版本B4多组资料均数的比较—方差分析
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第四章、多组资料均数的比
较—方差分析
方差分析的用途：
用于对比研究中,组间（比较组k2)的
样本均数间差别有无统计学意义,从而推
论各样本均数的总体水平是否相同。
例讲义4-2：研究目的：
了解烫伤后不同时期切痂对肝脏的
ATP含量的影响
•
处理因素
随机 甲组（n=10） 烫伤（对照）
•
• 30大鼠
乙组（n=10） 烫伤（24小时切痂）
•
丙组（n =10） 烫伤（96小时切痂）
•
• 全部在 168小时处死， 测定三组大鼠肝脏的
ATP含量，问：不同处理因素（时间）的ATP含
量是否有差别？
例：大鼠烫伤后不同时间切痂对肝脏
ATP含量的测量结果
•
• 对照组
•
7.76
•
7.71
•
8.43
•
8.47
•
10.30
•
.
•
6.97
• n
10
• x 8.04
处理因素
24小时组
11.14
11.60
11.42
11.85
13.53
.
17.72
10
12.76
96小时组
10.85
8.58
7.19
9.36
9.59
.
8.69
10
9.25
20
18
ATP
含
量
16
14
12
7
10
8
17
6
4
N =
VAR00002
10
10
1.00
2.00
A组
B组
第一节、方差分析的基本思想
将比较组数据变异（总变异）分解为：
总变异=组间变异+组内变异
变异
原
因
组间变异 不同处理因素
方差估计量
MS组间
+随机误差
组内变异 随机误差
MS误差
•
（随机误差=个体变异+未知因素）
变异估计量（离均差平方和）及分解：
总离均差平方和
ni
k
SS总 =
( x
ij
x)
2
i
x)
2
i 1 j 1
组间离均差平方和
k
SS组间 =
n (x
i 1
i
组内离均差平方和
SS组内 =
k
n
i 1
j 1
{
MS 组间
SS组间
组间
SS组内
2
MS
组内
( xij xi ) }
组内
其中：
SS总 SS组间 SS组内
MS组间 SS组间 / 组间
ν组间=组数-1=K-1
MS组内 SS组内 / 组内
ν组内=总例数-组数=N-K
注：MS=S2
（方差）
方差分析：统计检验：
假设：H0：1= 2= 3=…. k
H1：各μ不等 ,
组间变异 MS组间
F
组内变异 MS组内
• 理论上，如果处理因素无作用，则
（组间变异=组内变异） ， F ＝１
或波动在1左右。 如果F >>１，或
F>F，P<，说明处理因素有作用。
图4-1组间误差与组内误差示意图
干预前
干预后
研究总
体对象
ATP
含量
x 8.04
A组
不切痂
B组
24小时切痂
x 12.76
C组
96小时切痂
x 9.25
MS组间=MS组内
MS组间=MS组内 ？
第二节、完全随机设计的方差分析
• 一、完全随机分组设计（例：表4-1资料）
•
• N个
随机化分组
• （试验对象）
•
•
处理
指标
甲处理（n1） x
乙处理 （n2） x
丙处理（n3） x
优点：设计简单，各组例数可等和不相等
二、数据结果的方差分析步骤
• 完全随机分组设计数据的变异分解
• 总变异分解为：
•
组间变异（不同处理+误差）
•
组内变异（误差）
完全随机分组设计数据的SS计算公式
55页公式4-1（总变异）、4-2（组间）、4-3（误）
• 变异来源
SS =离均差平方和
k n
• 总变异
2
SS总 （xij x ） X C
i
• 处理间
• 组内
• (误差）
校正数C:
SS组间
j
n
k
k
n ( x x )
i i
i 1
i 1
SS组内 SS总 SS组间
C (X ) / N
2
( x ) 2
j 1
ni
C
表4-2
• 变异
• 总
• 处理
完全随机分组设计数据的
方差分析计算
SS
SS总
SS组间
SS组内
• 组内
• (误差）
ν
MS
F值
N-1
k-1
N-k
SS组间
MS组间
MS组内
SS组内
MS组间
MS组内
表4-1大鼠烫伤后不同时间切痂对
肝脏ATP含量的测量结果
•
对照组
•
7.76
•
7.71
•
8.43
•
.
•
6.97
• n
10
• x 8.04
• x 80.43
•2
676.32
x
24小时组
11.14
11.60
11.42
.
17.72
10
12.76
127.55
1696.96
96小时组
10.85
8.58
7.19
.
