni medij je potpuno ispunjen fluidom koji protječe,
2.
Nema fizikalno-kemijskih interakcija između fluida i
poroznog medija (bilo kakva interakcija, napr. djelomično
otapanje karbonatne stijene) mijenja karakter poroznog
medija, tj. propusnost, tijekom protjecanja,
3.
Režim protoka fluida je laminarni, tj. veličina protoka
linearno ovisi o gradijentu tlaka (potencijala), za razliku od
turbulentnog protoka, kada nema te linearnosti.
Pri ovakvim uvjetima određena propusnost je
apsolutna propusnost
poroznog medija.
17
petrofizika - propusnost
Veličine i jedinice propusnosti
Uvrštenjem odgovarajućih SI
jedinica dobije se
Iz Darcyjeve jednadžbe
propusnost poroznog medija je
definirana kao:
k 
q
L
A
F 2  F1 
m
k 
m
3
m
s
Jedinica za propusnost ima dakle dimeziju površine,
1
m
2

1
N /m
 N /m  s  m
2
2
2
k   m 
a definicija propusnosti je:
"Propusnost od 1 m2 omogućava protok od 1 m3/s
fluida viskoznosti 1 Pa s kroz površinu protjecanja
od 1 m2 uz tlačni gradijent od 1 Pa/m ".
18
2
petrofizika - propusnost
Tradicionalna jedinica za propusnost, izvedena u starijem c-g-s
(centimetar-gram-sekunda) sustavu jedinica,
je 1 darcy
[D], definirana kao
k 
 cm 3 


 cm   cP 
s
 cm 2   A tm 



D 
 cm 2 


tj. neki porozni medij ima propusnost od 1 darcy, kada
fluid viskoznosti od 1 cP, koji potpuno ispunjava pore
medija, teče kroz taj medij uz protok od 1 cm3/s kroz
površinu presjeka od 1cm2 te pri tlačnom gradijentu od
1 Atm/cm.
19
petrofizika - propusnost
Većina ležišnih stijena ima propusnost mnogo manju od 1 D, tako
da je u praksi prihvaćena jedinica za propusnost milidarcy [mD] :
1 Darcy = 1000 milidarcy = 1000 mD
Odnosi između starijih i SI jedinica za propusnost su slijedeći:
1D
= 9.869 ×10-9 cm2
= 9.869 ×10-13 m2 (  1mm2 = 10-12 m2)
1 mD = 9.86 ×10-16 m2 = 9.86×10-4 mm2
1 m2 = 1.01325 ×1015 mD
1 mm2 = 1.01325 ×103 mD  1×10-12 m2
Očito je da je 1 darcy skoro jednak kvadratu mikrometra, tako da se u većini
inženjerskih računa u SI sustavu može rabiti aproksimacija 1 D 1mm2 .
20
petrofizika - propusnost
Primjene Darcyjeve jednadžbe
Matematički oblik jednadžbi za računanje protoka u
stvarnim uvjetima ovisi o karakteristikama ležišne
stijene i fluida, koje uključuju:

Vrste fluida prema stlačivosti

Geometriju ležišta

Režim protjecanja fluida

Broj fluida u protoku
21
petrofizika - propusnost
Vrste ležišnih fluida
(a) nestlačivi
(b) slabostlačivi
(c) stlačivi fluidi
Stlačivost (kompresibilnost) tvari
opisana je koeficijentom stlačivosti:
1  V 
c   

V  p T
ili
1  r 
c   

r  p T
22
petrofizika - propusnost
 Vrste ležišnih fluida
Nestlačivi fluid - ne mijenja
volumen promjenom tlaka, tj.
V
p
 0, odnosno
r
p
0
(Ne postoji u stvarnosti međutim, uz
pretpostavku nestlačivosti fluida, moguće
je relativno jednostavno izvesti dovoljno
točne matematičke izraze)
23
petrofizika - propusnost
Vrste ležišnih fluida
Slabo stlačivi fluid su sve tekućine - promjena
volumena tekućina s tlakom je mala, zato
1  V 
c   

