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電気回路学Ⅱ
コミュニケーションネットワークコース
5セメ
山田 博仁
RLC直列回路の過渡現象
S
t=0 R
L
RLC 直列回路で、時刻 t = 0 でスイッチ S を閉じる。
t > 0 において回路を流れる電流 i(t)は、
E
i(t)
C
E Ri (t ) L
di (t ) 1
i (t )dt で与えられる。
dt
C
なお積分範囲は、–∞ から現在の時刻 t までである。
電荷 q(t) と電流 i(t) との関係 i (t )
dq (t )
を用いて書き直し、
dt
d 2 q(t )
dq(t ) q(t )
EL
R
, t 0 (1)
dt2
dt
C
まず、E ≠ 0 のときの非同次方程式の特解 qs(t) は定常解であるから、
dq (t )
0 から、 qs EC となる。
dt
st
次に、E = 0 とした時の同次方程式の一般解 qf(t) は、 q e を式(1)に代入して得られる
t → ∞ における回路の状態、或いは
2
1
特性方程式 Ls Rs 0 の根 s1 および s2、即ち s1 , s2 R R 1 から、
C
2L
2 L LC
2
RLC直列回路の過渡現象
2
(a) R 4
L
R
で重根となるから、
の時には、 s1 s2
C
2L
E = 0 とした式(1)の一般解は、任意の定数を A1, A2 として、
q f (t ) A1es1t A2tes1t によって与えられる。
従って、前述の定常解 qs と重ねて、
q(t ) qs q f EC A1es1t A2tes1t
が式(1)の解となる。
これから、電流 i(t) が、
i (t )
dq (t )
A1s1e s1t A2 (1 s1t )e s1t
dt
と与えられる。
A1 および A2 は積分定数であり、初期条件によって定まる。
回路から、t = 0 の初期電流 i(0) は 0 であり、コンデンサの初期電荷を
q(0) = q0 とすれば、q(t) および i(t) の t →0 の値から、
q(0) q0 EC A1
従って、 A1 q0 EC
i(0) 0 A1s1 A2
従って、 A2 s1 A1
R
q0 EC
2L
RLC直列回路の過渡現象
以上より、
R
q0 ECte s1t
2L
R s1t
R 2RL t
EC (q0 EC)1
t e EC (q0 EC)1
t e , t 0
2
L
2
L
R
q0 EC (1 s1t )e s1t
i (t ) A1s1e s1t A2 (1 s1t )e s1t q0 EC s1e s1t
2L
q(t ) EC A1e s1t A2te s1t EC (q0 EC)e s1t
2
R
R
q0 EC (1 R t )e s1t q0 EC R te s1t
q0 EC e s1t
2L
2L
2L
2L
2
R 2Lt
EC q0 te , t 0
2L
R
と求まる。
初期電荷 q0 = 0 とした時の q(t) および i(t) の
変化を左図に示す。i(t) は、t = 2L/R で最大値
im = 2E/Re をとる。
R2 4
L
の場合は、臨界的(critical)あるいは臨
C
界減衰(clitical-damping)と呼ばれる。
RLC直列回路の過渡現象
2
(b) R 4
L
1
の時には、特性方程式 Ls 2 Rs 0 の根は、2つの異なる
C
C
実根 s1, s2 となる。
2
R
1
R
s1 , s2
0 1
2L
2 L LC
と置く。
ただし、 0 1 0
R
0
2L
s1 0 1, s2 0 1
E = 0 とした式(1)の一般解は、任意の定数を B1, B2 として、
q f (t ) B1es1t B2es2t によって与えられる。
従って、前述の定常解 qs と重ねて、
q(t ) qs q f EC B1es1t B2es2t
電流 i(t) は、 i (t )
2
1
R
1
2 L LC
が式(1)の解となる。
dq (t )
B1s1e s1t B2 s2 e s2t と与えられる。