8.69
合计
10
30
9.25
10.02
92.49 300.47
868.93 3242.21
完全随机分组的方差分析计算步骤
• 1.数据准备（计算表4-1）
• 2.建立假设
• H0: 1= 2= 3，即不同时期ATP含量
的总体均数相等
• H1: 各时期该指标均数不等或不全等
• =0.05
• 3.计算各离均差平方和（SS）
SS估计量的计算方法和公式：
C (X ) / N
1）计算总离均差平方和
2
SS总 X C 3242.21 3009.407 232.802
2
2）计算组间离均差平方和
(xi )
80.43 127.55 92.49
SS组间
C
C 119.83
i 1 n
10
i
k
2
2
2
2
3）计算组内离均差平方和
SS组内 SS总 SS组间 232.802 119.831 112.97
4.列方差分析表
表4-2 方差分析表
•
•
•
•
•
•
•
•
变异来源 SS
ν
MS F
P
组间
119.83 2 59.916 14.32 ＜0.05
组内
112.97 27 4.184
总
232.8026 29
5.求P值和结论
本例 v组间=2, v误差=27 F0.05,2,27=3.35
F=14.32＞3.55 , P＜0.05。
结论:在=0.05水平,p＜0.05，拒绝H0，三组ATP
含量差异有统计意义，不同时间切痂对肝脏ATP
含量不同.
第三节、随机单位组设计的方差分析
•
•
•
随机单位组设计
又称随机区组、配伍组设计
（the randomized block design）
一、随机单位组设计的方法
• 设计：
•
将性质大致相同的实验对象组成一
个单位组（区组），每个单位组内的
实验对象数=处理个数。共有b个单位
组。
• 单位组是配对设计的扩大。
例：研究三种剂量雌激素对大鼠子宫重
量的影响
•
•
•
•
•
•
处理因素：三种剂量（0.2、0.4、0.8（ug）
研究指标：不同处理后的子宫重量
实验对象及例数：大鼠4个种系共12只
控制因素：处理前不同种系大鼠子宫重量
实验设计：随机区组设计
方法：1.将同种系的3只大鼠为一个单位组，
共4个单位组。
• 2.在单位组内随机分配处理因素于大鼠。
三个处理组的随机区组设计方法
• .
• 单位组
• (区组)
• 1
• 2
• 3
• 4
实验单位（小鼠编号）
1
2
3
甲
丙
乙
甲=0.2
丙
乙
甲
乙=0.4
乙
甲
丙
丙=0.8
丙
乙
甲
实验单位的随机化分组在区
组内进行。
随机单位设计
• 表4-4 大鼠注射不同剂量雌激素后
•
子宫重量数据
•
•
•
•
•
•
•
种类
A
B
C
D
雌激素剂量（ug100g -1）
0.2
0.4
0.8
106
116
145
42
68
115
70
111
133
42
63
87
随机区组(单位组）设计的方差分析
• 有两种类型资料可采用：
• 1.随机单位设计实验（单位组内的实验
对象为异体）的几组数据比较。
• 2单位组内的实验对象为同一个体，非
随机分组的数据。 （例：放置不同时间
血糖浓度的结果）
例：8名受试者放置不同时间血
糖浓度的结果
•
•
•
•
•
受试者
放置时间（分）
编号
0
45
90
135
1
5.27 5.27 4.94
4.61
2
5.88 5.83 5.38
5.00
3
5.44 5.38 5.27
5.00
• 8
5.21
5.11
5.00
4.44
•
•
•
•
二、随机区组设计试验数据的
方差分析的原理
（一）总变异分解
组间变异(处理因素+随机误差)
单位组变异(个体间变异+随机误差）组内
变异
误差变异（随机因素）
F=
组间变异（MSB）
误差变异（MSE）
设计优点：将个体变异从组内变异中分离，
比完全随机分组设计更容易查出处理的差别。
表4-4 大鼠注射不同剂量雌激素后
子宫重量
• 种类
•
• A
• B
• C
• D
• x
• 2x
• x
雌激素剂量（ug100g -1）
0.2
0.4
0.8
合计
106
116
145
367
42
68
115
225
70
111
133
314
42
63
87
192
65.0
89.5 120.0
91.5
260
358
480
1098
19664 34370 59508
113542
随机区组设计方差分析计算步骤
• 例：表4-4资料（数据准备）
• 1.建立检验假设
• H0: 1= 2= 3 即不同剂量雌激素对子
宫重量的总体均数无影响
• H1: 不同剂量的雌激素对子宫重量均数
