Transcript ppt - Turku
MATEMAATTISEN AJATTELUN KEHITTÄMINEN 1 MATEMAATTINEN AJATTELU Erkki Pehkonen OKL /HY 2 • Ajattelun kehittäminen on ollut kaikkia koulun oppiaineita koskeva formaali tavoite aivan peruskoulun alusta lähtien (ks. Anon. 1970). • Samoin se on kansainvälisesti yhä edelleen tutkimuksen ja kehittämisen polttopisteessä (esim. McGregor 2007). 3 POPS-mietinnössä (Anon. 1970) • tiedollisen kasvatuksen tavoitteet jaetaan materiaalisiin ja formaalisiin. - materiaaliset tavoitteet ovat ainekohtaisia sisältötavoitteita, - formaalisiin tavoitteisiin kuuluvat ajattelun kehittäminen, käsitteiden muodostus ja niiden käyttö, päätteleminen, tietojen arvioiminen, ongelmien ratkaiseminen ja luova ajattelu 4 Jo 1985 Peruskoulun opetussuunnitelman perusteissa todettiin selkeästi, että opetuksen tavoitteissa tulisi kiinnittää enemmän huomiota tiedollisen kasvatuksen formaaliin puoleen: “… tieto on vain väline …“ 5 • Ajattelun tutkimisen ongelmallisuudesta toteaa mm. Astington & Olson (1995): “Suuri ongelma on että ... ajattelemisella ei ole mitään käyttäytymiseen liittyviä indeksejä.” • Opettajat voivat ainoastaan keskustelujen kautta päästä selville oppilaiden ajattelusta. • Tällöin tulevat kyseeseen lähinnä oppilaiden vastaukset kysymyksiin ja oppilaiden keskusteluihin tovereidensa kanssa. 6 Mitä on matemaattinen ajattelu? 7 • Yleensä ajatellaan, että matemaattinen ajattelu on samaa kuin looginen ajattelu, mutta aktiivisesti matematiikkaa käyttävälle on tarpeen myös luova ajattelu. • Matemaattinen ymmärtäminen liittyy läheisesti matemaattiseen ajatteluun, kuten myös matemaattinen tietorakenne ja tiedon luonne – konseptuaalinen ja proseduraalinen tieto. 8 Matemaattisesta ajattelusta • Matemaattinen ajattelu ei ole ajattelua matematiikasta, väittää Leone Burton (1984, 35), vaan se muodostuu tietyistä matemaattisiksi tunnistettavista operaatioista (toimituksista) ja prosesseista (tapahtumasarjoista) sekä niihin liittyvästä dynamiikasta (jännitekentistä). • Näistä erityisesti matemaattisen ajattelun prosessit ovat kiinnostavia ongelmanratkaisun kannalta. 9 • Em. prosesseista näyttävät seuraavat neljä olevan keskeisimpiä: - erikoistapaukseen siirtyminen (specializing), - otaksumien esittäminen (conjecturing), - yleistäminen (generalizing) ja - vakuuttaminen (convincing). 10 Esimerkki 1 (Mason 1982, 1) • Tavaratalossa sinulle tarjotaan suuresta ostoksesta 20 % alennus, mutta sinun täytyy maksaa siitä 15 % myyntiveroa. • Kumpi sinun kannattaisi laskea ensin: alennus vai vero? 11 Esimerkin käsittelyä • Erikoistapaukseen siirtyminen: Esimerkiksi valitaan ostoksen hinnaksi 100 € ja lasketaan siitä sekä alennus että vero. • Otaksumien esittäminen: Näitä erikoistapauksia lasketaan niin paljon, että mielessä herää otaksuma ratkaisusta. • Tämä pyritään yleistämään (yleistäminen) ja lopuksi osoittamaan yleisesti voimassa olevaksi (vakuuttaminen). 12 • Toisenlaisen lähtökohdan matemaattisen ajattelun käsitteeseen esittää Rice (1992). • Hän keskittyy matemaattisiin ajattelustrategioihin, joihin hän laskee kuuluvan ainakin seuraavat: luokittelu, lukujonotaidot, analogian muodostaminen, deduktiivinen päättely ja ongelmanratkaisutaidot. 13 Matemaattisesta ymmärtämisestä • Herscovics & Bergeron (1983, 75) esittävät, että "ymmärtämistä ei voida erottaa sanoista "ajatella", "tietää" ja "oppia", koska ymmärtäminen on ajattelun tulos, joka ei voi toimia tyhjiössä, vaan aikaisemmin hankitun tiedon kautta". 