dt
B1 および B2 は積分定数であり、初期条件によって定まる。
RLC直列回路の過渡現象
初期条件は同様に、i(0) = 0、q(0) = q0 とすれば、q(t) および i(t) の t →0 の値から、
q(0) q0 EC B1 B2
従って、 B1
i(0) 0 B1s1 B2 s2
s2
EC q0
s1 s2
従って、 q(t ) EC
B2
s2
EC q0 e s1t s1 EC q0 e s2t
s1 s2
s1 s2
s1 s2 0 1 ( 0 1 ) 21
より、
s2
EC q0 e s1t s1 EC q0 e s2t EC 1 EC q0 s2e s1t s1e s2t
2 1
2 1
2 1
q(t ) EC
e s1t e 0t e1t
q(t ) EC
ここで、
s1
EC q0
s1 s2
e s2t e 0t e 1t
より、
1
EC q0 e 0t s2e1t s1e1t
2 1
s2
s1
e K と置くと、
s1 s1 s2 e K
s2 s1 s2 eK
RLC直列回路の過渡現象
1
EC q0 s1 s2 e 0t e K e1t e K e1t
2 1
従って、 q(t ) EC
x
x
e
e
ここで、双曲線関数を用いると、
sinh x であるから、
2
e K e1t e K e1t 2 sinh1t K
従って、 q(t ) EC
1
1
EC q0
さらに、s1, s2 < 0 であるから、
従って、 q(t ) EC
1
1
であり、
s1 s2 e 0t sinh 1t K
s1 s2 s1s2
EC q0
1
LC
1 0t
e sinh 1t K
LC
1
0t
q0 EC q0 1
e sinh 1t K
1 LC
t>0
RLC直列回路の過渡現象
電流 i(t) についても同様に、
dq(t )
e 0t
0 sinh1t K 1 cosh1t K
i(t )
EC q0
dt
1 LC
ここでまず、{
s2
s1
e
K
}内について考える。
より、 e e
K
e e
K
K
K
s s
2 1 2 0 LC
s1
s2
s1 s2
e K e K
0
2 LC
s s
2 1 2 1 LC
s1
s2
s1 s2
e K e K
1
2 LC
s2
s2
s1
s1
RLC直列回路の過渡現象
従って、{
}内は、
e K e K
e K e K
0 sinh 1t K 1 cosh 1t K
sinh 1t K
cosh 1t K
2 LC
2 LC
e K e K e 1t K e 1t K e K e K e 1t K e 1t K
2
2
2 LC
2 LC
1
e K e K e 1t K e 1t K e K e K e 1t K e 1t K
4 LC
1
2e 1t 2e 1t
4 LC
1 e 1t e 1t
2
LC
1
sinh 1t
LC
従って電流 i(t) は、
dq(t )
e 0t
i(t )
EC q0
dt
1 LC
EC q0 0t
1
sinh 1t
e sinh 1t
LC
LC
1
t>0
RLC直列回路の過渡現象
初期電荷 q0 = 0 とした時の q(t) および i(t) の
変化を左図に示す。
R2 4
L
の場合は、臨界的の場合よりも収束が
C
遅いので、非振動的(aperiodic)あるい
は過減衰(over-damping)と呼ばれる。
RLC直列回路の過渡現象
2
(c) R 4
L
1
の時には、特性方程式 Ls 2 Rs 0 の根は、2つの異なる
C
C
s1 0 j0 , s2 0 j0
虚根 s1, s2 となる。
2
R
1
R
s1 , s2
0 j0
2L
2 L LC
と置く。
s2
e j
s1
q (t ) EC
ただし、 0 0
s1 s1 s2 e
j
2
1
R
j 0
2 L LC
R
0
2L
かつ ω0 は実数である。
s2 s1 s2 e
j
e j e j
sin
2j
s2
EC q0 e s1t s1 EC q0 e s2t
s1 s2
s1 s2
EC
s2
EC q0 e s1t s1 EC q0 e s2t
j 20
j 20
EC
