Transcript 14regresi berganda nonlinear2

ANALISIS REGRESI NON LINEAR DAN
REGRESI BERGANDA
SUB POKOK BAHASAN
•
•
•
•
Hubungan fungsional nonlinear
Analisis regresi non linear
Selang penaksiran koefisien regresi
Analisis regresi linear tiga variabel
Regresi linier berganda
• Regresi linier berganda berupaya mencari
hubungan fungsional antara beberapa
variabel (xi) dengan variabel y
• Y=a +a x +a x +…..a x
0
1
1
2
2
r
r
Galat regresi
• Hubungan antara data pengamatan
yi=a0+a1x1i+a2x2i+……+arxri+ei
ei=yi-a0-a1x1i-a2x2i-…….-arxri
• Jumlah kuadrat galat
n
JKG 
e 
2
i
i 1
n
  y i  a 0  a 1 x1i  a 2 x 2 i  ........
i 1
 a k x ki 
2
Jumlah kuadrat minimum
 ( JKG )
a
 0
j  0 ,1,.... k
j
Akan didapat k+1 persamaan simultan
G ( x )  a 0  a 1 x1  a 2 x 2
n
JKG 
 (y
i 1
 JKG
a0
 JKG
a2
 G ( x ))    y i  a 0  a 1 x1  a 2 x 2 
i 1
 2 y
i
 a 0  a 1 x1  a 2 x 2 (1)  0
i
 a 0  a 1 x1  a 2 x 2 ( x1 )  0
i
 a 0  a 1 x1  a 2 x 2 ( x 2 )  0
i 1
n

a1
 JKG
i
n

2
n
2
 2 y
i 1
n

 2 y
i 1
n

i 1
n

i 1
n

i 1
n
n
i 1
i 1
y i  a 0 N  a 1  x1 i  a 2  x 2 i
n
n
n
y i x1 i  a 0  x1 i  a 1  x  a 2  x1 i x 2 i
2
1i
i 1
n
i 1
n
i 1
n
y i x 2 i  a 0  x 2 i  a 1  x1 i x 2 i  a 2  x 2 i
i 1
i 1
i 1
2

 n
 n

x 1i

i 1
 ..

 .
 .
 n
  x ki
 i 1
n
n
x
1i
x
2
1i
i 1
n
.....
1i
x 2i
......
ki
x 2i
......
n
x
i 1
n
i 1
2i
i 1
i 1
x
x
n
ki
x 1i
x
i 1

 x ki 
i 1
 a
n
0


 x 1i x ki   a 1
i 1
 .

 .

a
n
 k
2
x
 ki 
i 1

n
 n
  yi
  i 1

 n

  x 1i y i
  i 1

 
.


.

n
 
  x ki y i
 i 1











Contoh perhitungan
• Suatu cara memprediksi kedalaman pembekuan perkerasan adalah
suhu rata-rata dari lokasi yang ditinjau.
G ( x1 , x 2 )  a 0  a1 x1  a 2 x 2
Stasiun
Cuaca
Ketinggian
(ft) (x1)
Lintang Utara
(derajat)(x2)
Suhu tahunan
(y)
A
2375
39.27
47.5
B
1459
39
52.3
C
604
38.35
56.8
D
3242
37.58
48.4
E
550
39.38
54.2
F
675
38.05
55.1
G
635
39.65
54.4
H
2727
38.66
48.8
I
2424
37.97
50.5
J
659
40.10
52.7
 10

 15349
 396 . 01

Tgg(ft)
LU
Suhu
x1
x2
y
x12
x22
x1. x2
yx1
yx2
2375
39,27
47,5
5640625
1542,1329
93266,25
112812,5
1865,325
1459
39
52,3
2128681
1521
56901
76305,7
2039,7
604
38,35
56,8
364816
1470,7225
23163,4
34307,2
2178,28
3242
37,58
48,4
10510564
1412,2564
121834,36
156912,8
1818,872
550
39,38
54,2
302500
1550,7844
21659
29810
2134,396
675
38,05
55,1
455625
1447,8025
25683,75
37192,5
2096,555
635
39,65
54,4
403225
1572,1225
25177,75
34544
2156,96
2727
38,66
48,8
7436529
1494,5956
105425,82
133077,6
1886,608
2424
37,97
50,5
5875776
1441,7209
92039,28
122412
1917,485
658
48,1
52,7
432964
2313,61
31649,8
34676,6
2534,87
15349
396,01
520,7
33551305
15766,748
596800,41
772050,9
20629,1
15349
33551305
596800 . 41
 a 0   121 . 3
  