V  p T
c  p ref

p ref
 V
 p   ln 
V
 ref
V  V ref e
V
p
c
 p ref  p 




 dV
c p  
 dp
V ref
ili
e
c
 p ref  p 

V
V ref
V  V ref 1  c  p ref  p  


24
petrofizika - propusnost
Vrste ležišnih fluida
Stlačivi fluidi jako mijenjaju volumen s tlakom (svi plinovi)
Promjene volumena plina s tlakom mogu se opisati
1. Jednadžbom stanja realnog plina: V 
Z nR T
p
2. Volumnim faktorom plina: B g
 Vg

V
 g ( sc )
3. Koeficijentom stlačivosti plina: c g
Cg plina ovisi o tlaku:
cg

Z p sc T R
 

p T sc
n
1  V g 
 


V g  p T
1  dZ 

 

p Z  dp  T
1
25
petrofizika - propusnost
Vrste ležišnih fluida
G u s toć a
S tla čivi flu id i
S la b o stla čivi flu id i
N e stla čivi flu id i
T la k
26
petrofizika - propusnost
Geometrija ležišta - određuje geometriju protjecanja fluida.
najinteresantnije u naftnoj praksi
(a) linearna geometrija
Površina presjeka konstantna, a
ravne prosječne strujnice fluida
su paralelne
(b) radijalna geometrija
Strujnice fluida u dvije dimenzije
konvergiraju prema zajedničkom
središtu, površina presjeka
protjecanja nije konstantna
(c) sferna geometrija
Strujnice fluida usmjerene su
prema zajedničkom središtu u tri
dimenzije
27
petrofizika - propusnost
Geometrija ležišta
L in e a rna
R a d ija ln a
S fe rič n a
28
petrofizika - propusnost
Režimi protjecanja fluida – (Međuovisnost protoka
fluida i raspodjele tlaka u ležištu kao funkcije vremena)
 Ustaljeni protok (engl. steady-state flow),
 Neustaljeni protok, (engl. unsteady-state
flow, često i transient flow)
 Pseudoustaljeni protok fluida,
(engl. pseudosteady-state flow ili
semisteady-state flow,
katkada i quasi steady-state flow)
 p 

  0
 t i
 p 

  f (i , t )
 t 
 p 

  co n st .
 t i
29
petrofizika - propusnost
Režimi protjecanja fluida
Ustaljeni protok
Pseudoustaljeni protok
Neustaljeni protok
Vrijeme
30
petrofizika - propusnost
1.
Linearni protok nestlačivog fluida (tekućina)
(U izvodima jednadžbi protjecanja fluida pretpostavljeni su ustaljeni
(steady-state) uvjeti protjecanja)
q   k
A dF
F2
F1
m d
q
q
0
l
L
separacija varijabli
integriranje
q
A
L
d
0
 k
1
m
F2

dF
q
A
 L  0
 k
1
m
F 2  F1 
F1
31
petrofizika - propusnost
1.
Linearni protok nestlačivog fluida (tekućina)
Konačna jednadžba za linearni
protok nestlačivog fluida
q
q
l
0
bilo koji smjer:
q  k
F2
F1
A 1
L m
F 2  F1 
 k
L
A 1
L m
F
za horizontalni protok:
q  k
A 1
L m
 p1 
p2  
k
A 1
L m
p
32
petrofizika - propusnost
2.
Linearni protok slabo stlačivog fluida (tekućina)
q
q
V  V ref 1  c  p ref  p  


q  q ref 1  c  p ref  p  


F2
F1
Promjena volumena s tlakom ekvivalentna
promjeni protoka s tlakom
l
0
L
q ref 1  c  p ref  p  
k dp