1
EC q0 s2e s1t s1e s2t EC 1 EC q0 s2e 0t j0t s1e 0t j0t
j 20
j 20
EC
1
EC q0 s1 s2 e 0t e j e j0t e j e j0t
j 20
RLC直列回路の過渡現象
q (t ) EC
EC
EC
1
0
1
0
e j e j 0 t e j e j 0 t
j2
EC q0
s1 s2 e
EC q0
1 0t e j 0t e j 0t
e
j2
LC
0t
1
EC q0 e 0t sin 0t
0 LC
1
q0 EC q0 1
e 0t sin 0t
0 LC
0
e j e j
tan
j e j e j
0
i(t )
dq(t ) EC q0 0t
e sin 0t
dt
0 LC
t>0
t>0
RLC直列回路の過渡現象
初期電荷 q0 = 0 とした時の q(t) および i(t) の
変化を左図に示す。
R2 4
インピーダンスの値が Z R jL
L
の場合は、振動的(oscillatory)あるいは
C
振動減衰(under-damping)と呼ばれる。
1
のRLC直列回路の共振角周波数 ωn は、
jC
n
1
であった。これに対して、振動的な過渡解の i(t) は、
LC
0
1 R
LC 2 L
2
の角周波数で振動し、ωn とは多少異なる。
R → 0 の時、ω0 は ωn に近づき、正弦波振動が永久に持続する。
線形常微分方程式の標準的解法
線形集中定数回路の問題は、実定係数の線形微分方程式を解く問題に帰着する。
定係数の線形常微分方程式の一般形として、
a0 y
( n)
a1 y
( n1)
an1 y' an y f (t )
を考える。ただし、 y
(m)
また、 a0 0, ai (i 0, 1, , n) は定数とする。
dmy
m
dt
この方程式が t = t0 における初期条件、 y(t0), y’(t0), ‥‥, y(n-1)(t0) を定めれば、
ただ一つの解を持つこと(解の存在定理)は、数学的に証明されている。
この方程式の解法は、まず右辺の f(t) を 0 と置いた同次(斉次)方程式の解を求める。
(a) 同次方程式の解
( n)
( n1)
an1 y' an y 0
f(t) = 0 と置いた同次(斉次)方程式 a0 y a1 y
の解は、指数関数以外にない。それを、y = est , (s は定数) としてとして代入すると、
n
n1
特性方程式 a0 s a1s an1s an 0 を得る。
この特性方程式の n 個の根、s1, s2, ‥‥, sn の間に等根が無ければ、
y es1t ,
y es2t , ,
y esnt
が、互いに一次独立な n 個の特解である。
線形常微分方程式の標準的解法
従って一般解は、任意の定数 ki (i = 1, 2, ‥‥, n)による一次結合
y(t ) k1es1t k2es2t knesnt によって与えられる。
ここで、任意定数 ki は初期条件によって定まる。またもし、特性方程式が重根を有し、
s1 = s2 =‥‥= sm ならば、それらに対する m 個の特解を
es1t , tes1t , , t m1es1t とすればよい。
(b) 非同次の場合
f(t) ≠ 0 の場合、上の微分方程式は非同次(非斉次)形という。この場合は、補関数
yc(t) (同次方程式の一般解に同じ)と、特解 yp(t) を求め、一般解 y(t) は、
y(t ) yc (t ) y p (t ) によって与えられる。
多項式や指数関数、正弦関数などの簡単な関数形の f(t) に対しては、簡単に解が
求まるが、それ以外のf(t) に対しては、簡単に解が求まるとは限らず、未定係数法、
定数変化法、演算子法などを用いなければならない。
一般に、受動回路網についての補関数は、t → ∞ で 0 に収束する。十分に時間が
経つと yc は小さくなり、yp のみが残る。このような状態が定常状態であり、 yc の値
が無視できない場合を過渡状態である。また、yc は励振がなくても存在するので、
自由振動項、 yp は励振に関わるので、強制振動項と呼ばれる。