 a 1     0 . 0034
 a    1 . 65
 2 





  a 0   520 . 7 
  

596800 . 41   a 1    772050 . 9 
15766 . 748   a 2   20629 . 1 
396 . 01
G ( x1 , x 2 )  121 . 3  0 . 0034 x1  1 . 65 x 2
Ketidaktepatan model linear
• Jika jumlah kuadrat galat dari regresi linier
sangat besar sehingga model regresi tidak
signifikan, maka perlu dilakukan pengujian
ketidakcocokan model linier
• Pengujian dilakukan dengan menghitung jumlah
kuadrat tengah galat untuk nilai pengamatan
dalam kelompok peubah x(sebut kuadrat galat
murni) , dibandingkan dengan kuadrat tengah
seluruh galat. Selisih dari kuadrat galat ini
menjadi kuadrat galat akibat kekurang-cocokkan
model.
• Ambil k-kelompok amatan. Kuadrat tengah
galat pada kelompok ke-i (i = 1 s/d k)
n
adalah:
* 2
 y
i
ij
 yi

j 1
si 
2
ni  1
Kuadrat tengah gabungan akibat ketidak cocokkan adalah
k
 n
s 
2
i
 1 s
i 1
nk
  y
k
2
i

i 1
ni
 yi
*
ij

j 1
nk
Dengan membandingkan kuadrat tengah ini
dapat dilihat apakah ketidak cocokan ini cukup signifikan
Model non linier
• Ada dua pendekatan yang biasa dilakukan yaitu
transformasi ke bentuk linear (linearisasi) dan membuat
model fungsi polynomial yang melibatkan peubah
pangkat dua atau lebih
• Transformasi yang sering dipakai adalah:
– Fungsi pangkat
– Fungsi invers
– Fungsi hiperbolik
– Fungsi eksponen
Linearisasi
G ( x )  a1 x
a2
ln G ( x )  ln a 1  a 2 ln x
G  ln G ( x )
a 1  ln a 1
x  ln x
f  ln f
G  a1  a 2 x
Model polinomial
• Model regresi polinomial untuk satu
peubah pangkat dua adalah
y  a 0  a1 x  a 2 x
2
y i  a 0  a1 x i  a 2 x  ei
2
i
Galat regresi
e i  y i  a 0  a1 x i  a 2 x i
2
• Jumlah kuadrat galat adalah
n
JKG 
 y
i 1
i
 a 0  a1 x i  a 2 x
2
i

2
Kuadrat galat minimum
• Untuk meminimumkan kuadrat galat
dilakukan penurunan
 ( JKG )
 (a 0 )
 ( JKG )
 a 1 
  JKG
 a 2 

0
0
 0

 n
 n

xi

 i 1
 n
  x i2
 i 1
n
x
n
i
i 1
n
i 1
n

xi

xi
2
i 1
n
i 1


i 1
n
3

i 1

x 
 a 0

3 
x i  a1


 a 2
4
xi 

2
i
 n
  yi
  ni 1
 
    xi yi
  i 1
n

2

x
  i yi
 i 1
persamaan simultan: koefisien regresi









Contoh untuk regresi polinomial pangkat dua, pengaruh
penambahan Abu Terbang terhadap kuat tekan beton
No
1
2
3
4
5
6
jumlah
fly-ash(X) fc(y)
1
1,5
2
2,5
3
3,5
X*X
X*X*X
X*X*X*X
X*Y
X*X*Y
28
29
32
34
30
29
1
2,25
4
6,25
9
12,25
1
1
3,375
5,0625
8
16
15,625 39,0625
27
81
42,875 150,0625
28
43,5
64
85
90
101,5
28
65,25
128
212,5
270
355,25
13,5
182
34,75
97,875 292,1875
412
1059
Persamaan simultan
 6

13 ,5

 34 , 75
13 ,5
34 , 75
97 ,875
34 , 75   a 0

97 ,875  a 1

292 , 2   a 2
Solusi persamaan diatas adalah
  182 
 

   412 
  1059 
 

 a0

 a1
a
 2
  17 , 34 
 

   12 , 72 
   2 , 69 
 

Persamaan regresi menjadi
y  17 ,34  12 , 72 X  2 , 69 X
2