 
A
A
m d
q
Konačne jednadžbe za linearni protok slabo stlačivog fluida
Za protok pri ulaznom tlaku:
q1 
kA
cm L
ln 1  c  p1  p 2  
Za protok pri izlaznom tlaku:
q2 
kA
cm L
ln 1  c  p 2  p1  
33
petrofizika - propusnost
3.
Linearni protok stlačivog fluida (plin)
q
dV
dt
dn
pA
dt
 
k
q
q
 nRT 
d

p



dt
RT
F2
F1
IDEALNI PLIN: Protok uporabom JS idealnog plina
q 
dp
RT
dn
p
dt
L
maseni protok
RT dn
m d
l
0
A
dt
L
d
0
 
k
m
p2

p dp
p1
Konačna jednadžba za linearni protok stlačivog fluida (idealni plin) pri tlaku p
q  
k
m
2
2
A  p 2  p1 


L  2p 
34
petrofizika - propusnost
3.
Linearni protok stlačivog fluida (plin)
Linearni protok stlačivog fluida
(idealni plin) pri srednjem tlaku
Srednji, prosječni tlak je
p 
p1  p1
Iz
pq  pq
 
m
2
2
A  p 2  p1 


L
2

q  k
q
q
l
0
L
maseni protok
2
k
F2
F1
 p 2  p1 
k
q 



2
m


A
m L
 p2 
A
L

 p 2  p1 
p 2  p1  

2


p1 
35
petrofizika - propusnost
3.
Linearni protok stlačivog fluida (plin)
REALNI PLIN -Volumen definiran JS realnog plina:
V 
nZ R T
p
pq
ZT

 p sc   T 
q  q sc Z 


p
T

  sc 
p sc q sc
T sc
p2
 p
 q sc Z  sc
A
 p
q
 T

  T sc
 q sc p sc T 
 p
dp

d   
 Z mg
 k A T sc  0
L
 1 
k dp


 
m d
 A 
p1
Jednadžba za linearni protok realnog plina pri
S.C. (STP):
k A  p1  p 2  T
sc
2
q sc 
2
p sc L Z m g
T
36
petrofizika - propusnost
Varijacije propusnosti u linearnom sustavu protjecanja fluida
U prirodi su ležišta rijetko homogena; ležište se najčešće sastoji od
slojeva ili blokova različite građe i/ili svojstava.
Zato u mnogim podzemnim geološkim formacijama ležišne stijene
pokazuju manji ili veći stupanj anizotropije, drugim riječima, postoje
prostorne varijacije propusnosti.
Homogenost = svugdje ista građa, svojstva, napr. litologija
Izotropija = ista svojstva u svim smjerovima
Sa stanovišta prostornog razmještaja, geometrija
anizotropnog poroznog medija može uključiti serijske ili
paralelne promjene propusnosti.
37
petrofizika - propusnost
4.
Linearni protok - Serijske promjene propusnosti
Razmatra se dio ležišta sa segmentima različite duljine (debljine) i
različitih propusnosti i  Li  Li 1
N
L 

FL
F0
i
1
u 
q
A
 
ki  d F 


m  d i
k1
L0
L1
k2
L2
ki
Li - 1
Li
L
q
d
ki
 
A
m
dF
A
 d
q 
 
m
 ki
0
kN -1
LN - 1
kN
LN
FL

dF
F0
38
petrofizika - propusnost
4. Linearni protok - Serijske promjene propusnosti
Rezultat prethodnih matematičkih manipulacija je
q

i 1
FL
F0
N
i
 
ki
A
m
F
Za taj isti anizotropni medij
može se napisati valjana
Darcyjeva jednadžba za ukupni
linearni protok kroz razmatrani
segment na slijedeći način
q  k
A F
m
L
k1
L0
k
L1
k2
L2
ki
Li - 1
Li
kN -1
LN - 1
kN
LN
= prosječna, srednja ili efektivna
propusnost (engl. average permeability a
katkada i apparent permeability.
Napomena: apparent, ovisno o kontekstu
može značiti prividan ali i očit, stvarni,
opažan, mjeren. U ovom slučaju radi se o
drugom značenju!)
39
petrofizika - propusnost
4.
Linearni protok - Serijske promjene propusnosti
Izjednačavanjem
N
q