14 • Esimerkiksi Wachsmuth (1985, 45) kuvaili ymmärtämisen 'omien ajatustensa järjestämisenä' seuraavasti: "Ymmärtää joku asia tarkoittaa, että pystyy järjestämään sen omaan henkiseen kategoriajärjestelmäänsä." • Tutkimusten perusteella tiedetään, että ajattelustrategiat näyttävät olevan matematiikassa keskeisiä erottavia tekijöitä hyvien ja huonosti menestyvien oppilaiden välillä (esim. Kulm 1990). 15 • Ymmärtäminen voidaan nähdä myös potentiaalisena kykynä tehdä sellaisia tiettyyn aiheeseen liittyviä ajattelua vaativia toimintoja kuten selittämistä, todisteiden löytämistä, yleistämistä, soveltamista, analogioiden löytämistä ja käsitellyn aiheen esittämistä toisella tavalla (Joutsenlahti 2005, 84). 16 • Hiebert & Carpenter (1992) kuvaavat ymmärtämisen prosessina, joka kiinnittyy tiettyyn henkilöön, tarkasteltavaan matemaattiseen sisältöön ja erityiseen ympäristöön: • “Henkilö on ymmärtänyt matemaattisen idean tai menetelmän tai tosiasian, jos se on osa hänen sisäistä tietoverkkoaan. Ymmärtämisen asteen määräävät tietoverkon yhteyksien lukumäärä ja voimakkuus.” 17 • Viime aikoina on tuotu taas kertaalleen esille se tosiasia, että opetuksen tulokset näyttävät pysyvän kovin mekaanisella tasolla ja ettei korkeamman tason ymmärrystä näytetä saavutettavan (esim. Virtanen 1994, Merenluoto & Pehkonen 2004), vaikkakin sitä kovasti toivotaan. • Matemaattinen ymmärrys näyttää olevan prosessi, jossa edistytään hitaasti ja silloinkin vain kovasti työtä tekemällä 18 Esimerkki 2 • Tiedämme, että pätee 498 : 6 = 83 . Selvitä tästä tiedosta perustellen, mitä saadaan tehtävän 491 : 6 = ? vastaukseksi, ratkaisematta tehtävää jakokulmassa. 19 Matemaattinen tieto 20 • Tietoa voidaan tarkastella filosofisesta näkökulmasta, jolloin nousee esille kysymys: Mitä on tieto? • Tähän on olemassa perinteinen Platonin määritelmä “tieto on hyvinperusteltu tosi uskomus” (esim. Niiniluoto 1992, 57). 21 • Subjektiivisen ja objektiivisen tiedon välinen suhde matematiikassa on keskeistä sosiaalisen konstruktivismin filosofian mukaan. • Subjektiivinen tieto on yksilön omaa, kun taas objektiivinen tieto on yhteisön hallinnassa. 22 • Tiedonhankinnassa erotetaan eri suuntauksia – puhutaan empirismistä ja rationalismista. • Psykologisesti tiedon käsite usein jaetaan kahteen eri tyyppiin, jossa jaon perusteena on ollut erottaa toisistaan taidon oppiminen ja tiedon ymmärtäminen. 23 • Tunnetusti matemaattinen tieto jaetaan menetelmätiedoksi (procedural knowledge), kuten algoritmitieto, ja käsitetiedoksi (conceptual knowledge), kuten tosiasiatieto (Hiebert & Lefevre 1986). • Nämä molemmat tulevat kysymykseen matematiikan oppimisessa. 24 • Ymmärtäminen liittyy ensisijaisesti käsitetietoon. • Lisäksi Hiebert ja Lefevre (1986) korostavat tietokokonaisuuksien merkitystä käsitetiedon omaksumisessa. 25 Esimerkki 3 (Campbell 1996) Olkoon A luku 6*147 + 1 . Jos jaat 6:lla luvun A, mikä on jakojäännös? Paljonko on osamäärä? 26 Esimerkki 4 (Zazkis & Campbell 1996) Tarkastellaan lukuja 12 358 ja 12 368. Tutki, onko niiden välissä kaksi lukua, jotka ovat jaollisia 7:llä tai 12:lla? 27 Matemaattisesta tietorakenteesta • Koska matemaattisen tiedon osat ovat yhteydessä toisiinsa, ottamalla tosiasiatiedot ja niiden väliset suhteet syntyy tietty rakenne, jota kutsutaan matemaattiseksi tietorakenteeksi. • Usein matemaattinen tietorakenne esitetään graafina (esim. Kiesswetter 1977), joka koostuu tosiasiatiedoista (solmu) ja niiden välisistä yhteyksistä (polku). 28 Kaavamainen kuva yksilön tietorakenteesta • Tämäntyyppinen tietorakenne on kuvattu kaavamaisesti alla kuviossa, jossa mustat ympyrät kuvaavat tietoyksiköitä ja viivat niiden välisiä yhteyksiä sekä neliöt tietorakenteeseen liittyviä emootioyksiköitä ja viivat niiden välisiä yhteyksiä. 