不等或不全等
• =0.01
2.随机区组SS估计量的计算公式和步骤:
1）总离均差平方和
SS总 X C 113542 1098 / 12 13075
2
自由度
2
v总=N-1=12-1
2）组间（处理）离均差平方和
(X )
260 358 480
SS处理
C
C 6074
ni
4
i 1
V处理=K-1=3-1
k
2
2
2
2
3）区组（单位组）间离均差平方和
k
n
SS区组
( X )
i 1
k
j 1
2
C
367 225 314 192
C 6457.67
3
2
2
2
2
V单位= n －1
4）误差离均差平方和
SS E SS总 SS处理 SS区组
13075 6074 6457.67 6457.67
表4-6 方差分析表
•
•
•
•
•
•
变异来源
SS
ν
总
13075 11
处理组间 6074
2
单位组间 6457
3
误差
543.33 6
ν误差=ν总-ν处理组-ν单位组
MS
3037
2152
90.55
F
P
33.54 <0.01
23.77 ＜0.01
F处理 F0.01, 2,6 10.92, F单位 F0.01,3,6 9.78
• 结论:在=0.01水平上，P<0.01),拒绝H0假
设，即不同剂量的雌激素对子宫重量不同。
第四节、均数间的多重比较
• 一、简介
• 当F≥Fα，P＜0.05时，应做均数间的多重比较。
• 注意：多个均数的组间比较采用t检验会增加Ⅰ，
型误差的概率，多重比较的统计方法可避免。
•
•
•
•
研究者的目的
常用多重比较方法
1.处理组两两之间
SNK-q检验
的比较
2.各处理组仅与对照组 Dunnett-t检验
做比
较
1. SNK-q检验(Student-Newman-keuls）
• 用于均数间的两两组间比较（85页）
检验
公式
SX AXB
查q界
值表
XA XB
q
SX AXB
公式4-5
MS 误差 1
1
( )
2
n A nB
如
q q0.05, , p 0.05
例：大鼠烫伤后不同时间切痂对肝脏ATP
含量的测量结果
• 方法与步骤（见讲义59页）：
• 1）建立检验假设
• H0： A= B任意比较两组总体均数相等，
H1： , 任意两组A≠ B ，=0.05
• 2）将均数依大小排列（确定a）
• 组别 对照 96小时 24小时
• 均数 8.04
9.25
12.76
• 排序 1
2
3
a为对比组所
包含的组数
•
•
•
•
例：大鼠烫伤后不同时间切痂对肝脏ATP
含量测量均数的两两比较
比较组 X A X B a
q q0.05 q0.01
P
对与96 -1.21
2 1.87 2.92 3.96 ＞0.05
对与24 -4.72
3 7.29 3.53 4.54 <0.01
96与24 -3.51
2 5.42 2.92 3.96 <0.01
• 3）列均数两两比较表，计算q值
• 4）结论：在=0.05水准上，对照组与96小
时的ATP含量无差别，24小时与对照和96
小时切痂的ATP含量差别有统计意义。24
小时切痂，肝中ATP含量最高。
q0.05界值查表获得
（233页，SNK法的q界值表）
q界值的表示：
q / 2,v误差，a
q
本例： 0.05 / 2，
27，
2
q0.05/ 2，24，2 2.92
误差自由度=27，a=2
q0.05/ 2，24，3 3.53
误差自由度=24，a=3
• 用q检验做均数两两比较
• 例：对照组（1）与96小时（2）比较
x 9.25
x 8.04
MS误差=4.184
SXAXB
MS 误差 1 1
4.184 1 1
( )
( ) 0.647
2 n A nB
2 10 10
XA XB
q'
SX AXB
8.04 9.25
1.8702
0.647
多重比较q检验与t检验的不同点
• 1.公式误差计算不同
1
• t 检验
2 1
S X A X B SC ( )
n A nB
• q检验
SX AXB
MS 误差 1
1
( )
2
n A nB
• 2.检验水准的界值不同
q0.05,v误差， a q0.05，27，2 2.92
t0.05/ 2,v t0.05 / 2,18 2.101
q0.05,v误差，a q0.05，27，3 3.53
方差分析小结
• 一、方差分析应用条件（讲义54页）
• 二、方差分析计算步骤小结
• 1确定资料比较组的设计（完全随机
分组或随机区组设计）
• 2.如F＞Fα，P＜0.05，做均数的多重
比较（各均数间两两比较）
• 3.结论