i 1
i
 
ki
FL
F0
A
m
F
k1
k2
ki
kN -1
kN
i
q  k
A F
m
L0
L1
L2
Li - 1
Li
LN - 1
LN
L
N
dobiva se izraz za prosječnu
propusnost formacije pri
serijskim promjenama
propusnosti:
k


i
i 1
N

i 1

i
ki
L
N

i 1
i
ki
40
petrofizika - propusnost
4.
Linearni protok - Paralelne promjene propusnosti
Naftna ležišta često
se sastoje od
paralelnih slojeva
različite propusnosti,
međusobno
odijeljenih
nepropusnom
barijerom, tako da
nema komunikacije
fluida (engl.
crossflow) između
slojeva.
p1
p2
q1
q2
k1
h1
k2
h2
k3
h3
q3
L
41
petrofizika - propusnost
4.
Linearni protok - Paralelne promjene propusnosti
p1
U svim slojevima
protjecanje fluida
odvija se pri istom,
konstantnom
tlačnom gradijentu,
p2
q1
q2
k1
h1
k2
h2
k3
h3
q3
 p  p 2  p1
L
Uz istu širinu slojeva, a , veličina protoka kroz svaki individualni
sloj ovisi o debljini, hi i propusnosti, k i sloja:
qi  k i
 a hi 
mL
p
42
petrofizika - propusnost
4.
Linearni protok - Paralelne promjene propusnosti
p1
Ukupni protok jednak je zbroju
protoka kroz pojedine slojeve:
q  q1  q 2  q 3 
 qN
p2
q1
q2
k1
h1
k2
h2
k3
h3
q3
L
S druge strane, proporcionalan je
prosječnoj propusnosti svih slojeva, k
i njihovoj ukupnoj debljini h
q k
a h
mL
p
N
h
h
i
i 1
k  ?
43
petrofizika - propusnost
4.
Linearni protok - Paralelne promjene propusnosti
Uvrštavanjem q i  k i
u
 a hi 
mL
q  q1  q 2  q 3 
p1
p
q1
 qN
a h
i kombinacijom s q  k
p2
mL
q2
k1
h1
k2
h2
k3
h3
q3
p
L
prosječna (efektivna) propusnost paralelno naslaganih slojeva je:
Ista širina, različita debljina;
A i = a hi
Različita širina i debljina;
Ai = ai hi
N
k 
k
N
i
hi
i 1
N

i 1
k 
hi
k
i
Ai
i 1
N

i 1
Ai
44
petrofizika - propusnost
5.
Radijalni protok nestlačivog fluida (tekućina)
Razmatra se
protok fluida kroz
segment poroznog
medija anularnog
(prstenastog)
oblika, čije
dimenzije
određuje razlika
između dvaju
koncentričnih
cilindara (valjaka)
iste visine ili
debljine.
Radijalni protok fluida iz ležišta u bušotinu
re
Fe
rw
re
Fw
h
rw
h
= visina (debljina) valjka, tj. sloja
Fw
= potencijal pri
rw
rw
= polumjer (radius) bušotine
Fe
= potencijal pri
re
re
= drenažni radius (radius iscrpljivanja).
F  F e  F w
Fe  Fw
45
petrofizika - propusnost
5. Radijalni protok nestlačivog fluida (tekućina)
Pri radijalnom protoku povećanjem
udaljenosti
re
Fe
rw
re
Fw
h
od točke većeg potencijala
prema nižem potencijalu
F e pri re
F w pri rw
a u smjeru protoka smanjuje se
tako da je
d
rw
r
Volumetrijski protok kroz bilo
koji radius definiran je kao
  dr
u 
q
A
 