29 • Ymmärtämiseen tähtäävän opiskelun tuloksena syntyy lisää yhteyksiä tietorakennetta kuvaavaan graafiin. • Yksilön tietorakenteen yhteydessä on oppimistilanteeseen liittyviä tunnelatautuneita muistoja, useimmiten turhautumisesta (vrt. Bereiterin (1990) moduliteoria oppimisesta). 30 • Parhaimmillaan yksilön matemaattinen tieto muodostuu selkeäksi loogiseksi kokonaisuudeksi – matemaattiseksi tietorakenteeksi, joka on tarvittaessa palautettavissa mieleen. • Tällainen tarve tulee esimerkiksi ongelmanratkaisutilanteessa, jossa yksilön on ratkaisun löytämiseksi usein hahmotettava tilanne uudella tavalla. 31 • Siispä Kiesswetteriä (1983) mukaillen voidaan sanoa: Ongelman ratkaisu saadaan tuotettua, kun pystytään rakentamaan riittävästi lisää yhteyksiä tietorakenteessa olevien vanhojen tosiasioiden välille tai lisäämään uusia relevantteja tosiasioita. • Tämä vaatii yleensä kykyä hahmottaa omaksuttu matematiikka uudella tavalla, kykyä nähdä uusia yhteyksiä aikaisemmassa tietograafissa. 32 • Mutta käytännössä suuri osa jokaisen yksilön matemaattisesta tiedosta on uskomustasolla, ts. se muodostuu henkilökohtaisista (enemmän tai vähemmän selkeistä) käsityksistä tai muistikuvista aikoinaan opitusta matematiikasta, jotka voivat poiketa merkittävästikin yleisesti hyväksytyistä käsityksistä. • Tähän henkilökohtaiseen tietoon saattaa liittyä usein jopa täysin vääriä tulkintoja matemaattisesta tiedosta. 33 Matemaattisen ajattelun kehittäminen 34 • Peruskoulun opetussuunnitelmassa (Anon 2004) matemaattisen ajattelun kehittäminen mainitaan yhtenä keskeisimmistä matematiikanopetuksen tavoitteista. • Opetussuunnitelma ei tarjoa keinoja tähän päämäärään, vaan jättää sen opettajan omaan harkintaan. 35 Keinoja • Ainakin neljä tällaista opetuksessa käytettävää keinoa voidaan mainita: - ongelmatehtävien käyttäminen, - luvuilla leikittely, - matematiikan kielentäminen (ks. Joutsenlahti 2003), - ajatuskartan laatiminen (ks. Buzan 1989). 36 Ongelmanratkaisun käyttäminen • Ongelmanratkaisussa on useita suuntauksia. • Puhutaan mm. Polyan malliin perustuvasta ongelmanratkaisusta, avoimesta ongelmanratkaisusta, luovasta ongelmanratkaisusta. 37 Ongelmatehtävien luokittelua: • Esimerkiksi puhutaan PISA-tehtävistä, jotka ovat suurelta osalta aivan omantyyppisiä ongelmatehtäviä, ns. kompleksisia ongelmia ja yleensä non-standardeja tehtäviä. • Non-standardi tarkoittaa ei-tavanomaista, ts. tehtäviä, joita ei löydä oppikirjoista. 38 Non-standardien tehtävien käyttäminen • Kouluopetuksessa oppilaan ajattelua voidaan parhaiten edistää MIKSI?kysymyksillä. • Oli oppilaan vastaus oikea tai väärä, niin ei tyydytä siihen, vaan pyydetään häntä selittämään, miksi hän on päätynyt tuohon vastaukseen. 39 Esimerkki 5 • Kuinka moneen neliöön voidaan annettu neliö jakaa? 40 Luvuilla leikittely • Erityisesti ala-asteella olisi oppilaiden saada mahdollisuus luvuilla leikittelyyn. • Lapset ovat yleensä kovin kiinnostuneet suurista luvuista, erityisesti äärettömyys kiehtoo heidän ajatteluaan. • Tätä kiinnostusta pitäisi opetuksessa 41 hyödyntää. Esimerkki 6 • Sellaista lukua sanotaan palindromiksi, joka etu- ja takaperin luettuna on sama, esim. 121 ja 5445. • On esitetty väite, että kaikki nelinumeroiset palindromiluvut ovat 11 jaollisia. Pitääkö tämä paikkansa? 42 Jatk. • Kaikista luvuista ei saada noin nopeasti palidromeja, esim. 85 ja 58 on yhteensä 143 josta on jatkettava: 143 + 341 = 484. • Lukua 85 sanotaan tyypin 2 luvuksi, koska tarvitaan kaksi yhteenlaskua. • Tutki kaksinumeroisia lukuja: Ovatko ne kaikki tyyppiä 1 tai 2? Mitä säännönmukaisuutta pystyt löytämään? 