Transcript подготовка к олимпиад

Решить задачу:
На столе лежат 20 монет. Двое играют в следующую
игру: ходят по очереди, за один ход можно взять со
стола 1, 2 или 3 монеты. Выигрывает тот, кто забирает
со стола последнюю монету.
Ответ: второй.
Опишем выигрышную стратегию второго игрока. Если
первый своим ходом взял x монет, то второй должен
взять 4-x монет. Следовательно, после каждого хода
второго число монет, лежащих на столе, будет делиться
на 4. Это означает, что первый не сможет забрать со
стола последнюю монету, т.е. это сделает второй.
Решить задачу:
Есть две кучки камней, в одной из которых 15 камней, а в
другой – 20. Двое играют в следующую игру: ходят по
очереди, за один ход можно взять любое количество камней,
но только из одной кучки. Проигрывает тот, кто не может
сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?
Ответ: первый.
Опишем выигрышную стратегию первого игрока. Первым
ходом он берет 5 камней из кучки, в которой лежит 20
камней. Таким образом, после его хода в каждой кучке
лежит 15 камней. Каждым следующим ходом первый
должен брать столько же камней, сколько и второй, но
только из другой кучки, т.е. после каждого хода первого в
двух кучках лежит о одинаковое количество камней. Это
означает, что у первого всегда есть ход, т.е. второй игрок
проигрывает.
1. Решить уравнение:
log7-x2 (2•3x+2 – 10 + 3-x) = logx+1(2•3x+2 – 10 +3-x)
Решение:
Если 2•3x+2 – 10 + 3-x =1, то
(3-x)2 – 11•3-x +18 =(3-x – 2)•(3-x – 9) =0
Следовательно x1= – log32 или x2= – 2
т.к. – 1< x1< 0, то 0 <7 – x12 ≠ 1, 0 <x1+1 ≠1
x1 – решение, т.к. X2+1= – 1, то x2 – решение.
Если 2•3x+2 -10 + 3-x ≠ 1, то
7 – x2 = x +1, т.е. x2 + x – 6 =0, (x -2)•(x +3) =0
x= 3 – не подходит, x= 2 – решение.
Ответ: x = – log32, x = 2.
2. Решить уравнение:
sin 2x = 2sin3x + sin|2x| • cosx
Решение:
Если x≥0, то sin2x = 2sinx •(sin2x + cos2x) = 2sinx
т.е. (cosx – 1) • sinx = 0. Отсюда x = πn.
Если x<0, то sin2x = 2sinx • (sin2x–cos2x) =
= –2sinx • cos2x
Следовательно x = πn или cosx = –cos2x =1–2cos2x
Тогда cosx= –1 или cosx=1/2
Следовательно x = π/3 + 2πs, s ≤ –1 – решения.
x = – π/3 + 2πm, m ≤ 0 – решения.
Ответ: πn, π/3 + 2πs, –π/3+2πm, n Є Z, s ≤ –1, m ≤ 0.
Докажите, что функция f(x)= 1+sinx -cosx , Xϵ(- π/2; π/2),
1+sinx+cosx
является нечетной.
1+sinx -cosx = 2sin2x/2+2sinx/2 • cosx/2
= tgx/2,
1+sinx+cosx
2cos2x/2+2sinx/2 • cosx/2
а на итервале Xϵ(- π/2; π/2), функция tgx/2 – нечетная.
Решить уравнение в простых числах:
x+y=z
Четное + четное =четное
x
π
X • sin xx+x + X Нечетное + нечетное =четное
______________
___
Y=
/
Нечетное + четное =нечетное
\/ 2X
X
f
Или Х или Y = 2
• При Y=2, Х из второго уравнения не
равен целому, а значит и простому числу
•При Х=2 легко вычислить, что Y=3
Убедившись, что 3 – простое число, подставляем числа в 1 уравнение
2+3=5, что и является ответом
Над презентацией работали:
Ученики 10 «А» класса:
Кешабян Эдвард
Усольцев Олег
Руководитель:
Колмакова В.И.