k dF
m dr
Potencijal (tlak) povećava se u istom smjeru kao i
radius – zato plus (+) umjesto minusa !
46
petrofizika - propusnost
5.
Radijalni protok nestlačivog fluida (tekućina)
u 
q
k dF
 
re
m dr
A
Fe
rw
re
Fw
h
Površina presjeka je površina
plašta cilindra,
q
2 r h

rw
A  2 r h
k dF
dalje
m dr
- odgovarajući integrali:
separacija varijabli:
q
dr
r
 k
2 h
m
dF
matematička “mašinerija”
re
 dr
q 
 r
 k
2 h
m
rw
x
2



x
1
dx
x
 ln x 2  ln x 1
Fe

dF
Fw

 ln 

x2
x1



47
petrofizika - propusnost
5.
Radijalni protok nestlačivog fluida (tekućina)
Konačni izraz za radijalni
protok nekompresibilnog fluida
re
Fe
rw
re
Fw
h
rw
(a) za bilo koji smjer protjecanja
q
 k
2 h
m
F e  F w 
l n  re rw 
(b) za horizontalno protjecanje
q
 k
2 h
m
 pe 
l n  re
pw 
rw 
48
petrofizika - propusnost
6.
Radijalni protok slabostlačivog fluida (tekućina)
Izraz za protok slabostlačivog fluida
uvrstiti u radijalnu jednadžbu:
re
Fe
rw
re
Fw
h
rw
q ref 1  c  p ref  p  
k dp



2 r h
m dr
q ref
matematička mašinerija:
= protok pri referentnom tlaku
Konačni izraz:
integrali:
re
pe
q ref m  d r

dp
 

k 2 r h  r
 1  c  p ref  p 
r
w
pw
q ref




 1  c  p e  p ref
k
h
 ln 


 re  
 1  c  p w  p ref
m
c
ln

 

 rw  
49


 
petrofizika - propusnost
6.
Radijalni protok slabostlačivog fluida (tekućina)
Kada se za referentni tlak odabere
dinamički tlak na dnu bušotine, p w
re
Fe
rw
re
Fw
h
rw




k
h
 ln 1  c  p  p  
q  
e
w 


 re  
 m c ln   

 rw  
Pri računanju proizvodnje nafte pri standardnim, površinskim uvjetima,
qo




k h

 ln 1  c  p  p  

o
e
w 


 re  
 m o c o B o ln   

 rw  
jer je
qo
Bo 
q
qo
50
petrofizika - propusnost
7.
Radijalni protok stlačivog fluida (plin)
Izvod jednadžbi analogan onom za
linearni protok plina
re
Fe
rw
re
Fw
h
IDEALNI PLIN:
rw
Izotermni volumetrijski protok
idealnog plina kroz porozni
medij pri nekom tlaku p je:
q  k
h
m

pe  pw
2
2

p ln  re rw 
radijalni protok idealnog plina
pri srednjem tlaku je:
Uzevši u obzir da je
 p 22  p12 

 
2


q  k

 p  p1 
p 2  p1   2

2


2 h
m
 p2 
ln  re
p1 
rw 
51
petrofizika - propusnost
7.
Radijalni protok stlačivog fluida (plin)
REALNI PLIN:
re
Protok realnog plina kroz radius
Fe
rw
re
r
Fw
može se izračunati iz protoka plina
mjerenog pri standardnim p,T-uvjetima
pomoću volumnog faktora plina Bg pri
tlaku p
p sc T
Bg  Z
p T sc

p sc T 
qB g  q  Z

 p T sc 
h
rw
Supstitucijom u radijalni oblik
Darcyjeve jednadžbe dobije se :
q
Z p sc T
 2  rh  p T sc
Uzevši u obzir da je
 
k dp
m dr
52
petrofizika - propusnost
7.
Radijalni protok stlačivog fluida (plin)
REALNI PLIN:
re
 Z m p sc T
q 
  2 h  k T
sc

  dr
 
 
r

r
pe

pdp 
pw
re
Fw
Jednadžba za protok realnog plina
u tlačnom području od 0 do ~130
bar
re
Fe
rw
h
rw
1
p