43 Matematiikan kielentäminen • Ks. Joutsenlahden esitys (ti 12.4.2011) 44 Tietorakenteen esittäminen ajatuskarttana • Opettaja voisi selvittää opiskelijoiden tietorakennetta ainakin keskeisten sisältöjen kohdalla. • Tämä voisi yksinkertaisimmin toteuttaa teettämällä opiskelijoilla kyseisestä ainepiiristä käsitekartan, mutta saman asian toimittanee myös ajatuskartta. 45 • Usein matematiikan opiskelijankin tietorakenne voi olla kovin hatara ja koostua erillisistä tietoelementeistä ja assosiaatioista, joiden avulla hän kuitenkin pystyy ratkaisemaan tehtäviä ja antamaan kuvan riittävästä matemaattisen tiedon hallinnasta. 46 • Oppilaiden tietorakenteen selvittäminen voisi yksinkertaisimmassa muodossaan toteutua teettämällä heillä kyseisestä ainepiiristä käsitekartan tai ajatuskartan. • Kun heidän kotona laatimistaan ajatuskartoista keskustellaan yhteisesti, saa opettaja kuvan opiskelijoiden ajattelun tasosta sekä voi auttaa heitä kehittämää omaa tietorakennettaan. 47 • Usein matematiikan opiskelijankin tietorakenne voi olla kovin hatara ja koostua erillisistä tietoelementeistä ja assosiaatioista, joiden avulla hän kuitenkin pystyy ratkaisemaan tehtäviä ja antamaan kuvan riittävästä matemaattisen tiedon hallinnasta. • Lisäksi tietorakenteessa on mukana usein vahvoja tunnelatauksia, jotka saattavat peräti rajoittaa ko. henkilöä käyttämästä tietojaan täysipainoisesti. 48 • Seuraavassa esitetään yhden matematiikan opiskelijan, Sannan haastattelun (Duisburg 1999) tuloksista konstruoitu tietorakennelma. • Sanna oli vähän yli parikymmenvuotias tasapainoisesti esiintyvä opiskelija, joka opiskeli viidettä vuotta ja jolla oli jäljellä opettajatutkintoon pro gradua vastaavan tutkielman tekeminen sekä joitakin tenttejä. • Lukiossa hän oli suorittanut lyhyen matematiikan, ja kertoi opetuksen siellä olleen laskemispainotteista. 49 • Sovitetaan Sannan tietorakenne alussa kuvailtuun teoreettiseen malliin: • Tosiasiatietoja (Sannan kannalta), jotka on lihavoitu ja rajattu soikiolla; näistä keskeinen tosiasia on rajattu paksummalla viivalla. • Eritasoisia luuloja ja arveluja, jotka on rajattu soikiolla (mutta ei ole lihavoitu). • Emotionaalisia reaktioita, jotka on esitetty suorakulmiona. 50 arvot laskimella tarina shakkilaudasta eksponentiaalinen kasvu e-funktiolla suurin kasvu käänteisfunktio ln mielikuva perusteluja x e :n kuvaajasta kuvaaja ei leikkaa x-akselia HYVÄ LUOJA e - 2,71 0 e =1 x e ei ole koskaan nolla x x De =e johtaminen HYVÄ LUOJA 51 Ajattelutaitojen arviointi 52 Perusopetuksen päättöarvioinnin kriteerit • Opetushallitus (Anon. 1999) on laatinut arviointikriteerit, joissa määritellään ne tieto- ja taitotasot, jotka oppilaan pitää hallita saavuttaakseen arvosanan kahdeksan (8). • Tietojen ja laskutaitojen rinnalla tarkastellaan oppimistuloksina myös päättely-, perustelu- ja kommunitiotaitoja. 53 Arvioinnin osa-alueet 54 Matemaattisen ajattelun arvioinnista • Matemaattisessa ajattelussa voidaan erottaa eri komponentteja, joista kutakin voidaan mitata sopivin tehtävin: - Ongelmanratkaisutaitoja - Luokittelutaitoja - Käsitteellisyys 55 • Seuraavassa esimerkissä kohta a) edustaa tavanomaista oppikirjatehtävää. • Sitä jatketaan kysymällä oppilaan ajattelua: kohdat b) ja c) mittaavat oppilaan ymmärtämisen tasoa, edellinen oppilaan kykyä metakognitiiviseen ajatteluun ja jälkimmäinen kykyä yleistämiseen. 56 Esimerkki 7 • Eeva ajattelee kahta lukua. Niiden summa on 19 ja erotus 5. • Määritä luvut. • Kuinka pystyt löytämään luvut? • Onko aina mahdollista löytää kaksi lukua, jos tiedetään niiden summa ja erotus? Perustele vastauksesi! 57