2
2
w
 pe
2

w
kh T sc  p w  p e
2
q
Z m p sc T
  h  k T sc
 re 
2
2
ln 
  pw  pe
 rw 
q 
2

 re 
p sc T  Z m  ln 

r
w 

53
petrofizika - propusnost
7.
Radijalni protok stlačivog fluida (plin)
REALNI PLIN:
re
Fe
rw
re
Fw
Jednadžba za protok realnog plina
u području tlakova > od ~130 bar
q 
h
rw
k h  T sc  p w  p e 
 re 
p sc T  Z m / p  ln 

r
w 

p 
 p w2  p e2 


2


54
petrofizika - propusnost
8. Varijacije propusnosti u radijalnom sustavu protjecanja fluida
(a) Radijalni protok uz paralelne promjene propusnosti
Veliki broj formacija naftonosnih
stijena sastoji se od slojeva
različite debljine i propusnosti, iz
qN
kN
hN
qi
ki
hi
polumjera. Promjene propusnosti
q2
k2
h2
su na vertikalnoj koordinati, koja
q1
k1
h1
kojih ležišni fluid radijalno utječe
u zajedničku bušotinu, uz isti,
zajednički tlačni gradijent,
mjeren od istog drenažnog
odgovara dubini.
55
petrofizika - propusnost
8. Varijacije propusnosti u radijalnom sustavu protjecanja fluida
(a) Radijalni protok uz paralelne promjene propusnosti
Protok fluida je horizontalni te je
gradijent potencijala na udaljenosti
od re do rw jednak gradijentu tlaka,
 F   p i isti je za sve slojeve
Protok fluida u pojedinom sloju, qi,
je različit jer ovisi o propusnosti,ki
,
i debljini,hi sloja.
qN
kN
hN
qi
ki
hi
q2
k2
h2
q1
k1
h1
Ukupni protok fluida iz bušotine, q
N
q  q1  q 2 
 qN 
q
i 1
i
N
h  h1  h 2 
 hN 
h
i
i 1
56
petrofizika - propusnost
8. Varijacije propusnosti u radijalnom sustavu protjecanja fluida
(a) Radijalni protok uz paralelne promjene
propusnosti
Ukupni protok prema radijalnoj
jednadžbi fluida je
N
q


i 1
Prosječna propusnost je
N
2  k i hi  p
k 
m ln  re rw 
I 1
q

m ln  re rw 
N
k
i 1
i
h
kN
hN
qi
ki
hi
q2
k2
h2
q1
k1
h1
pa je ukupni protok
moguće izraziti na drugi
način kao
,
2  p
k
hi
qN
i
hi
q 
2 k h
m l n  re rw 
p
57
petrofizika - propusnost
8. Varijacije propusnosti u radijalnom sustavu protjecanja fluida
(a) Radijalni protok uz paralelne promjene propusnosti
Izjednačavanjem jednadžbi i kraćenjem dobiva se
izraz za prosječnu propusnost paralelnih slojeva u
radijalnom protoku
N
2  p
k
i
hi
i 1
m l n  re rw 

2 k h
,
m l n  re rw 
p
qN
kN
hN
qi
ki
hi
q2
k2
h2
q1
k1
h1
N
k 
k
i 1
i
hi
Identično
linearnom
slučaju !
h
58
petrofizika - propusnost
8. Varijacije propusnosti u radijalnom sustavu protjecanja fluida
(b) Radijalni protok uz serijske promjene propusnosti
Tijekom izrade bušotine isplaka u
manjoj ili većoj mjeri prodire u pore
stijene, gdje se krute čestice iz
isplake talože (tzv. isplačni "kolač";
engl. mud cake), smanjujući porni
volumen, i dalje, propusnost stijene.
kd
k
h
,
Propusnost oštećene pribušotinske
zone znatno je manja od originalne
propusnosti ležišne stijene, tako da
je to u praksi najčešći slučaj serijske
promjene propusnosti uz radijalnu
geometriju strujanja fluida iz ležišta
u bušotinu
rw
rd
re
pw
pe
k
kd
pd
h
59
petrofizika - propusnost
Varijacije propusnosti u radijalnom sustavu protjecanja fluida
(b) Radijalni protok uz serijske
promjene propusnosti
U svrhu izvoda jednadžbi za
radijalni protok fluida uz serijske
promjene propusnosti te izraza za
prosječnu propusnost, k ,
razmatra se segment ležišne
,
stijene konstantne debljine
h,
koji uključuje anularni segment
oštećene zone od rw do rd
propusnosti k d i segment re
neoštećene stijene, od r do r ,
d
e
.
propusnosti k , pri čemu je k  k
d
kd
k
h
rw
rd
re
pw
pe
k
kd
pd
h
60
petrofizika - propusnost
Varijacije propusnosti u radijalnom sustavu protjecanja fluida
(b) Radijalni protok uz serijske
promjene propusnosti
kd
Ukupna razlika tlaka u sustavu jednaka
je zbroju tlačnih gradijenata
 pe 
pw  
 pe 
 pe 
pw  
k
pd    pd  pw 
h
rw
1 q m l n  re rw 
k
rd
re
2 h
pw
pe
kd
k
1. q m l n  re rw 
k
2 h

1 q m l n  re rd
k
2 h


pd
h
1 q m l n  rd rw 
kd
2 h
61
petrofizika - propusnost
Varijacije propusnosti u radijalnom sustavu protjecanja fluida
(b) Radijalni protok uz serijske promjene
propusnosti
kd
Uređenjem gornjeg izraza i rješenjem po
dobije se da je prosječna propusnost pri
radijalnom protjecanju uz serijske promjene
propusnosti dvaju segmenata
k 
k
h
k d k e ln  re rw 
k d ln  re rd

 k ln  rd rw 
rw
rd
re
pw pd
pe
k
kd
h
62
petrofizika - propusnost
8. Varijacije propusnosti u radijalnom sustavu protjecanja fluida
(b) Radijalni protok uz serijske
promjene propusnosti
kd
Pri izvodu odgovarajuće jednadžbe
za protok fluida treba početi od
diferencijalnog oblika radijalne
jednadžbe
2 h
qm
dp 
k
 dr r 
h
k
rw
te je konačni izraz za radijalni
horizontalni protok fluida uz serijske
promjene propusnosti
q 
2 h  p e  p w 
rd
re
pw
pe
k
kd
pd
h
 1

1
m
ln  rd rw  
ln  re rd  
k
 kd

63
petrofizika - propusnost
Eksperimentalno određivanje propusnosti
Tijekom eksperimenta protjecanja plina ili tekućine poznate
viskoznosti kroz jezgru poznatih dimenzija, mjere se volumeni
fluida u jedinici vremena te pripadni tlačni gradijent. Ovi
eksperimentalni podaci, uvršteni u Darcyjevu jednadžbu za
protok fluida omogućuju računanje apsolutne propusnosti
prema
q  k
A 1
L m
( p 2  p1 )
k 
V L
m p
t A
64
petrofizika - propusnost
Eksperimentalno određivanje propusnosti
p1
M anom etar
ula zn og tla ka
K lip ni
plinom jer
M a n o m e ta r
tla ka n a
je zg ru
R egu lator
tlaka
plat = p1 +10 bar
B oca
s dušiko m
(180 bar)
B oca
s dušiko m
(180 bar)
p2
65